2023-2024學年天津市東麗區(qū)天津耀華濱海學校數(shù)學高一下期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2023-2024學年天津市東麗區(qū)天津耀華濱海學校數(shù)學高一下期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．圓與圓的位置關系為（）A．內切 B．相交 C．外切 D．相離2．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E是棱AB的中點，F(xiàn)是側面AA1D1D內一點，若EF∥平面BB1D1D，則EF長度的范圍為（）A． B． C． D．3．若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，平移后的圖象關于點對稱，則函數(shù)在上的最小值是A． B． C． D．4．如圖所示，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形的概率是（）A． B． C． D．5．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現(xiàn)有類似問題：一座5層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的3倍，則塔的底層共有燈A．81盞 B．112盞 C．162盞 D．243盞6．已知向量，，如果向量與平行，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．7．下列關于極限的計算，錯誤的是（）A．B．C．D．已知，則8．在區(qū)間內隨機取一個實數(shù)a，使得關于x的方程有實數(shù)根的概率為（）A． B． C． D．9．已知圓經過點，且圓心為，則圓的方程為A． B．C． D．10．若，則（）A．－ B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為__________．12．向量滿足，，則向量的夾角的余弦值為_____．13．直線的傾斜角為__________．14．《九章算術》是體現(xiàn)我國古代數(shù)學成就的杰出著作，其中(方田)章給出的計算弧田面積的經驗公式為:弧田面積(弦矢矢2)，弧田(如圖陰影部分)由圓弧及其所對的弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦的長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有弧長為米，半徑等于米的弧田，則弧所對的弦的長是_____米，按照上述經驗公式計算得到的弧田面積是___________平方米.15．已知三棱錐，平面，，，，則三棱錐的側面積__________．16．某單位為了了解用電量度與氣溫之間的關系，隨機統(tǒng)計了某天的用電量與當天氣溫.氣溫（℃）141286用電量（度）22263438由表中數(shù)據得回歸直線方程中，據此預測當氣溫為5℃時，用電量的度數(shù)約為____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設向量，，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）求在方向上的投影.18．設數(shù)列的前項和為,已知（Ⅰ）求,并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．19．已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.（1）求向量與的夾角；（2）設，且向量滿足，求的最小值；（3）在（2）的條件下，隨機選取一個向量，求的概率.20．某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率；（Ⅱ）已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50）內的人數(shù)；21．設數(shù)列的前項和，數(shù)列為等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：兩圓的圓心距為，半徑分別為，，所以兩圓相交．故選C．考點：圓與圓的位置關系．2、C【解析】

過作，交于點，交于，根據線面垂直關系和勾股定理可知；由平面可證得面面平行關系，利用面面平行性質可證得為中點，從而得到最小值為重合，最大值為重合，計算可得結果.【詳解】過作，交于點，交于，則底面平面，平面，平面平面，又平面平面又平面平面，平面為中點為中點，則為中點即在線段上，，則線段長度的取值范圍為：本題正確選項：【點睛】本題考查立體幾何中線段長度取值范圍的求解，關鍵是能夠確定動點的具體位置，從而找到臨界狀態(tài)；本題涉及到立體幾何中線面平行的性質、面面平行的判定與性質等定理的應用.3、C【解析】

由題意得，故得平移后的解析式為，根據所的圖象關于點對稱可求得，從而可得，進而可得所求最小值．【詳解】由題意得，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度所得圖象對應的解析式為，因為平移后的圖象關于點對稱，所以，故，又，所以．所以，由得，所以當或，即或時，函數(shù)取得最小值，且最小值為．故選C．【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質的綜合應用，解題的關鍵是求出參數(shù)的值，容易出現(xiàn)的錯誤是函數(shù)圖象平移時弄錯平移的方向和平移量，此時需要注意在水平方向上的平移或伸縮只是對變量而言的．4、A【解析】

根據題意，分析可得，由三角形面積公式計算可得△DEF和△ACF的面積，進而可得△ABC的面積，由幾何概型公式計算可得答案．【詳解】根據題意，為等邊三角形，則，則，中，，其面積，中，，，其面積，則的面積，故在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形的概率，故選：A.【點睛】本題主要考查幾何概型中的面積類型，基本方法是：分別求得構成事件A的區(qū)域面積和試驗的全部結果所構成的區(qū)域面積，兩者求比值，即為概率．5、D【解析】

從塔頂?shù)剿酌繉訜舯K數(shù)可構成一個公比為3的等比數(shù)列，其和為1．由等比數(shù)列的知識可得．【詳解】從塔頂?shù)剿酌繉訜舯K數(shù)依次記為a1,a2,a3故選D．【點睛】本題考查等比數(shù)列的應用，解題關鍵是根據實際意義構造一個等比數(shù)列，把問題轉化為等比數(shù)列的問題．6、B【解析】

根據坐標運算求出和，利用平行關系得到方程，解方程求得結果.【詳解】由題意得：，，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查向量平行的坐標表示問題，屬于基礎題.7、B【解析】

先計算每個極限，再判斷，如果是數(shù)列和的極限還需先求和，再求極限．【詳解】，A正確；∵，∴，B錯；，C正確；若，需按奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和后再極限，即，D正確．故選：B．【點睛】本題考查數(shù)列的極限，掌握極限運算法則是解題基礎．在求數(shù)列前n項和的極限時，需先求出數(shù)列的前n項和，再對和求極限，不能對每一項求極限再相加．8、C【解析】

由關于x的方程有實數(shù)根，求得，再結合長度比的幾何概型，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，關于x的方程有實數(shù)根，則滿足，解得，所以在區(qū)間內隨機取一個實數(shù)a，使得關于x的方程有實數(shù)根的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了幾何概型的概率的計算問題，解決此類問題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對應的“幾何度量”，再求出總的基本事件對應的“幾何度量”，然后根據求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.9、D【解析】

先計算圓半徑，然后得到圓方程.【詳解】因為圓經過，且圓心為所以圓的半徑為，則圓的方程為.故答案選D【點睛】本題考查了圓方程，先計算半徑是解題的關鍵.10、B【解析】

首先觀察兩個角之間的關系：，因此兩邊同時取余弦值即可．【詳解】因為所以所以，選B.【點睛】本題主要考查了三角函的誘導公式．解決此題的關鍵在于拼湊出，再利用誘導公式（奇變偶不變、符號看象限）即可．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解析】

由題得，解不等式即得x+y的最小值.【詳解】由題得,所以，所以，所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)，所以x+y的最小值為6.當且僅當x=y=3時取等.故答案為：6【點睛】本題主要考查基本不等式求最值，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.12、【解析】

通過向量的垂直關系，結合向量的數(shù)量積求解向量的夾角的余弦值．【詳解】向量，滿足，，可得：，，向量的夾角為，所以．故答案為．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的應用，向量的夾角的余弦函數(shù)值的求法．考查計算能力．屬于基礎題.13、【解析】試題分析：由直線方程可知斜率考點：直線傾斜角與斜率14、【解析】

在中，由題意可知：，弧長為,即可以求出,則求得的值，根據題意可求矢和弦的值及弦長，利用公式可以完成.【詳解】如上圖在中，可得：，可以得：矢=所以:弧田面積(弦矢矢2)=所以填寫(1).(2).【點睛】本題是數(shù)學文化考題，扇形為載體的新型定義題，求弦長屬于簡單的解三角形問題，而作為第二空，我們首先知道公式中涉及到了“矢”，所以我們必須把“矢”的定義弄清楚，再借助定義求出它的值，最后只是簡單代入公式計算即能完成.15、【解析】

根據題意將三棱錐放入對應長方體中，計算各個面的面積相加得到答案.【詳解】三棱錐，平面，，，畫出圖像：易知：每個面都是直角三角形.【點睛】本題考查了三棱錐的側面積，將三棱錐放入對應的長方體是解題的關鍵.16、1【解析】

由表格得，即樣本中心點的坐標為，又因為樣本中心點在回歸方程上且，解得：，當時，，故答案為1．考點：回歸方程【名師點睛】本題考查線性回歸方程，屬容易題.兩個變量之間的關系，除了函數(shù)關系，還存在相關關系，通過建立回歸直線方程，就可以根據其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間整體關系的了解．解題時根據所給的表格做出本組數(shù)據的樣本中心點，根據樣本中心點在線性回歸直線上，利用待定系數(shù)法做出的值，現(xiàn)在方程是一個確定的方程，根據所給的的值，代入線性回歸方程，預報要銷售的件數(shù)．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）計算出的坐標，然后利用共線向量的坐標表示列出等式求出實數(shù)的值；（2）求出和，從而可得出在方向上的投影為.【詳解】（1），，，，，，解得；（2），，在方向上的投影.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，考查共線向量的坐標運算以及投影的計算，在解題時要弄清楚這些知識點的定義以及坐標運算律，考查計算能力，屬于中等題.18、（1），；（2）．【解析】試題分析：本題主要考查由求、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式、錯位相減法等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，由求，利用，分兩部分求和，經判斷得數(shù)列為等比數(shù)列；第二問，結合第一問的結論，利用錯位相減法，結合等比數(shù)列的前n項和公式，計算化簡．試題解析：（Ⅰ）時所以時，是首項為、公比為的等比數(shù)列，，．（Ⅱ）錯位相減得:．考點：求、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式、錯位相減法．19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）根據向量的垂直，轉化出方程組，求解方程組即可；（2）將向量賦予坐標，求得向量對應點的軌跡方程，將問題轉化為圓外一點，到圓上一點的距離的最值問題，即可求解；（3）根據余弦定理，解得，以及的臨界狀態(tài)時，對應的圓心角的大小，利用幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】（1）因為故可得，解得①②由①-②可得，解得，將其代入①可得，即將其代入②可得解得，又向量夾角的范圍為，故向量與的夾角為.（2）不妨設，由可得.不妨設的起始點為坐標原點，終點為C.因此，點C落在以)為圓心，1為半徑的圓上（如圖）.因為，即由圓的特點可知的最小值為，即：.（3）當時，因為，，滿足勾股定理，故容易得.當時，假設此時點落在如圖所示的F點處.如圖所示.因為，由余弦定理容易得，故.所以，本題化為，在半圓上任取一點C，點C落在弧CF上的概率.由幾何概型的概率計算可知：的概率即為圓心角的弧度除以，即.【點睛】本題考查向量垂直時數(shù)量積的表示，以及利用解析的手段解決向量問題的能力，還有幾何概型的概率計算，涉及圓方程的求解，以及余弦定理.本題屬于綜合題，值得總結.20、（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）20.【解析】

（1）首先可以根據頻率分布直方圖得出樣本中分數(shù)不小于的頻率，然后算出樣本中分數(shù)小于的頻率，最后計算出分數(shù)小于的概率；（2）首先計算出樣本中分數(shù)不小于的頻率，然后計算出分數(shù)在區(qū)間內的人數(shù)，最后計算出總體中分數(shù)在區(qū)間內的人數(shù)?！驹斀狻浚?）根據頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于的頻率為，所以樣本中分數(shù)小于的頻率為．所以從總體的名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于的概率估計為。（2）根據題意，樣本中分數(shù)不小于的頻率為，分數(shù)在區(qū)間內的人數(shù)為，所以總體中分數(shù)在區(qū)間內的人數(shù)估計為。【點睛】遇到頻率分布直方圖問題時需要注意：在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率/組距，而不是頻率；利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中