專題02 數(shù)形思想之平行線必考題專練（解析版）-【考點培優(yōu)尖子生專用】2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊專題訓(xùn)練（滬教版）

編者小k君小注：本專輯專為2022年初中滬教版數(shù)學(xué)第二學(xué)期研發(fā)，供中等及以上學(xué)生使用。思路設(shè)計：重在培優(yōu)訓(xùn)練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學(xué)生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學(xué)生必做前4題、選做5-8題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題02數(shù)形思想之平行線必考題專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．（2021·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，直線都與直線相交，其中不能判定的條件是（）．A．∠1=∠2 B．∠3=∠6 C．∠1=∠4 D．∠5+∠8=180°【標準答案】C【思路指引】根據(jù)平行線的判定方法：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行進行分析即可．【詳解詳析】解：A、∠1=∠2可根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到a∥b，不合題意；B、∠3=∠6可根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到a∥b，不合題意；C、∠1=∠4不能得到a∥b，符合題意；D、∠5+∠8=180°可得∠3+∠2=180°，可根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行得到a∥b，不合題意；故選：C．【名師指路】本題考查了平行線的判定，記住同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補兩直線平行，解題的關(guān)鍵是搞清楚同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念，屬于中考?？碱}型．2．（2021·上海市上南中學(xué)南校七年級期末）如圖所示，能說明AB∥DE的有（）①∠1＝∠D；②∠CFB+∠D＝180°；③∠B＝∠D；④∠BFD＝∠D．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標準答案】C【思路指引】在復(fù)雜的圖形中具有相等關(guān)系或互補關(guān)系的兩角首先要判斷它們是否是同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，被判斷平行的兩直線是否由“三線八角”而產(chǎn)生的被截直線，根據(jù)以上知識逐條分析．【詳解詳析】解：①∵∠1＝∠D，∴AB∥DE（同位角相等，兩直線平行）；②∵∠CFB＝∠AFD（對頂角相等），又∠CFB+∠D＝180°，∴∠AFD+∠D＝180°，∴AB∥DE（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）；③中的∠B和∠D不符合“三線八角”，不能構(gòu)成平行的條件；④∵∠BFD＝∠D，∴AB∥DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；所以①②④都能說明AB∥DE．故選C．【名師指路】本題考查了平行線的判定定理，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2021·上海楊浦·七年級期中）下列說法中，正確的有（）①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②從直線外一點到直線的垂線段叫做點到直線的距離；③兩平行線間距離處處相等；④平行于同一直線的兩直線互相平行．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【標準答案】B【思路指引】根據(jù)平行線的判定、點到直線的距離、平行線公理及推論逐一判定．【詳解詳析】解：①過直線外一點有且只有一條直線與己知直線平行，故原說法錯誤；②從直線外一點到直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離，原說法錯誤；③兩平行線間距離處處相等，原說法正確；④平行于同一直線的兩直線互相平行，原說法正確；故選：B．【名師指路】本題主要考查了平行線的判定、點到直線的距離、平行公理，準確判斷是解題的關(guān)鍵．4．（2021·上海市西南模范中學(xué)七年級期中）下列說法正確的是（）①直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短；②兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等；③經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線；④如果一條直線和兩條直線中的一條垂直，那么這條直線也和另一條垂直A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【標準答案】C【思路指引】根據(jù)所學(xué)公理和性質(zhì)定理，對各選項分析判斷后再計算個數(shù)．【詳解詳析】①直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，正確，符合題意；②應(yīng)為兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，錯誤，不符合題意；③經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線，正確，符合題意；④應(yīng)為如果同一平面內(nèi)，一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，那么這條直線也和另一條垂直，錯誤，不符合題意，所以①③兩項符合題意，故選：C．【名師指路】本題主要是對公理和定理的考查，熟記公理定理是解題的關(guān)鍵．5．（2021·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，直線a∥b，AC⊥AB，AC交直線b于點C，∠1＝60°，則∠2的度數(shù)是（）A．50° B．45° C．35° D．30°【標準答案】D【思路指引】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠3與∠1的關(guān)系，根據(jù)兩直線垂直，可得所成的角是90°，根據(jù)角的和差，可得答案．【詳解詳析】如圖，，∵直線a∥b，∴∠3=∠1=60°．∵AC⊥AB，∴∠3+∠2=90°，∴∠2=90°-∠3=90°-60°=30°，故選D．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，利用了平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，角的和差．二、填空題6．（2021·上海市市北初級中學(xué)八年級期末）小宋把一張等邊三角形的紙片放在如圖所示的兩條平行線m、n上測得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度數(shù)是___________．【標準答案】40°

【思路指引】過A作AH∥m，可以得到AH∥m∥n，從而得到∠HAE=∠AEG=20°，∠ADF=∠HAD，再根據(jù)∠CAB=60°求解即可.【詳解詳析】解：過A作AH∥m，∵m∥n，∴AH∥m∥n，∴∠HAE=∠AEG=20°，∠ADF=∠HAD，∵三角形ABC時等邊三角形，∴∠CAB=60°，∴∠HAC+∠HAD=60°，∴∠ADF=∠HAD=40°，故答案為：40°.【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì).7．（2021·上海·七年級期中）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過；如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐角∠B是150°，第三次拐角是∠C，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C是__________【標準答案】150°【詳解詳析】過點B作BE∥AD，∵AD∥CF，∴BE∥AD∥CF，∴∠1=∠A=120°，∠2+∠C=180°，∵∠ABC=150°，∠1+∠2=∠ABC，∴∠2=30°，∴∠C=150°．考點：平行線性質(zhì)8．一副三角尺按如圖的位置擺放（頂點C與F重合，邊CA與邊FE疊合，頂點B、C、D在一條直線上）．將三角尺DEF繞著點F按順時針方向旋轉(zhuǎn)n°后（0＜n＜180），如果EF∥AB，那么n的值是_____．【標準答案】45【詳解詳析】解：①如圖1中，EF∥AB時，∠ACE=∠A=45°，∴旋轉(zhuǎn)角n=45時，EF∥AB．②如圖2中，EF∥AB時，∠ACE+∠A=180°，∴∠ACE=135°∴旋轉(zhuǎn)角n=360°﹣135°=225°，∵0＜n°＜180，∴此種情形不合題意，故答案為45．9．（2021·上海市建平實驗中學(xué)七年級期中）如圖，直線a、b都與直線c相交，給出下列條件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠1=∠8；④∠5+∠8=180°，其中能判斷a∥b的條件是：____________（把你認為正確的序號填在空格內(nèi)）.【標準答案】①②③④【思路指引】根據(jù)平行線的判定方法：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行進行分析即可．【詳解詳析】①∠1=∠2可根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到a∥b；②∠3=∠6可根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到a∥b；③若∠1=∠8，則∠2=∠7可根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到a∥b；④∠3+∠2=180°，可根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行得到a∥b；故答案為①②③④．【名師指路】本題考查平行線的判定，記住同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補兩直線平行，解題的關(guān)鍵是搞清楚同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念10．（2021·上海市川沙中學(xué)南校七年級期中）如圖，DB平分∠ABC,AD//BC,若∠1=(2x+20)°，∠2=(4x+60)°，則∠2=_________【標準答案】100°【思路指引】根據(jù)AD//BC可得，∠1=∠ADB,△ABD的內(nèi)角和為180°，即可求出∠2的度數(shù).【詳解詳析】解：∵AD//BC，∴∠1=∠ADB，在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=2∠1+∠2=180°，求出x=10，∠2=(4x+60)°=100°，故答案為100°.【名師指路】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.11．如圖,把含30°角的直角三角板的直角頂點C放在直線a上,其中∠A=30°,直角邊AC和斜邊AB分別與直線b相交,如果a∥b,且∠1=25°,則∠2的度數(shù)為____【標準答案】35°【思路指引】先過點B作BD∥b，由直線a∥b，可得BD∥a∥b，由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得答案∠4的度數(shù)，又由△ABC是含有60°角的三角板，即可求得∠3的度數(shù)，繼而求得∠2的度數(shù)．【詳解詳析】過點B作BD∥b，∵直線a∥b，∴BD∥a∥b，∴∠4=∠1=25°，∵∠ABC=60°，∴∠3=∠ABC?∠4=60°?25°=35°，∴∠2=∠3=35°.故答案為35°【名師指路】此題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線12．（2021·上海黃浦·七年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠C＋∠D＝1800，∠A－∠B＝400，則∠B＝______.【標準答案】70°【思路指引】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)∠C＋∠D＝180°可知AD∥BC，從而可知∠A+∠B=180°，再根據(jù)∠A－∠B＝40°，解答即可【詳解詳析】∵∠C＋∠D＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，又∵∠A－∠B＝40°，即∠A=40°+∠B∴40°+∠B+∠B=180°，∴∠B=140°【名師指路】本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)相關(guān)知識13．（2021·上?！ひ荒＃┬∶髟跇巧宵c處行到樓下點處的小麗的俯角是，那么點處的小麗看點處的小明的仰角是_______________度．【標準答案】【思路指引】根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求得點B處的小麗看點A處的小明的仰角的度數(shù)，本題得以解決．【詳解詳析】解：由題意可得，∠BAC＝32°，∵AC∥BO，∴∠ABO＝∠BAC，∴∠ABO＝32°，即點B處的小麗看點A處的小明的仰角等于32度，故答案為32．【名師指路】本題利用平行線間角的關(guān)系求仰角俯角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．14．（2021·上海浦東新·七年級期末）在平面內(nèi)，已知與的一組邊平行，另一組邊垂直，且則的度數(shù)為_______________________．【標準答案】或【思路指引】如圖，分別作兩條平行線作為與的一邊，另一組邊互相垂直，分情形討論，①②結(jié)合已知條件，解方程組即可【詳解詳析】①如圖，過點作平行于已知與的一組邊平行即，另一組邊垂直即，，又解得：②如圖與的一邊，另一組邊互相垂直交于點,解得：綜合①②或故答案為：或【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂線的定義，解二元一次方程組，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．15．（2021·上海楊浦·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，如果∠1＝100°，∠2＝120°，那么∠3＝_____度．【標準答案】40【思路指引】過作平行于，由與平行，得到與平行，利用兩直線平行同位角相等，同旁內(nèi)角互補，得到，，即可確定出的度數(shù)．【詳解詳析】解：如圖：過作平行于，，，，，即，．故答案為：40．【名師指路】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．三、解答題16．（2021·上海閔行·七年級期末）如圖，已知，，那么//嗎？為什么？解：//．理由如下：因為（______），又因為（已知），所以（等式性質(zhì)）．因為（已知），得（______）．所以//（______）．【標準答案】鄰補角的意義，等量代換，同位角相等，兩直線平行．【思路指引】利用平行線的逆定理來解決．【詳解詳析】.理由如下：因為（鄰補角的定義），又因為（已知），所以（等式性質(zhì)）.因為（已知），得（等量代換）.所以（同位角相等，兩直線平行）.【名師指路】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，鄰補角、解題的關(guān)鍵掌握平行線的逆定理的使用．17．（2021·上海楊浦·七年級期中）如圖，已知在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB、AC上，且DF∥AB，∠1＝∠A，試說明DE∥AC的理由．解：因為DF∥AB（），所以∠1+＝180°（）．因為∠1＝∠A（已知），所以∠A+＝180°（）．所以DE∥AC（）．【標準答案】已知，∠DEA，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，∠DEA，等量代換，同旁內(nèi)角互補兩直線平行【思路指引】根據(jù)平行線的判定、等量代換及平行線的判定逐一求解即可．【詳解詳析】解：因為DF∥AB（已知），所以∠1+∠DEA＝180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補）．因為∠1＝∠A（已知），所以∠A+∠DEA＝180°（等量代換）．所以DE∥AC（同旁內(nèi)角互補兩直線平行）．故答案為：已知，∠DEA，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，∠DEA，等量代換，同旁內(nèi)角互補兩直線平行．【名師指路】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，準確判斷是解題的關(guān)鍵．18．（2021·上海楊浦·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，直線MN分別交直線AB、CD于點E、F，射線EG、FH分別平分∠AEF、∠DFE，試說明EG∥FH的理由．解：因為AB∥CD（已知），所以∠AEF＝∠DFE（），因為射線EG、FH分別平分∠AEF、∠DFE（已知），所以∠＝∠AEF，∠＝∠EFD（）．所以（等式性質(zhì)）．所以EG∥FH（）．【標準答案】兩直線平行內(nèi)錯角相等；GEF；EFH；角平分線的定義；∠GEF＝∠EFH；內(nèi)錯角相等兩直線平行．【思路指引】根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義及平行線的判定逐一求解即可．【詳解詳析】解：因為AB∥CD（已知），所以∠AEF＝∠DFE（兩直線平行內(nèi)錯角相等），因為射線EG、FH分別平分∠AEF、∠DFE（已知），所以∠GEF＝∠AEF，∠EFH＝∠EFD（角平分線的定義）．所以∠GEF＝∠EFH（等式性質(zhì)）．所以EG∥FH（內(nèi)錯角相等兩直線平行）．故答案為：兩直線平行內(nèi)錯角相等；GEF；EFH；角平分線的定義；∠GEF＝∠EFH；內(nèi)錯角相等兩直線平行．【名師指路】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，準確判斷是解題的關(guān)鍵．19．（2021·上海市建平實驗中學(xué)七年級期中）如圖，AF、BD、CE是直線，點B在直線AC上，點E在直線DF上．∠A=∠F，∠C=∠D．說明∠1與∠2互補的理由．解：因為∠A=∠F（已知），所以AC∥DF（_______________）所以__________（_________________）因為∠C=∠D（已知），所以∠D=∠4（等量代換），所以DB∥CE（______________________），所以∠2+∠3=180°（_________________），因為∠1=∠3（__________________），所以∠2+∠1=180°（等量代換）．【標準答案】內(nèi)錯角相等，兩直線平行；∠4=∠C；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；對頂角相等【思路指引】由∠A=∠F，可得AC∥DF，從而∠4=∠C，又由∠C=∠D，可得∠D=∠4，得到DB∥CE，從而∠2+∠3=180°，再由對頂角相等，即可求解．【詳解詳析】解：因為∠A=∠F（已知），所以AC∥DF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）所以∠4=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）因為∠C=∠D（已知），所以∠D=∠4（等量代換），所以DB∥CE（同位角相等，兩直線平行），所以∠2+∠3=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），因為∠1=∠3（對頂角相等），所以∠2+∠1=180°（等量代換）．【名師指路】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，對頂角的定義，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2021·上海市市北初級中學(xué)八年級期末）如圖，已知，，，請說明的理由．

解：因為（已知）所以（_________）因為（已知）所以（___________）因為（已知）所以（__________）即__________．所以_________．（等量代換）因此（_____________）【標準答案】兩直線平行，同位角相等；等量代換；等式的性質(zhì)；∠DAC；∠DAC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【思路指引】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定進行求解即可．【詳解詳析】

解：因為（已知）所以（兩直線平行，同位角相等）因為（已知）所以（等量代換）因為（已知）所以（等式的性質(zhì)）即∠DAC．所以∠DAC．（等量代換）因此（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案為：兩直線平行，同位角相等；等量代換；等式的性質(zhì)；∠DAC；∠DAC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．21．（2021·上海市西南模范中學(xué)七年級期中）如圖，已知∠AED=∠C,∠DEF=∠B，試說明∠EFG+∠BDG=180°，請完成下列填空：∵∠AED=∠C(_________)∴ED∥BC(_________)∴∠DEF=∠EHC(___________)∵∠DEF=∠B（已知）∴_______(等量代換)∴BD∥EH(同位角相等，兩直線平行)∴∠BDG=∠DFE(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∵_________________(鄰補角的意義)∴∠EFG+∠BDG=180°(___________)【標準答案】已知；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠EHC=∠B；∠DFE+∠EFG=180°；等量代換【思路指引】根據(jù)同位角相等，兩直線平行推出ED∥BC，通過兩直線平行，內(nèi)錯角相等推出∠DEF=∠EHC，再運用等量代換得到∠EHC=∠B，最后推出BD∥EH，∠BDG=∠DFE，再利用鄰補角的意義推出結(jié)論，據(jù)此回答問題．【詳解詳析】解：∵∠AED=∠C(已知)∴ED∥BC(同位角相等，兩直線平行)∴∠DEF=∠EHC(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∵∠DEF=∠B（已知）∴∠EHC=∠B(等量代換)∴BD∥EH(同位角相等，兩直線平行)∴∠BDG=∠DFE(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∵∠DFE+∠EFG=180°(鄰補角的意義)∴∠EFG+∠BDG=180°(等量代換)．【名師指路】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，屬于綜合題，難度一般，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．（2021·上海市建平實驗中學(xué)七年級期中）（1）如圖示，AB∥CD，且點E在射線AB與CD之間，請說明∠AEC=∠A+∠C的理由．（2）現(xiàn)在如圖b示，仍有AB∥CD，但點E在AB與CD的上方，①請嘗試探索∠1，∠2，∠E三者的數(shù)量關(guān)系；②請說明理由．【標準答案】（1）證明見解析；（2）∠1+∠2-∠E=180°．【思路指引】（1）過點E作EF∥AB，由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得到∠A=∠1，由平行的傳遞性得到EF//CD，再由平行線的性質(zhì)得到∠2=∠C，由角的和差即可得到結(jié)論；（2）過點E作EF∥AB，類似可得到結(jié)論．【詳解詳析】解：（1）過點E作EF∥AB，∴∠A=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵AB//CD（已知），∴EF//CD（平行的傳遞性），∴∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵∠AEC=∠1+∠2（圖上可知），∴∠AEC=∠A+∠C（等量代換）；（2）∠1+∠2-∠E=180°．理由如下：過點E作EF∥AB，∴∠4+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∵AB//CD（已知），∴EF//CD（平行的傳遞性），∴∠FEC=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），即∠3+∠4=∠2，∴∠4=∠2-∠3（等式性質(zhì)），∴∠2-∠3+∠1=180°（等量代換），即∠1+∠2-∠AEC=180°．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)，作輔助線并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．如圖，，，60°．求的度數(shù)；如果DE是的平分線，那么DE與AB平行嗎？請說明理由．【標準答案】60°；DE//AB，理由見解析．【思路指引】根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知求出，即可得出答案；求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，求出，即可得出，根據(jù)平行線的判定得出即可．【詳解詳析】，，，，；，理由是：，，，，，，平分，，，．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．24．（2021·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，已知，且，試說明的理由.【標準答案】詳見解析【思路指引】由CD∥AB,可得，由，由等量代換可得，即可完成證明.【詳解詳析】證明：∵（已知）∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵（已知）∴（等量代換）∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是通過圖形分析證明思路.25．（2021·上海市教育學(xué)會青浦清河灣中學(xué)七年級期中）已知，直線AB∥CD（1）如圖（1），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？

（2）如圖（2），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？

（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．

【標準答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【思路指引】（1）過點G作GE∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進行轉(zhuǎn)化求解．

（2）過點G作GF∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進行轉(zhuǎn)化求解．

（3）過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GQ∥CD，利用平行線的性質(zhì)即可進行轉(zhuǎn)化找到角的關(guān)系．【詳解詳析】解：（1）如圖，過點G作GE∥AB，∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD．∴∠C+∠CGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．（2）如圖，過點G作GF∥AB∵AB∥GF，∴∠A=AGF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°．（3）如圖所示，過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GQ∥CD，

∵AB∥CD，

∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．

∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．

∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．

∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，

∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【名師指路】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，本題構(gòu)造輔助線利用平行線的傳遞性結(jié)合平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．26．（2021·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，已知直線AB//EF，AB//CD，∠ABE=50°，EC平分∠BEF，求∠DCE的度數(shù)．【標準答案】∠DCE=155°【思路指引】利用平行線的性質(zhì)、平行公理及角平分線的定義即可求解．【詳解詳析】解：∵AB//EF，∠ABE=50°（已知）∴∠ABE=∠BEF=50°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵EC平分∠BEF（已知）∴∠CEF=∠BEF=25°（角平分線的意義）∵AB//EF，AB//CD（已知）∴CD//EF（平行線的傳遞性）∴∠CEF+∠DCE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∴∠DCE=180°-25°=155°（等式性質(zhì)）．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行公理及角平分線的定義，熟練掌握有關(guān)定理、定義是解題的基礎(chǔ)．27．（2021·上海市建平實驗中學(xué)七年級期中）如圖，已知∠1=∠2，AD=2BC，三角形ABC的面積為3，求三角形CAD的面積．【標準答案】6【思路指引】結(jié)合題意，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得ADBC；AD到BC的距離設(shè)為a，根據(jù)三角形面積公式和代數(shù)式的性質(zhì)，得，從而完成求解．【詳解詳析】∵∠1=∠2∴ADBC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），AD到BC的距離設(shè)為a，∴三角形ABC面積==3，∴

∵AD=2BC∴三角形ACD面積==6．【名師指路】本題考查了平行線、代數(shù)式的知識；結(jié)果的關(guān)鍵是熟練掌握平行線、代數(shù)式的性質(zhì)，從而完成求解．28．（2021·上海市市北初級中學(xué)七年級期末）如圖，已知ABCD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，請說明ADBC的理由．解：因為ABCD（已知），所以∠4＝∠BAE（），因為∠3＝∠4（已知），所以∠3＝∠BAE（），因為∠1＝∠2（已知），所以∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，即∠BAE＝．所以∠3＝．（等量代換）因此ADBC（）．【標準答案】兩直線平行，同位角相等；等量代換；∠DAC；∠DAC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【思路指引】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定進行相應(yīng)的證明即可得到答案.【詳解詳析】解：因為ABCD（已知），所以∠4＝∠BAE（兩直線平行，同位角相等），因為∠3＝∠4（已知），所以∠3＝∠BAE（等量代換），因為∠1＝∠2（已知），所以∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，即∠BAE＝∠DAC．所以∠3＝∠DAC．（等量代換）因此ADBC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.29．（2021·上海·七年級期中）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)來求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為度；（2）如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．試判斷∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【標準答案】（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，見解析；（3）當P在BA延長線時，∠CPD=∠β-∠α；當P在AB延長線上時，∠CPD=∠α-∠β【思路指引】（1）過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)求∠APC即可；（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解詳析】解：（1）過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故