2024年?yáng)|北三省高考模擬數(shù)學(xué)試題（二）（含答案與解析）

2024年?yáng)|北三省高考模擬試題（二）

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符

合題目要求的.

1,已知全集°=4-'={123,4,5,6},A（”）={2,4},則集合§=（）

A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,5,6）

2.復(fù)數(shù)3-二i的虛部是（）

1-1

A.2B.-2C.1D.-1

3.已知向量Z與夾角為60。，卜卜2,W=l,則,一2q=（）

A.1B.6C.2D.273

4.某企業(yè)今年年初有資金1000萬(wàn)元，由于引進(jìn)了先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到50%,每年年

底需要扣除下一年的消費(fèi)基金50萬(wàn)元，剩余資金投入再生產(chǎn)，設(shè)該企業(yè)從今年起每年年初擁有的資金數(shù)依

次為…則表示%+i與%之間關(guān)系的遞推公式為（）

3

A.an+1=-an-50B.an+l-an=450

33a-

C4+1一50）D.an+l=~?25

5.兩條平行直線小x+y+l=0,Z2：x+y—1=0之間的距離是（）

A1B.V2C.26D.2

6.芻（chti）/（meng）是中國(guó)古代算數(shù)中的一種幾何體，其結(jié)構(gòu)特征是：底面為長(zhǎng)方形，頂棱和底面平

行，且長(zhǎng)度不等于底面平行的棱長(zhǎng)的五面體，是一個(gè)對(duì)稱的楔形體.已知一個(gè)芻薨底邊長(zhǎng)為4,底邊寬為

3,上棱長(zhǎng)為2,高為2,則它的表面積是（）

上棱長(zhǎng)

c.27+36D.42+6g

7.已知函數(shù)/（x）=sin（ox+0）3>O,OW0W7T）為偶函數(shù)，其圖象上相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為兀，若

.￡（、2,sin2cr-cos2cr+l/、

sm?+/（?）=-,則n-----------------的值為（）

31+tantz

4455

A.—B.--C.-D.——

9999

8.已知偶函數(shù)滿足/（x）=/（2—x）,且當(dāng)xw（O,l）時(shí)，/（x）=2*+l，則/logl19的值為（）

I2J

3532935

A——B.-C.------D.—

29163516

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.社區(qū)衛(wèi)生服務(wù)中心（站）是我國(guó)醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)和公共衛(wèi)生應(yīng)急管理體系的網(wǎng)底，是政府履行提供基本衛(wèi)

生服務(wù)職能的平臺(tái).社區(qū)衛(wèi)生服務(wù)中心（站）可促進(jìn)社區(qū)居民的基本需求（如疫苗接種、基本診療等）就近

在社區(qū)得到解決，圖中記錄的是從2010年起十二年間我國(guó)社區(qū)衛(wèi)生服務(wù)中心（站）的個(gè)數(shù)，根據(jù)此圖可得

關(guān)于這十二年間衛(wèi)生服務(wù)中心（站）個(gè)數(shù)的結(jié)論正確的是（）

36500

36160

36000

35500

35000

34500

34000

33500

33000

3250032793

A.逐年增多B.中位數(shù)為34324

C.每年相對(duì)于前一年的增量連續(xù)增大D.從2013年到2021年的增幅約6%

10.已知拋物線C：y2=4x,焦點(diǎn)、為F,直線y=x-l與拋物線C交于A,8兩點(diǎn)，過(guò)A,8兩點(diǎn)作拋物線

準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為尸，Q,且M為A3的中點(diǎn)，則()

A.|AB|=10B,PF1QF

C.梯形APQ3的面積是16D./到了軸距離為3.

11.已知數(shù)列｛4｝是公差為1的等差數(shù)列，S“是其前W項(xiàng)的和，若可<0,$2000=52024,貝U()

A.d>0B.%oi2=°C.S4024=°D.Sn>§2012

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

25H

12.設(shè)。一2x)5=a0+axx+a2xH-------Fa5x,貝!!%+a2—+%=.

22

13.橢圓土+乙=1的左，右焦點(diǎn)分別為耳，B，過(guò)焦點(diǎn)耳的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(冷弘)，

169

5(%,%)，若△AB鳥(niǎo)的面積是4,貝!1瓦一%|=-

14.已知函數(shù)/(x)=eRa70),過(guò)點(diǎn)A(a,0)作與〉軸平行的直線交函數(shù)八％)的圖象于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作

/(%)圖象的切線交無(wú)軸于點(diǎn)B,則△回面積的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知5“是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，q=2,是公差為1的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

1111

(2)證明：-----1------1---1------<-.

aa

axa2a2a3nn+i4

16.如圖，一個(gè)幾何體是由半徑和高均為2的圓柱和三棱錐E-ABC組合而成，圓柱的軸截面為

AOO1A，點(diǎn)A,B,C在圓O的圓周上，平面ABC,AB1AC,AB=AC,AE=2.

(1)求證：ACJ.BD；

(2)求平面ABD與平面B￡)C的夾角.

17.如圖，雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，離心率為屈，鳥(niǎo)分別是其漸近線小4上的兩

個(gè)點(diǎn)，△《。鳥(niǎo)的面積為9,P是雙曲線C上的一點(diǎn)，且片P=3P6.

(1)求雙曲線C的漸近線方程；

(2)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

18.恰逢盛世，風(fēng)調(diào)雨順.某稻米產(chǎn)地今秋獲得大豐收，為促進(jìn)當(dāng)?shù)啬称放拼竺卒N售，甲、乙兩位駐村干部通

過(guò)直播宣傳銷售所駐村生產(chǎn)的該品牌大米.通過(guò)在某時(shí)段100名顧客在觀看直播后選擇在甲、乙兩位駐村干

部的直播間(下簡(jiǎn)稱甲直播間、乙直播間)購(gòu)買的情況進(jìn)行調(diào)查(假定每人只在一個(gè)直播間購(gòu)買大米)，得

到以下數(shù)據(jù)：

在直播間購(gòu)買大米的情況

網(wǎng)民類型合計(jì)

在甲直播間購(gòu)買在乙直播間購(gòu)買

本地區(qū)網(wǎng)民50555

外地區(qū)網(wǎng)民301545

合計(jì)8020100

(1)依據(jù)小概率值tz=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購(gòu)買大米與網(wǎng)民所處地區(qū)

有關(guān)；

(2)用樣本分布的頻率分布估計(jì)總體分布的概率，若共有100000名網(wǎng)民在甲、乙直播間購(gòu)買大米，且網(wǎng)

民選擇在甲、乙兩個(gè)直播間購(gòu)買大米互不影響，記其中在甲直播間購(gòu)買大米的網(wǎng)民數(shù)為X,求使事件

“X=4”的概率取最大值時(shí)k的值.

附：二~~其中“=。+h。+小

a0.10.050.010.005

%2.7063.8416.6357.879

19.設(shè)定義在[0,2]函數(shù)滿足下列條件：

①對(duì)于九?0,2],總有/(2—x)=/(x),且〃無(wú))21,"1)=3；

②對(duì)于x,ye[l,2],若x+yN3,則/(x)+/(y)W/(x+y—2)+L

(1)求7(2)；

(2)證明：+

(3)證明：當(dāng)兀目1,2]時(shí)，—

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符

合題目要求的.

1,已知全集°=4'={123,4,5,6},A&3)={2,4},則集合§=()

A.{2,4,6}B.{1,3,5)C.{1,2,3,4,5,6}D.{1,3,5,6)

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得{2,4}14,{2,4}1令5,再根據(jù)。=A_5={1,2,3,4,5,6},即可得解.

【詳解】因?yàn)锳（孰6）={2,4},所以{2,4}14,{2,4}16及

所以2任8,4任8,

又全集。=AB={1,2,3,4,5,6},

所以8={1,3,5,6}.

故選：D.

3-i

2.復(fù)數(shù)——的虛部是（）

l-i

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義即可得解.

3-i（3-i）（l+i）c.

【詳解】因?yàn)橐?*二=2+1,

所以復(fù)數(shù)二的虛部為1.

1-1

故選：C.

3.已知向量q與6的夾角為60°,卜卜2,忖=1,則卜―2q=（）

A.1B.73C.2D.26

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合數(shù)量積的定義，可得答案.

rrnr~2

【詳解】a-2b—4a-b+4b-A/4-4X2COS60°+4=2?

故選：C.

4.某企業(yè)今年年初有資金1000萬(wàn)元，由于引進(jìn)了先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到50%,每年年

底需要扣除下一年的消費(fèi)基金50萬(wàn)元，剩余資金投入再生產(chǎn)，設(shè)該企業(yè)從今年起每年年初擁有的資金數(shù)依

次為囚，出，。3，…則表示與an之間關(guān)系的遞推公式為（

3

A.〃〃+1=”-5°B.an+i-an=450

33

C-%H4=Q（%-50）D.4+1.4—25

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意列式即可得解.

3

【詳解】依題意，。1=1000,an+1=（1+50%）-50=-an-50.

故選：A.

5.兩條平行直線八x+y+l=0,/2：x+y—1=0之間的距離是（）

A.1B.72C.2夜D.2

【答案】B

【解析】

【分析】利用平行直線間的距離公式即可得解.

【詳解】因?yàn)?：x+y+l=0,l2：x+y—1=0,

所以它們之間的距離為d=上士?jī)?V2.

V1+1

故選：B.

6.芻（ch<i）薨（meng）是中國(guó)古代算數(shù)中的一種幾何體，其結(jié)構(gòu)特征是：底面為長(zhǎng)方形，頂棱和底面平

行，且長(zhǎng)度不等于底面平行的棱長(zhǎng)的五面體，是一個(gè)對(duì)稱的楔形體.已知一個(gè)芻薨底邊長(zhǎng)為4,底邊寬為

3,上棱長(zhǎng)為2,高為2,則它的表面積是（）

上棱長(zhǎng)

B.42+36C.27+373D.42+66

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得芻薨的左右兩個(gè)三角形為全等的等腰三角形，前后兩個(gè)四邊形為全等的等腰梯形，利

用勾股定理分別求出三角形和梯形的高，從而可求出各個(gè)面的面積，即可得出答案.

【詳解】解：由題意可得芻薨的左右兩個(gè)三角形為全等的等腰三角形，

前后兩個(gè)四邊形為全等的等腰梯形，

等腰三角形的高為JiTW=45,

等腰梯形的高為」2+4=2,

V42

則一個(gè)等腰三角形的面積為L(zhǎng)x3x6=逆，

22

一個(gè)等腰梯形的面積為匕*2_15,

2

所以此芻薨的表面積為2x述+2x竺+4x3=27+3百.

22

故選：A.

7.已知函數(shù)/（力=5皿8+0）（0>0,0404兀）為偶函數(shù)，其圖象上相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為兀，若

.、2.sin2a-cos2tz+1,,^,、

sm?+f（a）=-,則n-----------------的值為（）

31+tantz

4455

A.—B.——C.—D.——

9999

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性求出函數(shù)解析式，利用同角三角關(guān)系結(jié)合二倍角公式整理可得所求

、2

=2sintzcostz,再由since+§即可得解.

7T

【詳解】???/。）為偶函數(shù)，二夕=5+航,左€2,

兀

又?0〈夕〈兀,二夕=5,

又...函數(shù)/（%）圖象上相鄰對(duì)稱軸之間的距離為兀,

T=—=2TI,則。=1,

co

/(x)=sin[x+]=COSX,

則sina+f(a)=sincr+cos1+2sinocoscr=一,

39

即2sinacosa=--,

9

sin2a-cos2a+1_2sin6zcosa-(l-2sii??)+l_2sin?cos6Z+2sin2cr

1sinacosa+sina

?,1+tancifl+------

cosacosa

2sinacosa(cosa+sin)

=2cs-macosa=——5.

cosa+sina9

故選：D.

8.已知偶函數(shù)滿足〃x)=/(2—x),且當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/(x)=2，+l，則/logx19的值為()

\2y

3532935

A.——B.——C.-----D.—

29163516

【答案】D

【解析】

【分析】由偶函數(shù)/(%)滿足/(x)=/(2—力，可得函數(shù)/(%)是以2為周期的周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的

周期性求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)"％)為偶函數(shù)，所以“力^^九)，

又〃x)=/(2—%),所以/(—x)=/(2—%),即/(x)=/(2+x),

所以函數(shù)7(%)是以2為周期的周期函數(shù),

因?yàn)?=log216<log219<log232=5,

(、

所以/

logl19=/(-log219)=/(log219)=/(log219-4)=

\2J

=2嘮+1—+1/

1616

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會(huì)單獨(dú)命題，而是常將它

們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選

擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；

（1）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱

性.

（2）周期性與奇偶性相結(jié)合，此類問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)

值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；

（3）周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利

用奇偶性和單調(diào)性求解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.社區(qū)衛(wèi)生服務(wù)中心（站）是我國(guó)醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)和公共衛(wèi)生應(yīng)急管理體系的網(wǎng)底，是政府履行提供基本衛(wèi)

生服務(wù)職能的平臺(tái).社區(qū)衛(wèi)生服務(wù)中心（站）可促進(jìn)社區(qū)居民的基本需求（如疫苗接種、基本診療等）就近

在社區(qū)得到解決，圖中記錄的是從2010年起十二年間我國(guó)社區(qū)衛(wèi)生服務(wù)中心（站）的個(gè)數(shù)，根據(jù)此圖可得

關(guān)于這十二年間衛(wèi)生服務(wù)中心（站）個(gè)數(shù)的結(jié)論正確的是（）

36500

36000

35500

35000

34500

34000

33500

33000

32500

A.逐年增多B.中位數(shù)為34324

C.每年相對(duì)于前一年的增量連續(xù)增大D.從2013年到2021年的增幅約6%

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用折線圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)據(jù)的變換趨勢(shì)，中位數(shù)、數(shù)據(jù)差，以及增幅得的計(jì)算公式,

逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，由折線圖可得，這十二年減衛(wèi)生服務(wù)中心（站）個(gè)數(shù)逐年增多，所以A正確;

對(duì)于B中，由折線圖，將數(shù)據(jù)從小到大排列，共有12個(gè)數(shù)據(jù)，

34321+34327

根據(jù)中位數(shù)的定義和計(jì)算，可得=34324,所以B正確;

2

對(duì)于C中，由折線圖中的數(shù)據(jù)，可得32860-32793=67,33646-32860=786,

33965—33646=319,34238—33965=273,-，所以C不正確；

對(duì)于D中，由折線圖中的數(shù)據(jù)，可得從2013年到2021年的增幅約為：36000~33965x100%?6%,所

33965

以D正確.

故選：ABD.

10.已知拋物線C：丁2=4%,焦點(diǎn)為凡直線y=x-l與拋物線C交于4,8兩點(diǎn)，過(guò)A,8兩點(diǎn)作拋物線

準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為尸，Q,且又為A3的中點(diǎn)，則（）

A.|AB|=10B.PF±QF

C.梯形APQ3的面積是16D.M到了軸距離為3.

【答案】BD

【解析】

【分析】先判斷得直線y=x-i經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，再聯(lián)立直線與拋物線方程，得至!進(jìn)而得至UN+々，

從而判斷AD,利用兩點(diǎn)求斜率與直線垂直時(shí)斜率之積為-1可判斷B,分別求得|AP|+|BQ|,|PQ|,結(jié)合

梯形的面積公式可判斷C.

【詳解】對(duì)于A,由題意得下（1,0）,則直線y=x-l經(jīng)過(guò)點(diǎn)產(chǎn)，

v—4%

聯(lián)立廠，消去X,得y2—4X—4=0,

y=x-1

4

設(shè)4%，％),B(X2,y2),貝ij%+%=4,%%=-，

則%+%2=%+l+y2+l=6，所以IAB|=X]+々+2=8,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由題意得P(—Lx),Q(T%)，

所以左?小心?=2二9?&^9="=一1，所以"，勿，故B正確；

-1-1-1-14

對(duì)于C,由題意可得|4尸|+|3。|=%+々+2=8,

\PQ\=E-%|=J(X+%)2-=‘16+16=40，

所以梯形APQ3的面積是!(|AP|+|8Q|>|PQ|=LX8X40=160,故C錯(cuò)誤；

22

對(duì)于D,因?yàn)榕c=。(芭+%)=3,所以M到y(tǒng)軸距離為3,故D正確.

故選：BD.

11.已知數(shù)列｛4｝是公差為1的等差數(shù)列，S.是其前〃項(xiàng)的和，若％<0,$2000=52024,貝U()

A.d>0B.%oi2=°C.84024=°D.S”2S2012

【答案】ACD

【解析】

2

【分析】由題意可得。2001+。2024=0,從而可求出1=-茄面區(qū)，即可判斷A;再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及

前九項(xiàng)和公式即可判斷BCD.

【詳解】因?yàn)?2000=邑024，所以“2001+^2002+，,+“2024=。，

所以24(%+4024)=0,所以a+出024=劣012+4。13=+4023d=0,

2-

2

又因?yàn)閝<。，所以d=---------4>0,故A正確；

4023

40221

—^1+201Id—a,--------a=--------a,<Q,故B錯(cuò)誤；

°4023]4023

%”=4024（7嚕）=2012（*+*）=°，故C正確；

因?yàn)镴〃2012<0，〃2013——〃2012>0，

所以當(dāng)“<2012時(shí)，％<0,當(dāng)〃之2013時(shí)，>0,

所以（SJw=S2012,所以S?2s刈2,故D正確?

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在等差數(shù)列中，求5“的最?。ù螅┲档姆椒ǎ?/p>

（1）利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和最?。ù螅?；

（2）借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

25

12.設(shè)（1一2x）5=a0+axx+a2xH--------ba5x，貝i]q+g—+%=.

【答案】—2

【解析】

【分析】分別令x=0，x=l即可得解.

【詳解】令x=0,則%=1,

令X=1,貝!]+。2--------F%=-1,

所以Q]+H--------F%=-2.

故答案為：-2.

22

13.橢圓土+21=1的左，右焦點(diǎn)分別為耳，B，過(guò)焦點(diǎn)耳的直線交橢圓于48兩點(diǎn)，設(shè)A（冷弘）,

169

3（元2,%），若443鳥(niǎo)的面積是4,則回一%|=.

【答案】生"#

77

【解析】

【分析】根據(jù)SABF?=Jx—為卜|「瓦|=4求解即可.

【詳解】由題意用—舊刀）,鳥(niǎo)（夕刀），則|耳閶=2W，

因?yàn)镾A鋁=)x—MM閭=4,

|_8_8_477

所以…=麗=歹〒

故答案為：±a.

7

14.已知函數(shù)/(x)=eRa70),過(guò)點(diǎn)A(a,0)作與y軸平行的直線交函數(shù)的圖象于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作

/(%)圖象的切線交x軸于點(diǎn)B,則△植面積的最小值為.

【答案】叵

2

【解析】

【分析】求出了(%)的導(dǎo)數(shù)，令x=a,求得尸的坐標(biāo)，可得切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，

令＞=0,可得B的坐標(biāo)，再由三角形的面積公式可得面積S,求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得

到所求值.

【詳解】函/⑺=eRa豐0)的導(dǎo)數(shù)為了'(%)=a?e'",

由題意可令x=。，解得y=e/，可得尸卜,e"),

即有切線的斜率為左=ae/，切線的方程為y—e“2=ae/(x—a),

令y=0,可得%=-工+a,即-

a\a)

在直角三角形R45中，|AB|=百，|AP|=e"2,

1112

則△APB面積為5(。)=51ABi|AP|=]?面-e",("0),

11,

因?yàn)镾(—a)=5?時(shí)d=S(a),所以函數(shù)S(a)為偶函數(shù),

112

不妨取〃>0,則S(〃)=e—e"

則S'⑷=4一:.一+：J2am-：+2)

當(dāng)ae；O,時(shí)，S'(a)<0,S(a)單調(diào)遞減；

當(dāng)ae1*,+co時(shí)，S'(a)>0,S(a)單調(diào)遞增，

即有#處S(a)取得極小值，且為最小值華，

所以/WB面積的最小值為叵.

2

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)了(%)在區(qū)間句上的最值的方法：

⑴若函數(shù)了(%)在區(qū)間［a,可上單調(diào)，則與/伊)一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值；

⑵若函數(shù)了(%)在區(qū)間［a,句內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)/(%)在區(qū)間［a,句上的極值，再與/(a)、

/e)比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；

(3)若函數(shù)/(%)在區(qū)間［a,可上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(最小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)

數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.己知篦是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，q=2,是公差為1的等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

1111

(2)證明：----+----+…+------<—.

a2a34

【答案】(1)an=2n

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)求出給定的等差數(shù)列通項(xiàng)公式，再利用前"項(xiàng)和求通項(xiàng)的方法求解作答即可;

(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

因是公差為1的等差數(shù)列，而卬=2,則｝=2,

因此，=2+("—1)x1=〃+1,即凡="(〃+1),

當(dāng)於2時(shí)，an^Sn-Sn_l=n(n+l)-(n-l)n=2n,

經(jīng)檢驗(yàn)，q=2滿足上式，

所以｛4｝的通項(xiàng)公式是4=2”.

【小問(wèn)2詳解】

1111If11｝

由(])知：-----=c小----=7----7?二:-------7，

anan+i2n(2n+2)4+4(〃n+1J

1111^111111

所以----+----++------=—1——+-------++----------

I1%a2a3anan+l41223+

-J

4(n+1J4

16.如圖，一個(gè)幾何體是由半徑和高均為2的圓柱和三棱錐E-A3C組合而成，圓柱的軸截面為

ADDA，點(diǎn)A,B,C在圓。的圓周上，平面ABC,ABJ.AC,AB=AC,AE=2.

(1)求證：AC1BD,

(2)求平面ABD與平面6￡>C的夾角.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵-

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明A。，AC,再證明AC,平面ABD,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得

證；

(2)以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

因AD_L平面ABC，ACu平面ABC,

所以ADLAC,

又AB_LAC,ABnAD=A,AB,ADu平面ABD,

所以AC_L平面"D,

又BDu平面ABD，

所以AC15。；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C在圓。的圓周上，ABJ.AC,

所以為圓。直徑，

又因?yàn)镋4J_平面ABC，所以A,E三點(diǎn)共線，

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0),A(0,0,2),BQ,2,2),C(2,-2,2),

所以BC=(O,T,O),DB=(2,2,2),

設(shè)〃=(x,y,z)是平面5co的法向量,

n-BC=-4y=0

則-令z=—l，則”=(1,0,—1),

n-DB=2x+2y+2z=0

由(1)知，AC_L平面ABD,

所以AC=(2,—2,0)是平面ABD的一個(gè)法向量，

I_1\n-AC\21

11\n[\Ac\0x2四2

所以平面ABD與平面B￡)C所成角余弦值為

jr

所以平面與平面BDC的夾角為一.

3

17.如圖，雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，離心率為麗，6，鳥(niǎo)分別是其漸近線小4上的兩

個(gè)點(diǎn)，△片。鳥(niǎo)的面積為9,P是雙曲線C上的一點(diǎn)，且《P=3P4.

(I

（1）求雙曲線c的漸近線方程；

（2）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】17.y=±gx

22

匕-j

18.981

4Z

【解析】

?fb

【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程為1-5=1（。〉。力〉0）,根據(jù)雙曲線的離心率求出一，即可求得雙曲線

a2b2、）a

的漸近線方程；

（2）設(shè)片（―3%,%）,6（3%,%）（乂＞0,%＞。），根據(jù)S*=（/+_苫—彳=9,求

出力%，再根據(jù)片戶=3%求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程求得即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

22

設(shè)雙曲線方程為之—|y=l（a〉0,6〉0）,

因?yàn)殡p曲線的離心率為質(zhì),

所以e=Jl+4=W，解得。=3,所以?=:，

Va-ab3

所以雙曲線c的漸近線方程為＞=±gx；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)6（-3%，乂）,￡（3%,%）（%＞°。2＞°），

則=5+為）（3%+%）_n一絲=9,

勺UQ222，I，/

所以％為=3，

設(shè)。（%，為）,則P\P=（%+3%,%—X）,鵬=（3%—%，%—%），

因?yàn)槠瑧?3%，

-3%+9%

xo

4

■所以＜

X+3%

4

(—3%+9%X+3%)

14，4J

由（1）得b=3a,則雙曲線的方程為4—二=1,

a29a2

(-3y9yS

再將點(diǎn)尸［包產(chǎn)%+3%]1+

代入得(4J_

4J

=1

9^

。3Q

化簡(jiǎn)得3%%=41,即

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V-81

44

18.恰逢盛世，風(fēng)調(diào)雨順.某稻米產(chǎn)地今秋獲得大豐收，為促進(jìn)當(dāng)?shù)啬称放拼竺卒N售，甲、乙兩位駐村干部通

過(guò)直播宣傳銷售所駐村生產(chǎn)的該品牌大米.通過(guò)在某時(shí)段100名顧客在觀看直播后選擇在甲、乙兩位駐村干

部的直播間（下簡(jiǎn)稱甲直播間、乙直播間）購(gòu)買的情況進(jìn)行調(diào)查（假定每人只在一個(gè)直播間購(gòu)買大米），得

到以下數(shù)據(jù)：

在直播間購(gòu)買大米的情況

網(wǎng)民類型合計(jì)

在甲直播間購(gòu)買在乙直播間購(gòu)買

本地區(qū)網(wǎng)民50555

外地區(qū)網(wǎng)民301545

合計(jì)8020100

（1）依據(jù)小概率值＜z=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購(gòu)買大米與網(wǎng)民所處地區(qū)

有關(guān)；

（2）用樣本分布的頻率分布估計(jì)總體分布的概率，若共有100000名網(wǎng)民在甲、乙直播間購(gòu)買大米，且網(wǎng)

民選擇在甲、乙兩個(gè)直播間購(gòu)買大米互不影響，記其中在甲直播間購(gòu)買大米的網(wǎng)民數(shù)為X,求使事件

“X=4”的概率取最大值時(shí)k的值.

9n(ad

其中“=a+〃+c+d.

(a+》)(c+d)(a+c)(A+d)

a0.10.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

【答案】(1)能認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購(gòu)買大米與網(wǎng)民所處地區(qū)有關(guān)

(2)80000

【解析】

【分析】(1)根據(jù)列聯(lián)表信息，計(jì)算出力?的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)二項(xiàng)分布求出在甲直播間購(gòu)買大米的網(wǎng)民人數(shù)為左的概率，利用作商法判斷概率的大小即可得

解.

【小問(wèn)1詳解】

提出零假設(shè)“0：網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購(gòu)買大米與網(wǎng)民所處地區(qū)沒(méi)有關(guān)聯(lián)，

100x(50x15-30x5)2_100

經(jīng)計(jì)算得力2?9.091>7,879=^>

80x20x55x4511

依據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷/不成立，

即認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購(gòu)買大米與網(wǎng)民所處地區(qū)有關(guān)聯(lián).

【小問(wèn)2詳解】

利用樣本分布的頻率估計(jì)總體分布的概率，

可知網(wǎng)民選擇在甲直播間購(gòu)買夏橙的概率為p==g,

則X?510000()].記“=100000,/?=1,

則尸(X=左)=C：/(I-p)"4(1=0,1,2,…,100000),

則問(wèn)題等價(jià)于求當(dāng)k取何值時(shí)P(X=k)=C'pk(1-pp取最大值,

口