人教版九年級下冊數(shù)學教案第27章 相似

第二十七章相似

27.1圖形的相似

教材分析

《圖形的相似》是繼“軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)”之后集中研究圖形形狀的內(nèi)容，從實際問題引入，通過對生活中

的實例認識圖形的相似，讓學生理解圖形相似的概念，讓學生體驗圖形與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，體會圖形相似與圖

形全等等內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系.

本節(jié)課是學生在認識了全等形的基礎(chǔ)上進行教學的，研究相似比研究全等更具一般性，相似圖形、相似多邊形

的概念是后續(xù)學習相似三角形的基礎(chǔ)，是空間與圖形領(lǐng)域中的重要內(nèi)容.

本節(jié)課所涉及的內(nèi)容來源于實際生活，為學生的數(shù)學建模能力搭建了一個平臺，從中學到的不僅僅是知識、方

法，還會將生活語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，提高了學生的應用意識，有著承上啟下、貫穿始終的作用.

備課素材

新課導入設訐:

【情景導入】播放一些著名建筑物的圖片（如圖所示），讓學生在音樂中欣賞，感受生活中形狀相同的圖形.欣

賞并找出圖中哪些圖形是相同的.

【說明與建議】說明：讓學生留心觀察生活中存在的大量形狀相同的圖形，增強學生的感性認識.伴著音樂

欣賞美麗的圖片，提高了學生的學習興趣，從而讓學生感受到數(shù)學學習的內(nèi)容都是現(xiàn)實的、有趣的，讓學生體會到

數(shù)學就在我們身邊.建議：讓學生經(jīng)歷從現(xiàn)實世界中抽象出平面圖形的過程，直觀地感受圖片中有很多相同的圖形,

從而引出課題.

【置疑導入】下圖中每一組圖形的形狀相同嗎？大小相同嗎？每一組圖形是全等圖形嗎？

（1）等邊三角形（2）正方形（3）矩形

【說明與建議】說明：通過圖形的比較，讓學生感受相似圖形所具備的共同特征，同時引導學生自然地得出

相似多邊形的定義.建議：在得到相似多邊形定義的時候要抓住兩個關(guān)鍵點：一是各角對應相等，二是各邊對應成

比例.

【回顧導入】如圖，下邊格點圖中有一個四邊形，請在右邊的格點圖中畫出一個與該四邊形相似的圖形.

問題：對于圖中兩個相似的四邊形，它們的對應角是否相等？對應邊的比是否相等？

【說明與建議】教師可以讓學生依據(jù)相似圖形的概念畫出后，利用量角器和直尺測量對應角、對應邊，從而

引導學生得出相似多邊形的概念.

◎命題熱點)

命題角度1識別相似圖形、判斷相似多邊形

1.下列圖形一定相似的是(C)

A.兩個平行四邊形B.兩個矩形

C.兩個正方形D.兩個等腰三角形

命題角度2利用相似多邊形的性質(zhì)求線段和角

2.如圖，四邊形ABCDs四邊形EFGH,NA=80°,NC=90°,/F=70°,則NH=(D)

E

A.70°B.80°C.110°D.120°

3.已知四邊形ABCD與四邊形A'B'CD'相似，相似比為3：4,其中四邊形ABCD的周長為18cm,則四邊

形A'B'CD’的周長為%cm.

命題角度3判斷四條線段是否成比例及利用成比例線段的定義求線段的長

4.下列各組線段中，線段a,b,c,d是成比例線段的是(A)

A.a—1,b=2,c=4,d=8B.a—2,b=l,c—4,d=8

C.a—1,b—2,c=8,d=4D.a—1,b=4,c=8,d=2

5.已知a,b,c,d是成比例線段，其中a=lcm,b=4cm,c=2cm,則d=(C)

A.2cmB.4cmC.8cmD.10cm

命題角度4利用比例尺求距離

6.若一張地圖的比例尺是1：150000,在地圖上量得甲、乙兩地的距離是5cm,則甲、乙兩地的實際距離是

A.3000mB.3500mC.5000mD.7500m

含數(shù)學文化拓展閱閡

《蘇軾巧分田產(chǎn)》

相傳，北宋大文學家蘇軾在鳳翔作官時，為官清正，秉公執(zhí)法，深得百姓擁戴.一天，有兄弟四人前來告狀.蘇

軾坐在公案前，展開狀紙一看：“小民楊大毛，家住城南寨.先父臨終時，留下兩頃田，只因分不均，兄弟反目.青

天大老爺，請把理來斷

蘇軾接過地契，心中暗暗盤算，楊家田地為工字形，如何分配，才能讓四兄弟滿意呢？沉思片刻，計上心來，

遂喚一名差役耳語道：”只需如此如此……”差役遵囑叫上四兄弟當場丈量，不一會兒，只見四兄弟滿面帶笑地跑

過來，叩頭不迭道：“多謝恩公明斷！”

你知道蘇軾是怎樣使分開后的四塊田地形狀相同，面積相等的嗎？

分法如下：

教學設計

課題27.1圖形的相似授課人

1.理解相似圖形的特征，掌握相似圖形的識別方法.

2.了解成比例線段的含義，會判斷四條線段是不是成比例線段.

素養(yǎng)目標

3.理解相似多邊形的概念、性質(zhì)及判定，會計算和相似多邊形有關(guān)的角度和線段的長.

1.理解并掌握相似圖形、相似多邊形的概念及特征.

教學重點

2.探索相似多邊形的性質(zhì)中的“對應”關(guān)系.

教學難點能利用成比例線段的概念及相似多邊形的性質(zhì)進行有關(guān)計算.

授課類型新授課課時

教學活動

教學步驟師生活動設計意圖

1.什么是全等形？全等形的形狀和大小有什么關(guān)系？通過復習全等形

回顧2.下面兩個圖形是不是全等形？如何判斷？的概念和判定，為

本節(jié)課相似形的

學習做鋪墊.同

時，通過欣賞、識

別生活中的全等

圖片，讓學生體會

數(shù)學來源于生活，

激發(fā)學生學習的

興趣，感受數(shù)學中

的美.

【課堂引入】

1.欣賞下面各組圖片：

(1)在空中不同高度飛行的兩架型號相同的直升機；通過對生活中形

**狀相同的圖形的

觀察和欣賞，從實

活動一：創(chuàng)際模型中抽象概

設情境、導(2)大小不同的兩個足球；括得出數(shù)學概念，

入新課自然地引出課題，

使學生初步感受

相似，同時進行美

(3)汽車和它的模型.

育滲透.

2.你能看出上面各組圖片的共同之處嗎？把你的想法說給同學聽聽.

探究新知：1.讓學生親自觀

1.探究相似圖形的定義察實際生活中的

問題：(1)全等圖形的形狀和大小之間有什么關(guān)系？圖形，在教師提出

(2)觀察上述圖片，它們的形狀和大小之間有什么關(guān)系？的問題的引導下，

活動二：實

(3)你能給出相似圖形的定義嗎？進行分析、探究，

踐探究、交

(4)全等圖形一定相似嗎？相似圖形一定全等嗎？根據(jù)圖形特點歸

流新知

(5)你能歸納全等圖形和相似圖形之間的關(guān)系嗎？納出相似圖形的

(6)你能舉出現(xiàn)實生活中一些相似圖形的例子嗎？概念，培養(yǎng)學生的

師生活動：學生在教師設置的問題串下積極思考回答，教師及時點撥和引導，觀察能力，激發(fā)學

最后課件展示探究結(jié)論.生的求知欲望，經(jīng)

【結(jié)論】形狀相同的圖形叫做相似圖形.歷相似圖形概念

全等圖形是相似圖形的一種特殊情況.的形成過程，體會

2.探究成比例線段的概念數(shù)學與生活息息

問題：(1)把九年級數(shù)學課本的兩個鄰邊看作兩條線段AB和CD,那么什么是這相關(guān).

兩條線段的比？2.學生在教師提

(2)如何判斷四條線段是成比例線段？成比例線段的概念中應注意什么問題？出的問題的引導

師生活動：學生在教師的引導下思考回答，教師課件展示成比例線段的概念.下，層層深入地形

成比例線段：對于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的比(即它們長度成成比例線段的

的比)與另兩條線段的比相等，如三甘(即ad=bc),我們就說這四條線段成比概念，學生經(jīng)歷概

bd

念的形成過程，力口

例.

深對概念的理解，

注意：①兩條線段的比與所采用的長度單位沒有關(guān)系，在計算時要注意統(tǒng)一單

為相似多邊形的

位；②線段的比是一個沒有單位的正數(shù)；③成比例線段概念中的四條線段是有

概念的形成做鋪

順序的，如a,b,c,d是成比例線段與a,d,b,c是成比例線段得到的比例

墊.

式是不同的.

3.通過觀察、測

3.探究相似多邊形的概念和性質(zhì)

量、辨析、歸納等

問題：(1)測量課前準備的兩個形狀相同的三角尺的各角和各邊，你得到什么

數(shù)學活動，探究相

結(jié)論？

似多邊形的定義

(2)測量課前準備的兩個正方形的各角和各邊，你有什么發(fā)現(xiàn)？

及性質(zhì)，讓學生體

(3)你能根據(jù)以上探究活動得出相似多邊形的概念嗎？

會由特殊到一般

(4)怎樣用幾何語言表示相似多邊形的概念呢？

的數(shù)學思想方

(5)什么是相似比？相似比與兩個相似多邊形的順序有關(guān)嗎？

法.在探究過程

(6)相似多邊形的對應角、對應邊有什么特點？用幾何語言怎樣表示？

中，教師通過設置

學生在教師的引導下，邊動手操作邊思考、回答問題，師生共同歸納出相似多

層層深入的小問

邊形的概念.

題，引導學生完成

相似多邊形：兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那

探究活動，降低了

么這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比.

學生學習新知識

的難度，讓學生體

驗了知識的形成

過程，提高了學生

分析問題的能

力.通過用幾何語

言表示相似多邊

形的定義和性質(zhì)，

完成文字語言與

符號語言之間的

轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學生用

符號語言表達數(shù)

學知識的能力.

【典型例題】

例(教材第25頁練習第2題)如圖，圖形(a)?(f)中，哪些與圖形⑴或(2)

相似？通過經(jīng)歷對例題

色鼻的探究過程,加深

⑴(a)(b)⑹網(wǎng)

焉回學生對相似圖形

活動三：開/處

的基本特征的理

放訓練、體(2)(d)(e)(f)

解,達到鞏固知識

現(xiàn)應用解:圖形(d)和圖形⑴相似,圖形(e)和圖形(2)相似.

的目的，培養(yǎng)學生

【變式訓練】

分析問題、解決問

如圖所示的圖形中，哪些是相似圖形?

?o題的能力.

①②③④⑤

o??□1—

⑥⑦⑧⑨⑩

【課堂檢測】

1.下列四組長度的線段中，是成比例線段的是(C)

通過課堂檢測，進

A.4cm,5cm,6cm,7cmB.3cm,4cm,5cm,8cm

一步鞏固所學的

活動四：課C.5cm,15cm,3cm,9cmD.8cm,4cm,1cm,3cm

新知，同時檢測學

堂檢測2.觀察下面圖形，指出(1)?⑼中的圖形有沒有與給出的圖形(a),(b),(c)

習效果，做到“堂

形狀相同的？

堂清”.

O

--1

——1

(a)(b)(C)

生氐

⑴(2)(3)

金,K0Z

(4)(5)(6)

fflW

(7)(8)(9)

解：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)圖形(4)、(8)與圖形(a)形狀相同；圖形(6)與圖形(b)

形狀相同；圖形(5)與圖形(c)形狀相同.

3.如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH相似，求角a,B的大小和EF的長度x.

解：a=83°,B=81°,x=28.

1.課堂小結(jié)：

(1)通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？還有什么疑感？說給老師或同學聽聽.

學生在反思中整

(2)教師與同學聆聽部分同學的收獲，解決部分同學的疑惑.

理知識、梳理思

教學說明：梳理本節(jié)課的重要方法和知識點，加深對本節(jié)課知識的理解.讓學

維,獲得成功的體

課堂小結(jié)生在總結(jié)的過程中理清思路、整理經(jīng)驗，對本節(jié)課所學的知識結(jié)構(gòu)有一個清晰

驗，積累學習的經(jīng)

的認識，再通過排憂解難讓學生對知識形成正向遷移，從而構(gòu)建出合理的知識

驗,養(yǎng)成系統(tǒng)整理

體系，養(yǎng)成良好的學習習慣.

所學知識的習慣.

2.布置作業(yè)：

教材第27?28頁習題27.1第1,3,5,6題.

27.1圖形的相似

1圖形.相似1提綱挈領(lǐng),重點突

板書設計

1相似產(chǎn)11成比，踐段11棚以:姚11知竿

出.

義II?金幸慶系||扁||比1尺||&血1而匕11例向1

1全等是相似1

1蹣殊W況|

反思教學過程和

教師表現(xiàn),進一步

教學反思

提升操作流程和

自身素質(zhì).

經(jīng)典導學設計

詳見電子資源

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定

第1課時平行線分線段成比例

教材分析

《相似三角形的判定》是在學生認識相似圖形，了解相似多邊形的性質(zhì)及判定的基礎(chǔ)上進行學習的，是本章的

重點內(nèi)容.本課時首先利用“如果兩個多邊形滿足對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊形相似.”引出

兩個三角形相似的定義（即三個角分別相等，三條邊成比例的兩個三角形相似），然后引導學生思考類比全等三角形

的判定方法，對于相似三角形是否存在較為簡便的方法.接下來教材編寫者通過一個“探究”，由學生動手測量來

探究得到平行線分線段成比例的基本事實（三條平行線截兩條直線，所得的對應線段的比相等），繼而將其應用于三

角形中，得到“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例這一基本事實

的推論，是進一步學習相似三角形判定的預備定理的基礎(chǔ).

備課素材

新課尋入設記

【置疑導入】（1）如圖，一組等距離的平行線截直線AC所得到的線段相等，那么在直線A'C'上所截得的線段

有什么關(guān)系呢？

（2）碟=|,猜想/廠的值是多少.

【說明與建議】說明：讓學生通過試驗來體會”如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么這組平

行線在其他直線上截得的線段也相等”的數(shù)學事實，以此來為平行線分線段成比例的基本事實做鋪墊.通過生活中

的一個實例激發(fā)學生探究知識的欲望.建議：用印有等距離平行線的作業(yè)紙和刻度尺做試驗：（1）畫一條與這組平

行線垂直的直線L,則直線L被這組平行線截得的線段相等嗎？為什么？（2）任意畫一條與這組平行線相交的直線

12,量一量直線12被這組平行線截得的線段是否相等.

【類比導入】（1）如果兩個三角形的形狀和大小都相同，那么這兩個三角形是全等三角形.

（2）如果兩個多邊形的邊數(shù)相同，它們的角分別相等，對應邊成比例，那么這兩個多邊形是相似多邊形.

（3）類比全等三角形和相似多邊形的定義，你能說出什么叫相似三角形嗎？如何表示相似三角形呢？又如何判

定兩個三角形相似呢？

【說明與建議】說明：通過對全等三角形的定義和判定方法的回顧，加強新舊知識的聯(lián)系和延伸，類比舊知

識的學習方法、數(shù)學思想來學習新知識.建議：讓學生明確可類比全等三角形對應邊、對應角的關(guān)系來尋找相似三

角形中的對應元素：（1）對頂角一定是對應角.（2）公共角一定是對應角.（3）最大角或最小角一定是對應角.（4）對

應角所對的邊一定是對應邊.（5）對應邊所對的角一定是對應角.（6）對應邊所夾的角一定是對應角.

受命題熱虛

命題角度1利用平行線分線段成比例的基本事實及推論進行計算或推理

1.如圖，已知下列比例式中錯誤的是（D）

命題角度2多次應用平行線分線段成比例的相關(guān)結(jié)論進行計算或推理

2.如圖，在AABC中，點D,E,F分別在AB,AC,BC邊上，DE〃BC,EF/7AB,則下列式子一定正確的是（B）

ADDEADBFADFCADFC

A--=---R---：=---C--------F）---=：---

DBBCDBFCDBBFDBBC

命題角度3利用三角形相似的預備定理判定相似三角形

AD3AF

3.如圖，在AABC中，DE〃BC,若康則奇的值為（0

AB5CB

4.如圖，已知AB〃EF〃CD,AD與BC相交于點0.

Q）如果CE=3,EB=9,DF=2,求AD的長;

⑵如果BO：OE：EC=2：4：3,AB=3,求CD的長.

解:（1）AD的長是8.（2）CD的長是10.5.

教學設計

課題27.2.1第1課時平行線分線段成比例授課人

1.了解相似比的定義.

2.掌握平行線分線段成比例定理的基本事實以及利用平行線法判定三角形相似.

素養(yǎng)目標3.會用平行線分線段成比例定理及平行線法判定三角形相似來解決問題.

4.通過探索平行線分線段成比例這個基本事實的過程，進一步熟悉由特殊到一般的數(shù)學思想，能

把一個稍復雜的圖形分成幾個基本圖形，鍛煉識圖能力和推理論證能力.

教學重點平行線分線段成比例的基本事實及其推論的理解.

教學難點平行線分線段成比例的基本事實及其推論的靈活應用，平行線分線段成比例的基本事實的變形.

授課類型新授課課時

教學活動

教學步驟師生活動設計意圖

問題1引導學生

回顧舊知得出相

似三角形的定義

及寫法.問題2、

問題1：根據(jù)所學相似多邊形的知識，你能給出相似三角形的定義嗎？

3讓學生理解全

問題2：如果相似比為1,那么這兩個三角形有什么關(guān)系？

回顧等是相似的特殊

問題3：判定三角形全等，我們并不是驗證六個條件，而是利用了幾個簡便的

情況，類比三角形

判定定理，那么判定三角形相似我們又能找到哪些簡便的方法呢？

全等的判定方法

為我們探索三角

形相似的判定方

法提供方向指導.

【課堂引入】

問題：如圖，一組等距離的平行線截直線a所得到的線段相等，那么在直線b通過展示問題，由

活動一：創(chuàng)

上所截得的線段有什么關(guān)系呢？淺入深，循序漸

設情境、導

a夕

葉進，為學習新知做

入新課

鋪墊.

引導學生回答問題后，教師做如下總結(jié)：

一組等距離的平行線在直線a上所截得的線段相等，那么在直線b上所截得的

線段也相等.

以上結(jié)論是平行線等分線段的基本事實，討論的是平行線截得線段相等的情

況，如果截得的線段不相等呢？

1.本環(huán)節(jié)的主要

【探究新知】

任務是推理得出

1.探究平行線分線段成比例的基本事實

平行線分線段成

教師提出問題，學生討論問題：

比例的基本事實，

其中運用了先猜

想、再測量、最后

圖1

論證的方法，用語

如圖1,三條平行直線L,必L在直線AE上截得的線段AC,CE的長度之間存

言把平行線分線

在著什么關(guān)系呢？同樣在直線BF上截得的線段BD,DF的長度之間存在著什么

段成比例的基本

關(guān)系呢？

事實進行總結(jié)，使

教師指導學生利用刻度尺先測量線段的長度，然后尋找線段AC,CE,BD,DF

結(jié)論的得出有一

之間是否存在比例關(guān)系，實際驗證后可以得到如下結(jié)論：

定的層次性，也使

活動二：實由Ml八而=于而=§,可得質(zhì)=而=§.

學生在認識問題、

踐探究、交仿照上例分析，可得結(jié)論：由L〃1Z〃13,可得等=,=1.

AEDr0理解問題時確定

流新知

教師引導學生初步總結(jié)出平行線分線段成比例的基本事實，然后師生共同進行了一種思想方法.

推理論證.2.本環(huán)節(jié)是對平

師生共同歸納得出基本事實，教師板書基本事實.行線分線段成比

平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線例的基本事實的

段成比例.變式與延伸，這部

2.探究平行線分線段成比例基本事實的推論分內(nèi)容將在以后

教師將圖1中的某些直線進行平移變換，使其出現(xiàn)圖2、圖3所示的位置關(guān)系，的學習和應用中

對學生提出問題：起到重要的指導

今也一/，作用，所以在探

究、總結(jié)、應用的

過程中，一定要注

圖2圖3

意知識的重要性，

根據(jù)基本事實補全下列比例式:要使每一個學生

』ACBDACBDCE_DF都有深刻的理解

由圖2,===;

1寸CEDFAE"BF,AEBF

/日ACBDAC_BDCE_DF與記憶.

由圖3,信而=應,AE=,AE==BF,

"BF3.學生經(jīng)歷觀察、

解答本題應關(guān)注線段之間的對應關(guān)系，列比例式時上與下的對應關(guān)系應展現(xiàn)

猜想、動手實踐、

在同一條直線上，同時教師應利用比例的基本性質(zhì)，指導學生對比例式進行變

總結(jié)歸納、實踐應

形訓練，進而總結(jié)出平行線分線段成比例的位置規(guī)律，如《=(，￡

用等環(huán)節(jié)，在學習

—工竺知識的過程中循

一全寺.

序漸進，符合學生

教師對于圖形作進一步變化：對于以上兩個練習，只保留如圖4所示的部分，

的認知規(guī)律和思

那么就可以得到兩個三角形對應邊成比例的式子，可以得到什么結(jié)論呢？

維模式.通過對相

似三角形的基本

圖形的對比理解，

更能加深印象.

教師在由一般到特殊的演化過程中，將平行線分線段成比例的基本事實延伸到

三角形中，當三角形中出現(xiàn)平行線時，使三角形的各邊之間存在比例關(guān)系.

教師指導學生總結(jié)平行線分線段成比例的基本事實的推論：平行于三角形一邊

的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例.

3.探究三角形相似的預備定理

教師提出問題，學生組內(nèi)討論解答，教師適時指導：

如圖5,在AABC中，D為AB上任意一點，過點D作DE〃BC交AC于點E.

(l)AADE與4ABC的三個角分別相等嗎？

(2)分別度量4ADE與AABC的邊長，它們的邊長是否對應成比例？

A

圖5

⑶4ADE與4ABC之間有什么關(guān)系？平行移動DE的位置，你的結(jié)論還成立嗎？

思考：當DE〃BC時，4ADE與AABC相似，可以用什么語言來概括呢？你能進

行證明嗎？

總結(jié)判定三角形相似的預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，

所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

思考：一條直線截三角形兩邊延長線所得三角形與原三角形相似嗎？請對比圖