山西省祁縣中學(xué)2024年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

山西省祁縣中學(xué)2024年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若復(fù)數(shù)/--(aeR)是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)2a+2,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

1+z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4x-y..2,

2.不等式°的解集記為。，有下面四個(gè)命題：Pi：V(x,y)eD,2y-西,5；A：3(x,y)eD,2y-x.2；

J+M，3

p3：\f(x,y)^D,2y-x,,2；/:m(x,y)eD,2y-x..4次中的真命題是()

A.PiRB.P2,P3C.PmD.。2,。4

3.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”,

亦稱(chēng)“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的).類(lèi)比“趙

爽弦圖”.可類(lèi)似地構(gòu)造如下圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大等邊三角

形.設(shè)D尸=2A尸=2,若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形(陰影部分)的概率是()

3A/13

26

4.已知集合A=A7=J%2—1},(x-2x2)},貝!|CR(AAB)=()

A.[0,—)B.(-co,0)U[—,+co)

22

C.(0,-)D.(-oo,0]U[-,+oo)

22

5.函數(shù)/(x)=sin0x(。＞0)的圖象向右平移二個(gè)單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象，并且函數(shù)g(x)在區(qū)間￡,芻上

1263

單調(diào)遞增，在區(qū)間［工,2］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)0的值為（）

32

735

A.—B.—C.2D.一

424

V2V24

6.已知雙曲線(xiàn)C：—-2_=l（a>0,6>0）的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)原點(diǎn)。作斜率為一的直線(xiàn)交C的右支于點(diǎn)A,若|。4|=|。尸

a2b23

則雙曲線(xiàn)的離心率為（）

A.73B.75C.2D.73+1

7.已知函數(shù)/（x）=sin（ox+6）,其中6y>0,其圖象關(guān)于直線(xiàn)x=￡對(duì)稱(chēng)，對(duì)滿(mǎn)足|/（石）一/（々）|=2

的占，％，有N-%L=W，將函數(shù)的圖象向左平移煮個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g3的單

調(diào)遞減區(qū)間是（）

77E

A.kji--.k7i+—[k€Z)B.K7i,k7r-\--(keZ)

62

7兀，7乃

C.k7T-\——,k兀?-----(kGD.k兀'?兀A(丘Z)

36'1212

8.如圖所示的程序框圖輸出的S是126,則①應(yīng)為（）

A.n<5?B.n<6?C.n<7?D.n<8?

x+2y-5<0

2x+y-4<0

9.若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足條件―、八,目標(biāo)函數(shù)z=2%—y,則z的最大值為（）

x>0

5

A.B.1C.2D.0

2

10.設(shè)aeH,b>0,則“3°>2，'是"°〉嶼6”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.已知函數(shù)/(x)=<9x>0‘則函數(shù)'=/(/(%))的零點(diǎn)所在區(qū)間為()

A.B.(-1,0)C.(4D.(4,5)

12.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是R上的單調(diào)函數(shù)的是()

A./(x)=ln(|x|+l)B./(%)=/

2二x<0)

X2+2x,(x>0)

c.D./(x)=<0,(x=0)

-X2+2x,(x<0)

I,(x>0)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知復(fù)數(shù)z=1+27,其中i為虛數(shù)單位，則Z?的模為.

14.經(jīng)過(guò)橢圓事+丁=1中心的直線(xiàn)與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在第一象限)，過(guò)點(diǎn)以作x軸的垂線(xiàn)，垂足為

點(diǎn)E.設(shè)直線(xiàn)NE與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為P.則cosZNMP的值是

15.(x+1)，的展開(kāi)式中產(chǎn)的系數(shù)為

16.成都市某次高三統(tǒng)考，成績(jī)X經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，近似服從正態(tài)分布X?NQOO,b?),且P(86<X<100)=0.15,若

該市有8000人參考，則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績(jī)X大于114分的人數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

TTTT

17.(12分)如圖，在直角中，ZACB=-,ZCAB=-,AC=2,點(diǎn)"在線(xiàn)段AB上.

23

(1)若sin/CM4=X3,求CM的長(zhǎng)

3

（2）點(diǎn)N是線(xiàn)段B上一點(diǎn)'MN=B且%求.+酬的值.

18.（12分）已知橢圓C:5+y2=l的右頂點(diǎn)為4,點(diǎn)P在V軸上，線(xiàn)段AP與橢圓C的交點(diǎn)3在第一象限，過(guò)點(diǎn)3

的直線(xiàn)I與橢圓C相切，且直線(xiàn)/交X軸于〃.設(shè)過(guò)點(diǎn)4且平行于直線(xiàn)I的直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)Q.

（I）當(dāng)3為線(xiàn)段AP的中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)A3的方程；

（II）記ABPQ的面積為H,AOMB的面積為邑，求、+$2的最小值.

19.（12分）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,73sin（A+B）=4sin2.

（1）求cosC；

（2）若b=7,。是BC邊上的點(diǎn)，且AAC。的面積為6石，求sinNAO反

221

20.（12分）已知橢圓。：彳+￡=1（?！?〉0）與*軸負(fù)半軸交于4（—2,0）,離心率6=萬(wàn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)/：y=Ax+〃z與橢圓C交于/（%,%）,N（42,%）兩點(diǎn)，連接AM4V并延長(zhǎng)交直線(xiàn)x=4于

后（*3，%），方（七，典）兩點(diǎn)，若一+—=—+—,直線(xiàn)是否恒過(guò)定點(diǎn)，如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是,

''%>2>3>4

請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.（12分）已知函數(shù)y=/（x）.若在定義域內(nèi)存在％,使得/（—%）=—/（須）成立，則稱(chēng)/為函數(shù)y=/（x）的局

部對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

（1）若人￡尺且。聲0,證明：函數(shù)/（%）=ax1+bx-4有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；

（2）若函數(shù)8（月=2'+0在定義域［-1』內(nèi)有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

（3）若函數(shù)Mx）=4'—底22+療—3在R上有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

22.（10分）已知拋物線(xiàn)。：：/=2勿（〃>0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，點(diǎn)。（2,力（“>0）在拋物線(xiàn)C上，|P同=3,直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)

F,且與拋物線(xiàn)。交于A,3兩點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)。的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求尸4尸3的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)'-由它是純虛數(shù)，求得。，從而確定2a+2/?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

1+z

【詳解】

2a+2i1號(hào)=a+l+”6是純虛數(shù)，則.?+1=0

a——19

1+z1一aH0'

2a+2,=—2+2"對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(-2,2),在第二象限.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一分析可得結(jié)果.

【詳解】

作出可行域如圖所示，當(dāng)x=l,y=2時(shí)，(2y—x)111ax=3,即2y-x的取值范圍為(―s,3],所以

V(x,y)&D,2y-x?5,為真命題;

3(x,y)^D,2y-x..2,p2為真命題；p3，P”為假命題.

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.

3、A

【解析】

根據(jù)幾何概率計(jì)算公式，求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.

【詳解】

在AABZ)中，AD=3,BD=1,ZADB=120°,由余弦定理，得AB=JAD?+§￡)2_2Ao.8DCOS120°=如，

DF2

所以罰

所以所求概率為黑絲=（二］.

S^ABCIA/13J13

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

求函數(shù)的值域得集合A,求定義域得集合3,根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義寫(xiě)出運(yùn)算結(jié)果.

【詳解】

集合4={y|y=—1}=。肚0}=[0,+oo)；

B=[x]y=lg(x-2x2)}={x\x-2x2>0}={x|0<x<^}=(0,g),

：.AQB=(0,-),

2

ACs(AAB)=(-oo,0]U[-,+oo).

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.

5、C

【解析】

由函數(shù)/(X)=sina>x(a>>0)的圖象向右平移。個(gè)單位得到g(x)=s利5)]=sin(.cox-,函數(shù)g(x)在

TTTTITIT

區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間

_o3J|_32_

上單調(diào)遞減，可得x時(shí)，g(x)取得最大值，即(ox]—爸)=a+2左乃，keZ,6y>0,當(dāng)k=0時(shí)，解得。=2,

故選C.

點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”

的規(guī)律求解出g(x),根據(jù)函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減可得x時(shí)，g(力取

得最大值，求解可得實(shí)數(shù)。的值.

6、B

【解析】

(222

以。為圓心，以耳為半徑的圓的方程為必+丁2=02,聯(lián)立/,可求出點(diǎn)A△--------,則

G卞=1(c0

￡

C4

整理計(jì)算可得離心率.

ay/c2+b~

c

【詳解】

解：以。為圓心，以同為半徑的圓的方程為好+/=。2,

ayjc2+b2

222

x+y=cx=---------------

聯(lián)立一12,取第一象限的解得,

b2

y=—

￡

ay/c2+b2b2

c4

即A----------，一，則

ay/c2+b23

整理得(9C2-5?2)(C2-5?2)=0,

252

則c==士<1(舍去)，c==5,

a29a2

.'.e=—=y/5.

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線(xiàn)離心率的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.

7、B

【解析】

根據(jù)已知得到函數(shù)/(%)兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的距離也即是半周期，由此求得。的值，結(jié)合其對(duì)稱(chēng)軸，求得。的值，進(jìn)而求得

/(X)解析式.根據(jù)圖像變換的知識(shí)求得g(x)的解析式，再利用三角函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法，求得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)

間.

【詳解】

解：已知函數(shù)/(x)=sin(s+e),其中@>0,0*，￡|，其圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，

對(duì)滿(mǎn)足|/(%)一/(%2)|=2的%，%，有1%_%2，in=5=5?二7，,④=2,

7T7TTT

再根據(jù)其圖像關(guān)于直線(xiàn)％=。對(duì)稱(chēng)，可得2%一+。=左"+—,keZ.

662

：.0=^~,：./(x)=sin^2x+.

將函數(shù)/(x)的圖像向左平移占個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)=sin2x+g+￡=cos2.x的圖像.

6I36J

令2左萬(wàn)<2x<2k7i+7i，求得kji<x<kji—,

2

71

則函數(shù)g(%)的單調(diào)遞減區(qū)間是k兀，k兀+5,keZ,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求函數(shù)解析式，考查三角函數(shù)圖像變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于中

檔題.

8、B

【解析】

試題分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+...+2n

的值，并輸出滿(mǎn)足循環(huán)的條件.

解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，

再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：

該程序的作用是累加S=2+22+...+2n的值，

并輸出滿(mǎn)足循環(huán)的條件.

VS=2+22+...+21=121,

故①中應(yīng)填nSL

故選B

點(diǎn)評(píng)：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，應(yīng)高度重視.程序填空也是重要的考試題型，

這種題考試的重點(diǎn)有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出.其中前兩點(diǎn)考試的概率更大.此種題

型的易忽略點(diǎn)是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

9、C

【解析】

畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最大值.

【詳解】

x+2y-5<0

2x+y-4<0

若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足條件八，目標(biāo)函數(shù)z=2x-y

x>0

”1

3

當(dāng)x=5，y=1時(shí)函數(shù)取最大值為2

故答案選C

【點(diǎn)睛】

求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(ab豐0)的最值：

當(dāng)b>0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在V軸上截距最大時(shí)，z值最大，在丁軸截距最小時(shí)，z值最??；

當(dāng)6<。時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.

10、A

【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算分別從充分性和必要性去證明即可.

【詳解】

若3a>2匕，Z?>0,則a>log32Z?,可得a〉log3b；

若a>logs6,可得3">b，無(wú)法得到3">2Z?,

所以“3">2，'是“?！祃og36”的充分而不必要條件.

所以本題答案為A.

【點(diǎn)睛】

本題考查充要條件的定義，判斷充要條件的方法是：

①若。=4為真命題且4=>〃為假命題，則命題p是命題g的充分不必要條件；

②若。=4為假命題且402為真命題，則命題p是命題g的必要不充分條件；

③若。=4為真命題且4n〃為真命題，則命題P是命題g的充要條件；

④若。=4為假命題且4n2為假命題，則命題?是命題q的即不充分也不必要條件.

⑤判斷命題0與命題g所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題0與命題g的關(guān)系.

11,A

【解析】

首先求得x<0時(shí)，/(%)的取值范圍.然后求得x>0時(shí)，/(尤)的單調(diào)性和零點(diǎn)，令/(/(力)=0,根據(jù)“x<0時(shí),

/(%)的取值范圍”得到了(%)=2*+log3x—9=3,利用零點(diǎn)存在性定理，求得函數(shù)y=/(/(%))的零點(diǎn)所在區(qū)間.

【詳解】

當(dāng)xKO時(shí),3</(%)<4.

當(dāng)"0時(shí)，"xhT+loggf—gnZx+logsX—9為增函數(shù)，且〃3)=0,則x=3是八％)唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)

x<0時(shí)，3</(%)<4所以

令/(/(力)=0,得〃x)=2'+log3X—9=3,因?yàn)椤?)=0<3,

/^1j=8V2+log31-9>8xl.414+log33-9=3.312>3,

所以函數(shù)y=/（/（%））的零點(diǎn)所在區(qū)間為13,11.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點(diǎn)，考查零點(diǎn)存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的

數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

12、C

【解析】

對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.

【詳解】

對(duì)于4，〃—尤）=ln（H+l）=ln（國(guó)+1）=/（無(wú)），.?./（可是偶函數(shù)，故選項(xiàng)4錯(cuò)誤；

對(duì)于3,/（%）=%-'=-,定義域?yàn)閧RXHO},在R上不是單調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)3錯(cuò)誤；

X

對(duì)于C,當(dāng)龍〉0時(shí)，-x<0,:./（_1）=+2（—x）=—無(wú)__2x=_（%2+2x）=_/（尤）；

當(dāng)x<0時(shí)，一x>0,；./（―%）=（—尤）~+2（—光）=x?—2x=—（—尤2+2%）=—f（尤）；

又％=0時(shí)，/（-o）=-/（o）=o.

綜上,對(duì)xeR,都有=.?./（%）是奇函數(shù).

又90時(shí)，〃尤）=V+2x=（x+l）2—1是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸x=—1,.??/（九）在［0,+8）上單調(diào)遞增，

?.八X）是奇函數(shù)，.??/（X）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,7（%）在（-8,0）上單調(diào)遞增，在（0,+。）上單調(diào)遞增，但l）=g>/⑴=-j.?./（X）在R上不是單

調(diào)函數(shù)，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、5

【解析】

利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】

解：由z=l+2，，得z?=(1+=—3+4,，

所以H=J(—3)2+42=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.

14、0

【解析】

作出圖形，設(shè)點(diǎn)/(%,%)，則N(—%，—%)、E(%0,0)，設(shè)點(diǎn)。(石,%)，利用點(diǎn)差法得出上MN利用斜

率公式得出左左MN，進(jìn)而可得出左MN%ff=T，可得出上W，MP，由此可求得COSNWP的值.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)>0,%>0),則N(F),-%)、￡(光0,0),設(shè)點(diǎn)尸(七,%),

2

i

即%%y；-y；

丁一片

為一%0石+x02

211

由斜率公式得kNP=kNE=y-=--—一5左MN，??一］二%四尸化NP=^^MNJ=2左IP?,,^MN^MP=-1，故

2/2x022

MN±MP,

因此，cosZNMP=D.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓中角的余弦值的求解，涉及了點(diǎn)差法與斜率公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

15、6

【解析】

在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)中令x的指數(shù)為2,求出參數(shù)值，然后代入通項(xiàng)可得出結(jié)果.

【詳解】

44r

(x+1)的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C]x-,令4—r=2nr=2,

因此，a+i)4的展開(kāi)式中好的系數(shù)為c：=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解，涉及二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、2800.

【解析】

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)性質(zhì)，結(jié)合P(86<X<100)=0.15求得P(X>114)=3—0.15=0.35,即可得解.

【詳解】

根據(jù)正態(tài)分布X?N(100,b?),且P(86<X<100)=0.15,

所以P(X>114)=；—0.15=0.35

故該市有8000人參考，則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績(jī)X大于114分的人數(shù)為8000x0.35=2800.

故答案為：2800.

【點(diǎn)睛】

此題考查正態(tài)分布密度曲線(xiàn)性質(zhì)的理解辨析，根據(jù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求解概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)求解成績(jī)大于114的人數(shù).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)3；(2)4+73.

【解析】

（1）在VC4M中，利用正弦定理即可得到答案;

(2)由S^BMN=^SAACB可得BM-BN=46，在ABMN中,利用MN=J7及余弦定理得

MN~=BM2+BN--2BM-BNcos-,解方程組即可.

6

【詳解】

(1)在VC4M中，已知NCAM=工，sin/CMA=@,AC=2,由正弦定理,

33

AC-sin—2x^~

CMAC

得,解得。lf=.”上=^^~=3.

sinZCAMsinZCMAsmZCMA,3

T

（2）因?yàn)镾ABMN=《S^CB，所以gBM.BMsinmnlxlxZxZ/，解得BM-BN=4g.

22622

在中，由余弦定理得，

MN2=BM2+BN2-2BM-BNc吟=(BM+BN、-IBM-BN-

即訴2=(BA/+5N)2_2X4出

2

(BM+BN?=19+8代=(4+時(shí),

故BM+BN=4+瓜

【點(diǎn)睛】

本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.

18、（I）直線(xiàn)的方程為y=—半（%—應(yīng)）（H）0

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)。（0,%）（%>°），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示點(diǎn)小并代入橢圓方程解得先，從而求出直線(xiàn)A5的方程；（2）

/—rv]\

設(shè)直線(xiàn)/的方程為：y=kx+m（k<O,m^O）,表示點(diǎn)M-1,0,然后聯(lián)立方程，利用相切得出m2=2左2+1,然

后求出切點(diǎn)5,再設(shè)出設(shè)直線(xiàn)AQ的方程，求出點(diǎn)。（0,-&），利用A8兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線(xiàn)的方

(i)

程，從而求出P0,1——,最后利用以上已求點(diǎn)的坐標(biāo)表示面積，根據(jù)基本不等式求最值即可.

VyJ2k+mJ

【詳解】

解：（I）由橢圓C5+V=l，可得：A（V2,0）

可得…4

由題意：設(shè)點(diǎn)。（。,%）（%>0），當(dāng)3為24的中點(diǎn)時(shí),

代入橢圓方程，可得：力=孝所以：BV2

所以kAB=——=-坐.故直線(xiàn)AB的方程為y=-

叵一近2

2

（II）由題意，直線(xiàn)/的斜率存在且不為0,

故設(shè)直線(xiàn)/的方程為：y^kx+m[k<0,m^0）

-m

令>=0，得：%=券所以:M.

k

y-kx+m,消丁，整理得：(2左2+1)尤2+4初a+2%2一2=o.

聯(lián)立：《

x2+2y2-2=01)

因?yàn)橹本€(xiàn)/與橢圓相切，所以八=16左2療一4（2左2+1乂2〃，-2）=0.

即H?=2左2+1.

、八/\…-2km-2k,m1

設(shè)n以孫%），則"何+時(shí)

-2k1

所以5

mm

又直線(xiàn)AQ//直線(xiàn)/,所以設(shè)直線(xiàn)AQ的方程為：y=k（x-后卜

令X=0,得y=—0左，所以：Q（0,—瓜）.

1

m1

因?yàn)樽驛B=

-2k_夜—2k—\/2m

m

所以直線(xiàn)A5的方程為：y=_2/鬲卜一亞）.

1(1)

,所以：P0,亍——

令A(yù)"得"五金172k+m)

~,?_.I1+1m2+??

所以忸。=|而獲+0[%-7=2k2發(fā)+yfl+km加=小y/2k1m=網(wǎng).

又因?yàn)镾]=^\PQ\\xB\=^\m\^=\k\.

S=-\OM\\y\=---

221"'BI2km2\k\

所以51+52=悶+質(zhì)》2出（當(dāng)且僅當(dāng)|刈=）對(duì)，即k=-當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

所以（Si+s?）1mli=72.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，考查直線(xiàn)方程以及求橢圓中的最值問(wèn)題，最值問(wèn)題一般是把目標(biāo)式求出，結(jié)

合目標(biāo)式特點(diǎn)選用合適的方法求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，本題利用了基本不等式求最小值的方法，運(yùn)算量

較大，屬于難題.

以⑴.⑵嚕

【解析】

CC

（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式，將已知等式化為角上關(guān)系式，求出tan一,再由二倍角余弦公式，即可求解;

22

（2）在一ACD中，根據(jù)面積公式求出CD長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理求出AD,由正弦定理求出

sinZADC,即可求出結(jié)論.

【詳解】

(1)^sin(A+B)=4sin2-y,2^sin-ycos-y=4sin2,

0<C<tsinC>0,.」anJ包

22222

rc/sin2cin2c

C999

22CCC7

cos2——l-sin2——1+tan2——

222

(2)在ACD中，由(1)得sinC=±8,

7

=-x7xCDx^=

q66,:.CD=3，

jAC。27

由余弦定理得

AD2=Z72+COSC=49+9-2x7x3」=52,

7

.?.AD=2而，在_ACD中,

746

ADAC「2女二刀本=轡

sinCsinZADC

2、麗

sinZADB=sin/ADC=——

13

【點(diǎn)睛】

本題考查三角恒等變換求值、面積公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

22

20、(1)亍+4=1(2)直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)。,0),詳見(jiàn)解析

【解析】

(1)依題意由橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)可求出。力，即得橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線(xiàn)AM的方程為：x=txy-2,聯(lián)立直線(xiàn)的方程與橢圓方程可求得點(diǎn)〃的坐標(biāo)，同理可求出點(diǎn)N的坐

標(biāo)，根據(jù)的坐標(biāo)可求出直線(xiàn)的方程，將其化簡(jiǎn)成點(diǎn)斜式，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

122

（1）由題有a=2,e=—~.：.c=l,：,b2=a2-c2^3.：.橢圓方程為土+匕=1.

a243

x=t1y-2

22

(2)設(shè)直線(xiàn)的方程為:x=txy-2,貝人xy尸（3。+4）y2-12：y=0

I43

12/_12A_6A2-86t^-812/,

/.x=ty2=----,同理/二-5----，

111—2=-------%二聲7

111匕彳+43彳+423^+4

.6/°66°.1.111

當(dāng)/=4時(shí)，由退=。％—2有為4,廠(chǎng)，同理/4,-,又；7+1==--1--

h*2J%%、'%%

.+4+3?2+4_（%+幻（3印2+4）/+，2

=L+豆——z-

12Z112,26612伯6

y,-%

當(dāng)。+12。。時(shí)，平2=-4,直線(xiàn)MN的方程為丁一必=人上

X]一馬

12112?2

12%_3片+438+4j.6［一8112G_4<6彳-8］

—3彳+廠(chǎng)6彳—86g石廣-3彳+4尸y_3d+4L+/2r―3%2+4)

3%；+43^+4

446片—812A44(3彳+4)4(八

=y=----%---------\——+,1=-----X-/,'~；——--=-----(X-1)

%+，2%+L3力+43/j~+4t}+t2(3彳+4)&+心)+t2

二直線(xiàn)MN恒過(guò)定點(diǎn)(1,0),當(dāng)4+弓=0時(shí)，此時(shí)也過(guò)定點(diǎn)(1,0)“

綜上:直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)(1,0).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用，定點(diǎn)問(wèn)題的求法等，意在考

查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題.

21、(1)見(jiàn)解析(2)-1<c<-l(3)l-64m&2也

【解析】

⑴若函數(shù)〃x)=>+"”有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則/(—%)+/(%)=0,即(以2+匕尤一〃+(依2一法一〃=。有解，即可求證;

⑵由題可得g(r)+g(x)=0在［-1』內(nèi)有解，即方程2，+2-'+2c=0在區(qū)間［T』上有解，則-2c=2'+2r,設(shè)

t=2A(-1<x<l)，利用導(dǎo)函數(shù)求得2,+2