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文檔簡介
北京五中2024屆高三最后一模數(shù)學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.a為正實數(shù),i為虛數(shù)單位,,則a=()A.2 B. C. D.12.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.3.已知雙曲線:的左、右兩個焦點分別為,,若存在點滿足,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.54.如圖所示的程序框圖,當其運行結果為31時,則圖中判斷框①處應填入的是()A. B. C. D.5.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.36.若雙曲線的離心率,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為()A. B.2 C. D.17.甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面,已知這三人都不會違約且無兩人同時到達,則甲第一個到、丙第三個到的概率是()A. B. C. D.8.已知復數(shù),則對應的點在復平面內位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9.某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成進行分析,隨機抽取了200分到450分之間的2000名學生的成績,并根據這2000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖,如圖所示,則成績在,內的學生人數(shù)為()A.800 B.1000 C.1200 D.160010.在中,分別為所對的邊,若函數(shù)有極值點,則的范圍是()A. B.C. D.11.若命題p:從有2件正品和2件次品的產品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長為4的正方形ABCD內任取一點M,則∠AMB>90°的概率為π8A.p∧qB.(?p)∧qC.p∧(?q)D.?q12.函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示,則可能是()A.B.C.D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線(,)的左,右焦點分別為,,過點的直線與雙曲線的左,右兩支分別交于,兩點,若,,則雙曲線的離心率為__________.14.若函數(shù)為偶函數(shù),則.15.設常數(shù),如果的二項展開式中項的系數(shù)為-80,那么______.16.已知是定義在上的偶函數(shù),其導函數(shù)為.若時,,則不等式的解集是___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)若,求證:(2)若,恒有,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)如圖,直三棱柱中,分別是的中點,.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)在數(shù)列和等比數(shù)列中,,,.(1)求數(shù)列及的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前n項和.20.(12分)已知.(1)若的解集為,求的值;(2)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,且曲線的極坐標方程為.(1)寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;(2)設直線上的定點在曲線外且其到上的點的最短距離為,試求點的坐標.22.(10分)已知函數(shù)f(x)=ex-x2-kx(其中e為自然對數(shù)的底,k為常數(shù))有一個極大值點和一個極小值點.(1)求實數(shù)k的取值范圍;(2)證明:f(x)的極大值不小于1.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
,選B.2、C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應選.3、B【解析】
利用雙曲線的定義和條件中的比例關系可求.【詳解】.選B.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率,離心率求解時,一般是把已知條件,轉化為a,b,c的關系式.4、C【解析】
根據程序框圖的運行,循環(huán)算出當時,結束運行,總結分析即可得出答案.【詳解】由題可知,程序框圖的運行結果為31,當時,;當時,;當時,;當時,;當時,.此時輸出.故選:C.【點睛】本題考查根據程序框圖的循環(huán)結構,已知輸出結果求條件框,屬于基礎題.5、A【解析】
直接將兩邊同時乘以求出復數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時乘以,得故選:A【點睛】考查復數(shù)的運算及其模的求法,是基礎題.6、C【解析】
根據雙曲線的解析式及離心率,可求得的值;得漸近線方程后,由點到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率,則,,解得,所以焦點坐標為,所以,則雙曲線漸近線方程為,即,不妨取右焦點,則由點到直線距離公式可得,故選:C.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質及簡單應用,漸近線方程的求法,點到直線距離公式的簡單應用,屬于基礎題.7、D【解析】
先判斷是一個古典概型,列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數(shù),再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù),利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6種,其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙,共1種,所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選:D【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.8、A【解析】
利用復數(shù)除法運算化簡,由此求得對應點所在象限.【詳解】依題意,對應點為,在第一象限.故選A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算,考查復數(shù)對應點的坐標所在象限,屬于基礎題.9、B【解析】
由圖可列方程算得a,然后求出成績在內的頻率,最后根據頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成績在內的學生人數(shù).【詳解】由頻率和為1,得,解得,所以成績在內的頻率,所以成績在內的學生人數(shù).故選:B【點睛】本題主要考查頻率直方圖的應用,屬基礎題.10、D【解析】試題分析:由已知可得有兩個不等實根.考點:1、余弦定理;2、函數(shù)的極值.【方法點晴】本題考查余弦定理,函數(shù)的極值,涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結合思想和轉化化歸思想,考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力,綜合性較強,屬于較難題型.首先利用轉化化歸思想將原命題轉化為有兩個不等實根,從而可得.11、B【解析】因為從有2件正品和2件次品的產品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16,即命題p是錯誤,則?p是正確的;在邊長為4的正方形ABCD內任取一點M點睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構成的復合命題的真假的判定有機地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計算公式的運用、幾何概型的特征與計算公式的運用等知識與方法的綜合運用,以及分析問題解決問題的能力。12、B【解析】
根據特殊值及函數(shù)的單調性判斷即可;【詳解】解:當時,,無意義,故排除A;又,則,故排除D;對于C,當時,,所以不單調,故排除C;故選:B【點睛】本題考查根據函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式,這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設,由雙曲線的定義得出:,由得為等腰三角形,設,根據,可求出,得出,再結合焦點三角形,利用余弦定理:求出和的關系,即可得出離心率.【詳解】解:設,由雙曲線的定義得出:,,由圖可知:,又,即,則,為等腰三角形,,設,,則,,即,解得:,則,,解得:,,解得:,,在中,由余弦定理得:,即:,解得:,即.故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的定義的應用,以及余弦定理的應用,求雙曲線離心率.14、1【解析】試題分析:由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù),.考點:函數(shù)的奇偶性.【方法點晴】本題考查導函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結合思想與轉化思想,具有一定的綜合性和靈活性,屬于較難題型.首先利用轉化思想,將函數(shù)為偶函數(shù)轉化為函數(shù)為奇函數(shù),然后再利用特殊與一般思想,?。?5、【解析】
利用二項式定理的通項公式即可得出.【詳解】的二項展開式的通項公式:,令,解得.∴,解得.故答案為:-2.【點睛】本小題主要考查根據二項式展開式的系數(shù)求參數(shù),屬于基礎題.16、【解析】
構造,先利用定義判斷的奇偶性,再利用導數(shù)判斷其單調性,轉化為,結合奇偶性,單調性求解不等式即可.【詳解】令,則是上的偶函數(shù),,則在上遞減,于是在上遞增.由得,即,于是,則,解得.故答案為:【點睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調性解不等式,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)(﹣∞,0]【解析】
(1)利用導數(shù)求x<0時,f(x)的極大值為,即證(2)等價于k≤,x>0,令g(x)=,x>0,再求函數(shù)g(x)的最小值得解.【詳解】(1)∵函數(shù)f(x)=x2e3x,∴f′(x)=2xe3x+3x2e3x=x(3x+2)e3x.由f′(x)>0,得x<﹣或x>0;由f′(x)<0,得,∴f(x)在(﹣∞,﹣)內遞增,在(﹣,0)內遞減,在(0,+∞)內遞增,∴f(x)的極大值為,∴當x<0時,f(x)≤(2)∵x2e3x≥(k+3)x+2lnx+1,∴k≤,x>0,令g(x)=,x>0,則g′(x),令h(x)=x2(1+3x)e3x+2lnx﹣1,則h(x)在(0,+∞)上單調遞增,且x→0+時,h(x)→﹣∞,h(1)=4e3﹣1>0,∴存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0,∴當x∈(0,x0)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減,當x∈(x0,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增,∴g(x)在(0,+∞)上的最小值是g(x0)=,∵h(x0)=+2lnx0﹣1=0,所以,令,令所以=1,,∴g(x0)∴實數(shù)k的取值范圍是(﹣∞,0].【點睛】本題主要考查利用證明不等式,考查利用導數(shù)求最值和解答不等式的恒成立問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)連接交于點,由三角形中位線定理得,由此能證明平面.(2)以為坐標原點,的方向為軸正方向,的方向為軸正方向,的方向為軸正方向,建立空間直角坐標系.分別求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】證明:證明:連接交于點,則為的中點.又是的中點,連接,則.因為平面,平面,所以平面.(2)由,可得:,即所以又因為直棱柱,所以以點為坐標原點,分別以直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標系,則,設平面的法向量為,則且,可解得,令,得平面的一個法向量為,同理可得平面的一個法向量為,則所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.19、(1),(2)【解析】
(1)根據與可求得,再根據等比數(shù)列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用錯位相減求和即可.【詳解】解:(1)依題意,,設數(shù)列的公比為q,由,可知,由,得,又,則,故,又由,得.(2)依題意.,①則,②①-②得,即,故.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及錯位相減求和等.屬于中檔題.20、(1);(2)【解析】
(1)利用兩邊平方法解含有絕對值的不等式,再根據根與系數(shù)的關系求出的值;(2)利用絕對值不等式求出的最小值,把不等式化為只含有的不等式,求出不等式解集即可.【詳解】(1)不等式,即兩邊平方整理得由題意知和是方程的兩個實數(shù)根即,解得(2)因為所以要使不等式恒成立,只需當時,,解得,即;當時,,解得,即;綜上所述,的取值范圍是【點睛】本題考查了含有絕對值的不等式解法與應用問題,也考查了分類討論思想,是中檔題.21、(1)的普通方程為.的直角坐標方程為(2)(-1,0)或(2,3)【解析】
(1)對直線的參數(shù)方程消參數(shù)即可求得直線的普通方程,對整理并兩邊乘以,結合,即可求得曲線的直角坐標方程。(2)由(1)得:曲線C是以Q(1,1)為圓心,為半徑的圓,設點P的坐標為,由題可得:,利用兩點距離公式列方程即可求解。【詳解】解:(1)由消去參數(shù),得.即直線的普通方程為.因為又,∴曲線的直角坐標方程為(2)由知,曲線C是以Q(1,1)為圓心,為半徑的圓設點P的坐標為,則點P到上的點的最短距離為|PQ|即,整理得,解得所以點P的坐標為(-1,0)或(2,3)【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程及極坐標方程化為直角坐標方程,還考查了轉化思想及兩點距離公式,考查了方程思想及計算能力,屬于中檔題。22、(1);(2)見解析【解析】
(1)求出,記,問題轉化為方程有兩個不同解,求
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