廣東省揭陽市庵埔洪林迎中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

廣東省揭陽市庵埔洪林迎中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)x∈R，若函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f[f（x）﹣ex]=e+1（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（t）=e+1，根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系求出t的值，即可求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)t=f（x）﹣ex，則f（x）=ex+t，則條件等價(jià)為f（t）=e+1，令x=t，則f（t）=et+t=e+1，∵函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，∴函數(shù)為一對(duì)一函數(shù)，解得t=1，∴f（x）=ex+1，即f（ln2）=eln2+1=2+1=3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用換元法求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．2.正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線AC與C1D所成的角為（）A． B． C． D．參考答案：B【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AC與C1D所成的角．【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為1，則A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），C1（0，1，1），=（﹣1，1，0），=（0，﹣1，﹣1），設(shè)異面直線AC與C1D所成的角為θ，則cosθ=|cos＜＞|===，∴θ=．∴異面直線AC與C1D所成的角為．故選：B．3.已知函數(shù)，則函數(shù)（

）A．是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)

B．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)

C．是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)

D．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)參考答案：C略4.已知集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，則A∩B=（）A．{0，1，2} B．{0，2} C．{0，4} D．{0，2，4}參考答案：B【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；定義法；集合．【分析】利用交集定義求解．【解答】解：∵集合集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，∴A∩B={0，2}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是基礎(chǔ)題．5.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為

(

)

(A)(0，1)

(B)(1，2)

(C)(2，3)

(D)(3，4)參考答案：C6.已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且f（1）=0，則滿足f（logx）＞0的x的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．（0，）∪（2，+∞） C．（0，） D．（0，）∪（1，2）參考答案：B【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．【解答】解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，又f（1）=0，∴不等式f（logx）＞0等價(jià)為f（|logx|）＞f（1），即|logx|＞1，則logx＞1或logx＜﹣1，解得0＜x＜或x＞2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的解法，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．7.把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為（）A．90° B．60° C．45° D．30°參考答案：C【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】欲使得三棱錐體積最大，因?yàn)槿忮F底面積一定，只須三棱錐的高最大即可，即當(dāng)平面BAC⊥平面DAC時(shí)，三棱錐體積最大，計(jì)算可得答案．【解答】解：如圖，當(dāng)平面BAC⊥平面DAC時(shí)，三棱錐體積最大取AC的中點(diǎn)E，則BE⊥平面DAC，故直線BD和平面ABC所成的角為∠DBEcos∠DBE=，∴∠DBE=45°．故選C．8.若點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，則的最大值為()

A.0

B.2

C.4

D.6參考答案：D9.在如圖所示的平面圖形中，、為互相垂直的單位向量，則向量可表示為(

)A．2

B．C．2

D．2參考答案：A10.定義運(yùn)算

若函數(shù),則的值域是(

)（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下面命題：①函數(shù)是奇函數(shù)；②存在實(shí)數(shù)，使得；③若是第一象限角，且，則；④是函數(shù)的一條對(duì)稱軸；⑤在區(qū)間上的最小值是－2，最大值是，其中正確的命題的序號(hào)是

．參考答案：12.函數(shù)f（x）=2x﹣1在x∈[0，2]上的值域?yàn)?/p>

．參考答案：[﹣1，3]【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．【分析】利用已知條件直接求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=2x﹣1，是增函數(shù)，x∈[0，2]的值域?yàn)椋篬﹣1，3]．故答案為：[﹣1，3]．13.已知是R上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是_______。參考答案：解：，∴，∴。14.已知函數(shù)，對(duì)于下列命題：①若，則；②若，則；③，則；④．其中正確的命題的序號(hào)是（寫出所有正確命題的序號(hào)）．參考答案：①②略15.經(jīng)過兩點(diǎn)A(-3,5),B(1,1)的直線傾斜角為________.參考答案：135°16.如果一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示（單位長(zhǎng)度：cm），則此幾何體的體積是

．參考答案：略17.已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°，若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為__________．參考答案：8π分析：作出示意圖，根據(jù)條件分別求出圓錐的母線，高，底面圓半徑的長(zhǎng)，代入公式計(jì)算即可.詳解：如下圖所示，又，解得，所以，所以該圓錐的體積為.點(diǎn)睛：此題為填空題的壓軸題，實(shí)際上并不難，關(guān)鍵在于根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形，利用平面幾何知識(shí)求解相應(yīng)線段長(zhǎng)，代入圓錐體積公式即可.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)數(shù)列滿足，().(Ⅰ)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求出并由此證明：＜.

參考答案：（Ⅰ）由已知可得

即………2分即

即…………………4分∴累加得又

∴

……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，………7分

………9分

∴

…………………11分易知遞減∴0＜

∴

＜，即

＜

ks$5u………14分注：若由＞0得

只給1分.19.（滿分12分）計(jì)算下列各式的值.（1）

（2）參考答案：原式=

==

=

………6分

………6分20.已知，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD.參考答案：證明：如圖，取BC中點(diǎn)O，連接AO.∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.連接B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分別為BC，CC1的中點(diǎn)，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD.又∵在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，BD∩A1B＝B，∴AB1⊥平面A1BD.21.已知函數(shù)f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函數(shù)y=F（x）的零點(diǎn)；②若函數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若對(duì)任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，試求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】（1）設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，由F（x）=0，即可求得F（x）的零點(diǎn)；②若函數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)，則x﹣a=a|x|，等號(hào)兩端構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，即可求得滿足題意的a的取值范圍的一部分；同理可得當(dāng)a＜0時(shí)的情況，最后取并即可求得a的取值范圍．（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，對(duì)任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立?h（x1）max﹣h（x2）min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a≥1三類討論，即可求得a的取值范圍．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，①若a=，則由F（x）=x﹣|x|﹣=0得：|x|=x﹣，當(dāng)x≥0時(shí)，解得：x=1；當(dāng)x＜0時(shí)，解得：x=（舍去）；綜上可知，a=時(shí)，函數(shù)y=F（x）的零點(diǎn)為1；②若函數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)，則x﹣a=a|x|，當(dāng)a＞0時(shí)，作圖如下：由圖可知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，折線y=a|x|與直線y=x﹣a有交點(diǎn)，即函數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)；同理可得，當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，求數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)；又當(dāng)a=0時(shí)，y=x與y=0有交點(diǎn)（0，0），函數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)；綜上所述，a的取值范圍為（﹣1，1）．（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，∴當(dāng)﹣2≤x＜0時(shí)，h（x）=（1﹣a）x﹣a；當(dāng)0≤x≤2時(shí)，h（x）=（1+a）x﹣a；又對(duì)任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，則h（x1）max﹣h（x2）min≤6，①當(dāng)a≤﹣1時(shí)，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在區(qū)間[﹣2，0）上單調(diào)遞增；h（x）=（1+a）x﹣a在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減（當(dāng)a=﹣1時(shí)，h（x）=﹣a）；∴h（x）max=h（0）=﹣a，又h（﹣2）=a﹣2，h（2）=2+a，∴h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，綜上，﹣2≤a≤﹣1；②當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在區(qū)間[﹣2，0）上單調(diào)遞增，且h（x）=（1+a）x﹣a在區(qū)間[0，2]上也單調(diào)遞增，∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1適合題意；③當(dāng)a≥1時(shí)，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在區(qū)間[﹣2，0）上單調(diào)遞減（當(dāng)a=1時(shí)，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增；∴h（x）min=h（0）=﹣a；又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；綜上所述，﹣2≤a≤2．22.已知函數(shù)的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)取得最大值3．

（1）求的解析式及單調(diào)增區(qū)間；

（2）若且求；

（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，且是偶函數(shù)，求的最小值．參考答案：答案