安徽省安慶市大觀區(qū)第一中學2024年高三一診考試數(shù)學試卷含解析

安徽省安慶市大觀區(qū)第一中學2024年高三一診考試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合,則（）A． B． C． D．2．地球上的風能取之不盡，用之不竭.風能是淸潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風力發(fā)電，近10年來，全球風力發(fā)電累計裝機容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，2014年累計裝機容量就突破了，達到，中國的風力發(fā)電技術也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發(fā)電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖.根據(jù)所給信息，正確的統(tǒng)計結(jié)論是（）A．截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值B．10年來全球新增裝機容量連年攀升C．10年來中國新增裝機容量平均超過D．截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過3．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．4．拋物線的準線方程是，則實數(shù)（）A． B． C． D．5．如圖，圓是邊長為的等邊三角形的內(nèi)切圓，其與邊相切于點，點為圓上任意一點，，則的最大值為（）A． B． C．2 D．6．復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．7．已知正項等比數(shù)列滿足，若存在兩項，，使得，則的最小值為（）.A．16 B． C．5 D．48．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點、，過點作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)滿足=1，則等于（）A．- B． C．- D．10．已知數(shù)列的前項和為，且，，，則的通項公式（）A． B． C． D．11．已知非零向量，滿足，，則與的夾角為（）A． B． C． D．12．已知正方體的棱長為2，點為棱的中點，則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則與的夾角為.14．已知，為正實數(shù)，且，則的最小值為________________.15．如圖，是一個四棱錐的平面展開圖，其中間是邊長為的正方形，上面三角形是等邊三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，則此四棱錐的體積為_____．16．如圖，在正四棱柱中，P是側(cè)棱上一點，且.設三棱錐的體積為，正四棱柱的體積為V，則的值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是等腰直角三角形,．分別為的中點,沿將折起,得到如圖所示的四棱錐．(Ⅰ)求證：平面平面．(Ⅱ)當三棱錐的體積取最大值時,求平面與平面所成角的正弦值．18．（12分）某省新課改后某校為預測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，估計本屆高三學生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設以（1）中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機抽取10名高三學生，求恰有8名學生達到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設該市每個考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.19．（12分）已知函數(shù)，記不等式的解集為.（1）求；（2）設，證明：.20．（12分）已知函數(shù)（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若方程有兩個不同實根，，證明：．21．（12分）已知函數(shù)與的圖象關于直線對稱.（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若的圖象在點處的切線經(jīng)過點，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.22．（10分）已知函數(shù)，（1）證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（2）證明：對任意的有．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

計算，再計算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù)，故.故選：.【點睛】本題考查了集合的交集，意在考查學生的計算能力.2、D【解析】

先列表分析近10年全球風力發(fā)電新增裝機容量，再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比，即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計裝機容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計裝機裝機容量逐年遞增，A錯誤；全球新增裝機容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢，B錯誤；經(jīng)計算，10年來中國新增裝機容量平均每年為，選項C錯誤；截止到2015年中國累計裝機容量，全球累計裝機容量，占比為，選項D正確.故選：D【點睛】本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎題.3、A【解析】

化簡為，求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達式，利用所得到的圖象關于軸對稱列方程即可求得，問題得解?！驹斀狻亢瘮?shù)可化為：，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，又所得到的圖象關于軸對稱，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。4、C【解析】

根據(jù)準線的方程寫出拋物線的標準方程,再對照系數(shù)求解即可.【詳解】因為準線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選：C【點睛】本題考查拋物線與準線的方程.屬于基礎題.5、C【解析】

建立坐標系，寫出相應的點坐標，得到的表達式，進而得到最大值.【詳解】以D點為原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標系，設內(nèi)切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；根據(jù)三角形面積公式得到，可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點的坐標為：故得到故得到，故最大值為：2.故答案為C.【點睛】這個題目考查了向量標化的應用，以及參數(shù)方程的應用，以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.6、C【解析】

利用復數(shù)模與除法運算即可得到結(jié)果.【詳解】解:，故選：C【點睛】本題考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)的模，考查計算能力，屬于基礎題.7、D【解析】

由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【詳解】設等比數(shù)列公比為，由已知，，即，解得或（舍），又，所以，即，故，所以，當且僅當時，等號成立.故選：D.【點睛】本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題，涉及到等比數(shù)列的知識，是一道中檔題.8、B【解析】

設點位于第二象限，可求得點的坐標，再由直線與直線垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值，進而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設點位于第二象限，由于軸，則點的橫坐標為，縱坐標為，即點，由題意可知，直線與直線垂直，，，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算，解答的關鍵就是得出、、的等量關系，考查計算能力，屬于中等題.9、C【解析】

設的最小正周期為，可得，則，再根據(jù)得，又，則可求出，進而可得.【詳解】解：設的最小正周期為，因為，所以，所以，所以，又，所以當時，，，因為，整理得，因為，，，則所以.故選：C.【點睛】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對稱性，考查學生分析能力和計算能力，是一道難度較大的題目.10、C【解析】

利用證得數(shù)列為常數(shù)列，并由此求得的通項公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數(shù)列，所以，故.故選：C【點睛】本小題考查數(shù)列的通項與前項和的關系等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應用意識.11、B【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關系化簡，即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關系可得，，所以，即，由平面向量數(shù)量積定義可得，所以，而，即與的夾角為.故選：B【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，平面向量夾角的求法，屬于基礎題.12、A【解析】

根據(jù)球的特點可知截面是一個圓，根據(jù)等體積法計算出球心到平面的距離，由此求解出截面圓的半徑，從而截面面積可求.【詳解】如圖所示：設內(nèi)切球球心為，到平面的距離為，截面圓的半徑為，因為內(nèi)切球的半徑等于正方體棱長的一半，所以球的半徑為，又因為，所以，又因為，所以，所以，所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為.故選：A.【點睛】本題考查正方體的內(nèi)切球的特點以及球的截面面積的計算，難度一般.任何一個平面去截球，得到的截面一定是圓面，截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)已知條件，去括號得：，14、【解析】

由，為正實數(shù)，且，可知，于是，可得，再利用基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】解：，為正實數(shù)，且，可知，，.當且僅當時取等號.的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應用，恰當變形是解題的關鍵，屬于中檔題.15、【解析】

畫圖直觀圖可得該幾何體為棱錐,再計算高求解體積即可.【詳解】解：如圖,是一個四棱錐的平面展開圖,其中間是邊長為的正方形,上面三角形是等邊三角形,左、右三角形是等腰直角三角形,此四棱錐中,是邊長為的正方形,是邊長為的等邊三角形,故,又,故平面平面,的高是四棱錐的高,此四棱錐的體積為:．故答案為：．【點睛】本題主要考查了四棱錐中的長度計算以及垂直的判定和體積計算等,需要根據(jù)題意16、【解析】

設正四棱柱的底面邊長，高，再根據(jù)柱體、錐體的體積公式計算可得.【詳解】解：設正四棱柱的底面邊長，高，則，即故答案為：【點睛】本題考查柱體、錐體的體積計算，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析.(Ⅱ).【解析】

(I)證明平面得出平面，根據(jù)面面垂直的判定定理得到結(jié)論；(II)當平面時，棱錐體積最大，建立空間坐標系，計算兩平面的法向量，計算法向量的夾角得出答案．【詳解】(I)證明：分別為的中點，，又平面平面，又平面平面平面(II)，為定值當平面時，三棱錐的體積取最大值以為原點,以為坐標軸建立空間直角坐標系則，設平面的法向量為，則即，令可得平面是平面的一個法向量平面與平面所成角的正弦值為【點睛】本題考查了面面垂直的判定，二面角的計算，關鍵是能夠根據(jù)體積的最值確定垂直關系，從而可以建立起空間直角坐標系，利用空間向量法求得二面角，屬于中檔題．18、(1)60%；(2)（i）0.12（ii）【解析】

（1）利用上線人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求解；（2）（i）利用二項分布求解；（ii）甲、乙兩市上線人數(shù)分別記為X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解【詳解】（1）估計本科上線率為.（2）（i）記“恰有8名學生達到本科線”為事件A，由圖可知，甲市每個考生本科上線的概率為0.6，則.（ii）甲、乙兩市2020屆高考本科上線人數(shù)分別記為X，Y，依題意，可得，.因為2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，所以，即，解得，又，故p的取值范圍為.【點睛】本題考查二項分布的綜合應用，考查計算求解能力，注意二項分布與超幾何分布是易混淆的知識點.19、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此解不等式求得不等式的解集.（2）將不等式坐標因式分解，結(jié)合（1）的結(jié)論證得不等式成立.【詳解】（1）解：，由，解得，故.（2）證明：因為，所以，，所以，所以.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查不等式的證明，屬于基礎題.20、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）將原不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求得的最大值即可；

（2）首先通過求導判斷的單調(diào)區(qū)間，考查兩根的取值范圍，再構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，探究在區(qū)間內(nèi)的最大值即可得證．【詳解】解：（1）由，即，即，令，則只需，，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，的取值范圍是；（2）證明：不妨設，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，，當時，，，要證，即證，由在上單調(diào)遞增，只需證明，由，只需證明，令，，只需證明，易知，由，故，，從而在上單調(diào)遞增，由，故當時，，故，證畢．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，最值等