2024年1月“七省聯(lián)考”考前押題卷5試題+答案

2024年1月“七省聯(lián)考”押題預(yù)測卷05

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.已知集合"一1'飛-2x],5={Ny=ln（2，-2）},則2門8=（）

A.1x|0<x<-||B."

C,卜D,卜

2.復(fù)數(shù)Z滿足（1+Z>Z=1—產(chǎn)25,則三的虛部為（）

A.iB.-1C.-iD.1

3.英國數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用“〈”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影

響深遠(yuǎn).對于任意實(shí)數(shù)。、b、c、d,下列命題是真命題的是（）

A.若/<〃，貝！|a<6B.若a<6,則ac<be

C.若a<b,c<d,則D.若a<b,c<d,則a+c<b+"

4.如圖所示，a為射線CM,03的夾角，ZAOx=-,點(diǎn)尸（T3）在射線08上，則$皿。+學(xué)_（）

4cosa―

v

:4123\

.2+V3-2+V3-2V3+1D.三

r\.------tR5.-------L.------

2222

5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,2）上單調(diào)遞減的是（）

y=2.B.y=-x3

X2—x

C.y=cos—D.y=In----

,2-2+x

6.已知圓c：（x-1）2+3-1）2=1上兩動點(diǎn)4，8滿足為正三角形,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝|力+礪的最

大值為（）

A.2MB.2V2

C.2V2-V3D.2V2+V3

7.現(xiàn)有4名男生和3名女生計(jì)劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)附近訂購了一

家酒店的5間風(fēng)格不同的房間，并約定每個(gè)房間都要住人，但最多住2人，男女不同住一個(gè)房間，則女生

甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是（）

123

A.B.一C.D.——

46710

8.o=21nl.01,Z>=lnl.O2,c=VfO4-b則<)

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在；每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題正確的是（）

A.若樣本數(shù)據(jù)石戶2,…戶6的方差為2,則數(shù)據(jù)2/一L2/-1,,2.-1的方差為8

2

B.若尸(4)=0.6,P(5)=0.8,尸(41B)=0.5,則尸(51Z)=：.

在一組樣本數(shù)據(jù)（七,必）,（馬,％）,…,（天,打），（〃22,X1；X2,不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有

樣本點(diǎn)（x,，M）（i=L2,…都在直線y=-；x+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為一；

D.以模型y=ce"去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)二=lay，求得線性回歸方程為

2=4x+0.3,則c,4的值分別是e°3和4

711

10.已知函數(shù)/(x)=cos2X+yj（0<^<7T）的一個(gè)對稱中心為，則（）

652

A./（x）的最小正周期為兀

7T

B.

12

直線X='是函數(shù)/（X）圖像的一條對稱軸

C.

D.若函數(shù)y=/（0x）3>。）在［o,兀］上單調(diào)遞減，則。

1

11.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”,1=],且2(S〃++1(〃32),eN

/+1

北為｛〃｝的前〃項(xiàng)和.下列說法正確的是（)

A.a2=2B.??=(-1)"

T1

c.an=2n-1ay

12.如圖所示的六面體中，SA,SB,SC兩兩垂直，ST連線經(jīng)過三角形48C的重心“，且

SM=>0),貝I()

A.若4=則TC,平面力45

2

B.若；1=2,則S4〃平面CSC

C.若S,48,C,T五點(diǎn)均在同一球面上，則4=工

2

D.若點(diǎn)T恰為三棱錐S-48c外接球的球心，則2=2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知非零向量￡,B,1滿足同=忖，若"為B在z上的投影向量，則向量z,B夾角的余

弦值為________

14.(/+1)(%—2)4展開式中丁項(xiàng)的系數(shù)為.

15.已知直線y=%X與y=左2》(《＞左2)是曲線y=ax+2M|x|(aeR)的兩條切線，則左一左2=.

丫2

16.已知橢圓。：二+卜2=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，居，〃是c上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，E

4"

為線段〃片的中點(diǎn)，/片〃區(qū)的平分線與直線￡0交于點(diǎn)尸，當(dāng)四邊形出尸鳥的面積為20時(shí)，

sinZMF^=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在A48C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=b(GsinC+cosC).

A

(1)求B；

(2)己知3。=20，。為邊45上的一點(diǎn)，若BD=1,ZACD」,求4c的長.

2

18.如圖，三棱錐尸—N5C的平面展開圖中，AB1BC,RB=AB=&,P2A=AC=4,6c=2五,

E為Q2的中點(diǎn).

(1)在三棱錐尸—48C中，證明：BELAC^

(2)求平面P5C與平面/5C夾角的余弦值.

19.已知數(shù)列｛&｝是各項(xiàng)都為正整數(shù)的等比數(shù)列，％=3,且%是。2與:4的等差中項(xiàng)，數(shù)列｛4｝滿足

b1=1"+i=26“+1.

（1）求數(shù)列{4},{4}的通項(xiàng)公式；

（2）若左?4公―428〃+2左—24對任意〃eN*恒成立，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

20.某中學(xué)有4,8兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都

在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：

選擇餐廳情況（午餐，晚餐）(4Z)(48)(民⑷（B,B）

王同學(xué)9天6天12天3天

張老師6天6天6天12天

假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

（1）估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；

（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望￡（X）；

（3）假設(shè)M表示事件"/餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去/餐廳就餐”，P（M）＞0,已知推出

優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明.

尸可.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X0中，歹為x軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn).以少為焦點(diǎn)、。為頂點(diǎn)作拋物線

C:/=2pH°>0).設(shè)尸為第一象限內(nèi)拋物線C上的一點(diǎn)，。為X軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，設(shè)。(—a,0),使得尸0

為拋物線C的切線，且|尸。|=2.圓G、。2均與直線0P切于點(diǎn)尸，且均與x軸相切.

(1)試求出凡夕之間的關(guān)系；

(2)是否存在點(diǎn)歹，使圓q與。2的面積之和取到最小值.若存在，求出點(diǎn)少的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

22.已知aeR,函數(shù)/(x)=q+lnx,g(x)=ax-tax-2.

（1）當(dāng)/（X）與g（x）都存在極小值，且極小值之和為。時(shí)，求實(shí)數(shù)。的值;

112

（2）若石）=/（%2）=2（再W%2），求證：---1--->一.

X]x?a

2024年1月“七省聯(lián)考”押題預(yù)測卷05

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

A=<x\y=/[B=m=ln(2<2)},則//=()

1.已知集合〔43-2"

A.卜0<x<-||B.|x|l<x<

C.1<x<-|jf13J

D.<x\x<—

I2J

【答案】B

3“f?31

【解析】由3—2x〉0解得x<一,所以/=<|x|x<5),

2

由2"-2>0解得x>l，所以5={[x|x>l},

所以4cB=<x<g.

故選：B

2.復(fù)數(shù)Z滿足。+z>2=l—產(chǎn)25,則三的虛部為（）

A.iB.-1C.-iD.1

【答案】D

【解析】???(l+z)-z=l-z2025=l-z,

2

zl-i_(1-Q_-2z^

"1+z(l+z)(l-z)2二—i9

二.z=z，

所以I的虛部為1.

故選：D.

3.英國數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用和“〉”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影

響深遠(yuǎn).對于任意實(shí)數(shù)b、c、d,下列命題是真命題的是（）

A.若a2cb2,則aB.若a<b,則QC<6c

C.若a<b,c<d,則ac<bdD.若Q<b,c<d,貝lja+c<6+d

【答案】D

【解析】對A：因?yàn)榭赡芄叔e(cuò)誤；

對B：當(dāng)c<0時(shí)，若a<b,貝故錯(cuò)誤；

對C：當(dāng)Q<b<0,cvdvO時(shí)，則故錯(cuò)誤;

對D：若4＜力，cvd,則a+cv8+d,故正確.

故選：D.

7Tsin(a+1)()

ZAOx=-,點(diǎn)尸(—1,3)在射線。上，則

4

cosa

c273+1

2

【答案】A

33M01Vio

【解析】設(shè)射線OB所對的角為夕，則有sin/

y/io10Vio10

71

又因?yàn)橄Χ?—,

4

7T

所以。二夕一一,

4

立,

sina=sin(j0一￡)=~~6山P-cos4)=,cosa-COs(/7一：)

5，

所以sin(a+g)=gsina+^^cosa=2V5+V15

10

275+715

sin(<z+—)2+V3

10

所以--------

cosa逅2

5

故選：A.

5.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,2)上單調(diào)遞減的是()

W

A..v=2B.y=-x3

X2-x

C.V=COS—D.y=ln

.22+x

【答案】C

【解析】對于A,函數(shù)/(x)=2兇的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱,

且/(—x)=2^=2?=/(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)xe(0,2)時(shí)/(x)=2\函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故A不符合題意;

對于B,函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且/(-X)=-(-X)3=X3=-/(X),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),

由嘉函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)y=*3在R上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/(x)=-在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意；

對于C,函數(shù)/(x)=cos；的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且/(--口二以雙一卞二以吟=/1*)，所以函數(shù)/1(X)為偶函數(shù),

當(dāng)xe(0,2)時(shí)1e(o,l),又(0,1)=(0,1)，

所以函數(shù)/(x)=cos|在(0,1)上單調(diào)遞減，故C符合題意;

2—Y

對于D,函數(shù)/(x)=ln——的定義域?yàn)?-2,2),關(guān)于原點(diǎn)對稱,

2+x

且/(-)=*

兩公尸心蕓=—/(x),

11_2x

所以/(X)是奇函數(shù)，又/'(x)=

2—x2+x(2—x)(2+x)

令，(x)<0=—2<x<0,令/'(x)>0=0<xv2,

所以函數(shù)/(X)在(-2,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，故D不符合題意.

故選：C

6.已知圓C:(x-l)2+(y-l)2=l上兩動點(diǎn)4,5滿足"BC為正三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|近+麗|的最

大值為()

A.B.2亞

C.2V2-V3D.2&+0

【答案】D

【解析】由題可知AZ8C是邊長為1的正三角形，

“48的中點(diǎn)為Af,貝"|CA/|=孝.

又。(1,1),所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x—l)2+(y—1)2=(,且|0。=

因?yàn)榉?3=2而7，所以|。4+。研,

____/7

因?yàn)榭刹芬?|咐=&+事，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)。在線段0M上時(shí)等號成立，

所以P而I的最大值為夜+日，

所以口7+礪|的最大值為2&+石.

故選：D.

7.現(xiàn)有4名男生和3名女生計(jì)劃利用假期到某地景區(qū)旅游，由于是旅游的旺季，他們在景區(qū)附近訂購了一

家酒店的5間風(fēng)格不同的房間，并約定每個(gè)房間都要住人，但最多住2人，男女不同住一個(gè)房間，則女生

甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是()

1123

A.—B.-C.—D.—

46710

【答案】C

【解析】3名女生需要住2個(gè)房間或3個(gè)房間.

若3名女生住2個(gè)房間，則不同的方法種數(shù)為C；C；A；:

若3名女生住3個(gè)房間，則不同的方法種數(shù)為:C；A.

其中，女生甲和女生乙恰好住在同一間房的方法種數(shù)為C；A；,

C>5_2

所以女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是c2c2A5+^c2A5—5.

故選：c

8.a=21111.01,Z>=lnl.02,c=Vf04-l)則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【解析】依題意，a-c=21nl.01+l-VT04,c-Z>=>/L04-l-lnl.02,

令/(x)=21n(l+x)+l—Jl+4x,0<x<l，

222222

求導(dǎo)得/'(x)>/---------/=>0,

1+XJl+4xy/l+2x+x2J1+4XVl+3xV1+4.X

因此函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，/(0.01)>/(0)=0,即a—c>0,則a>c；

令g(x)=V^-l-ln(l+x),°<x<l'求導(dǎo)得8'(加指一占=；^飛+：+/

因此函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，g(0.02)>g(0)=0,即。一方>0,則c>B,

所以Z><c<a.

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題正確的是()

A.若樣本數(shù)據(jù)七廣2,一,與的方差為2,則數(shù)據(jù)2Xi-1*.0-1,…,2元-1的方差為8

2

B.若尸(4)=0.6,尸(3)=0.8,尸(幺|3)=0.5,則尸(5|幺)=：.

C.在一組樣本數(shù)據(jù)…(w>2,xI,x2,---,xn,不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有

樣本點(diǎn)(X/，M)(i=L2,…都在直線y=-gx+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為一；

D.以模型y=ce*1去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)二=地，求得線性回歸方程為

z=4x+0.3,則G片的值分別是e°3和4

【答案】ABD

【解析】對于選項(xiàng)A：若樣本數(shù)據(jù)再,*2,…，/的方差為2,則數(shù)據(jù)2玉-1,20-1,…,2/一1的方差為

22x2=87>故人正確；

對于選項(xiàng)B：若尸(4)=0.6,尸(3)=0.8,尸(4|3)=0.5,則

P(AB)_P(B)P(A!B)_0.8x0.52

尸⑻2)=故B正確;

P(A)P(A)—0.63

對于選項(xiàng)c：在一組樣本數(shù)據(jù)(再,必),(工2，%)，…，(與，弘)，(?>2,再,》2,…，/，不全相等)的散點(diǎn)圖中,

若所有樣本點(diǎn)a，M)(i=l,2,…,〃)都在直線y=—；x+l上，其中一3是線性回歸方程的一次項(xiàng)系數(shù)，不

是相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度一個(gè)量，范圍是[-1,1],當(dāng)相關(guān)系數(shù)為正時(shí)呈正相關(guān)

關(guān)系，為負(fù)時(shí)呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故C不正確；

對于選項(xiàng)D：以模型y=ceh去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)二=地，

則2=垣=山0+1116和=lnc+Ax,由題線性回歸方程為9=4x+0.3,則lnc=0.3,左=4,故c,上的值

分別是e°3和4,故D正確.

故選：ABD.

x+-^j（0<^<7l）的一個(gè)對稱中心為711

10.已知函數(shù)/(x)=cos2，貝1J()

652

A./（%）的最小正周期為兀

71

B.

12I

C.直線》=正是函數(shù)/（X）圖像的一條對稱軸

若函數(shù)y=/（ox）3〉0）在[0,可上單調(diào)遞減，則。e10,5

D.

【答案】AC

[17C7C兀

【解析】/(X)=—COS(2x+/)+—?jiǎng)t有2x—+0=—+析，左GZ,解得/=—+祈，左GZ,

22626

因?yàn)?<9<兀，所以。=巴，所以/（X）=1cos]2x+2]1

+2'

6216J

則/（%）的最小正周期為兀，故A正確;

兀

—cos—+—=—,故B錯(cuò)誤;

122324

,ITTT‘TT

2X-+-=71,則直線X==是/（X）圖像的一條對稱軸，故C正確;

12612

兀

loos25+巴71?7171

y=f?)=H—,當(dāng)xe[0,兀]時(shí)，2GxH—￡一,2。即+,一,

262666

若函數(shù)V=/（ox）（。>0）在[0,可上單調(diào)遞減，則有2?71+-<7T,

6

解得則。e0,三,故D錯(cuò)誤.

I12

故選：AC

11.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”,%=1,且2（5“+51）=。；+1（7止2）,〃eN*也=

北為｛4｝的前〃項(xiàng)和.下列說法正確的是（)

A.a?—2B.an=(-1)"

C.an=2n-lD.

【答案】CD

【解析】2(5,,+Si)=另+1(〃>2),an>0,

可得”=2時(shí)，2(1+出+D=W+1，解得4=3,故A錯(cuò)誤，

當(dāng)〃23時(shí)，由2(S“+S,_)=a；+1,可得2(九+%2)=。3+1，

上面兩式相減可得2(%+%_J=片-=(4+4-1)(%-%)，

由于4+%_產(chǎn)0,所以-a〃T=2,

而。2-%=2,則?！?。2+2(〃-2)=3+2("-1)=2"-1,首項(xiàng)也符合,

所以4=2〃—1,〃eN*.故B錯(cuò)誤，C正確,

,11111、

b—--------=----------------------=——(z---------------------),

〃anan+\(2〃-1)(2〃+1)22n-\2〃+1

,1八11111、1八1、1-

T=—(1-----1---------F...~\-------------------)=—(1---------)<—.D正確，

〃23352n-l2n+l22n+l2

故選：CD

12.如圖所示的六面體中，SA,SB,SC兩兩垂直，ST連線經(jīng)過三角形4BC的重心且

SM=>0),貝I()

A.若4=工，則TCL平面7143

2

B.若4=2,則64〃平面TSC

C.若S,48,C,T五點(diǎn)均在同一球面上，則九=!

2

D.若點(diǎn)T恰為三棱錐S-4BC外接球的球心，則2=2

【答案】BCD

【解析】因?yàn)榱骟w中，SA,SB,SC兩兩垂直，ST連線經(jīng)過三角形4BC的重心

所以可以將六面體放在長方體中，點(diǎn)T在對角線MV上運(yùn)動，

以S為坐標(biāo)原點(diǎn)，S8,SC,S4所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)SB—m,SC—n.SA—t,

設(shè)8C的中點(diǎn)廠，連接4F，與MV交于點(diǎn)且=

~j*2-■—*/、2(YYl7?

設(shè)Af(q,w,e),由力尸得(見叫e—f)二,—

11—■1—.

解得q=—m,w=-n,e=-t,故拉SM=-SN,

3333

1—■1—.

A選項(xiàng)，若％=—,即￡W=—MT,此時(shí)點(diǎn)T在點(diǎn)N處，

22

此時(shí)TC=(0,〃,0)-(%〃,/)=,Z4=(0,0/)-(私"/)=(一私一〃,0),

由于7。-714=(-%0,-。?(-機(jī),一〃,0)=能2wO,故TC,Z4不垂直，

故TC與平面Z43不垂直，A錯(cuò)誤；

___?___(mn

B選項(xiàng)，若2=2,即豆7=2而，此時(shí)點(diǎn)T為對角線S"的中點(diǎn)，此時(shí)T不二-

設(shè)平面加。的法向量為j=(x,y,z),

mn

一x——y

22-

jCB=(x,y,z)?(?,一〃,())=mx-ny=Q

解得z=0,令%=〃，則^=機(jī)，故《=（〃,加,0）,

又S4=(0,0,/),故j-SA=0,?)=0,

故]，或，所以“〃平面形C,B正確;

C選項(xiàng)，由于長方體的頂點(diǎn)在同一球面上，若S,45,C,T五點(diǎn)均在同一球面上，

則點(diǎn)T一定在點(diǎn)N處，此時(shí)X=—,C正確；

2

D選項(xiàng)，三棱錐S-4BC的外接球即為長方體SN的外接球，

若點(diǎn)T恰為三棱錐S-ABC外接球的球心，則點(diǎn)T為對角線MV的中點(diǎn)，

所以4=2,D正確.

故選：BCD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知非零向量b-"滿足|@=W，c=1a,若"為B在￡上的投影向量，則向量Z，B夾角的余

弦值為________

【答案】-

3

_1_一

【解析】由c=§。，"為B在￡上的投影向量，

所以=cos（a,b）a,故co乂=§

故答案為：-

14.（》3+1）（》一2）4展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】8

【解析】由題意可知：（x—2）4展開式的通項(xiàng)公式為&]=2）'/=0,1,2,3,4,

43

所以（/+1）（X-2）展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為C：x（_2?+C；x（-2）=16-8=8.

故答案為：8.

15.已知直線y=々x與歹=履》（左1＞左2）是曲線V=辦+2MW（口eR）的兩條切線,則kx-k2=

4

【答案】-

【解析】由已知得，曲線的切線過(0,0),

x>0時(shí)，曲線為y=ax+21nx,設(shè)%>0,直線y=《X在曲線上的切點(diǎn)為(再,叫+21nxJ,

,2

y=。+一，

-Y1

f2\z

切線：y-(axi+21nxi)=a+—(x-xj,又切線過(0,0)

VX17

(2Y2

-ax-2]nx=4+—(-xj,/.x=e,k,

x1Ix"1xe

同理取x<0,曲線為y=〃x+21n(—x),設(shè)x2<0,直線y二42丫在曲線上的切點(diǎn)為

2

f

(x2,ax2+21n(-x2)),y=a^一,

X2

切線：V-(^7X2+21n(-x2))=|6Z+—(x-x2),又切線過(0,0)

Ix2)

,24

X]——Q,k=a:?k\—k?=一,

2efe

4

故答案為：一

e

r2

16.已知橢圓C：一+,=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,M是。上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，E

4

為線段孫的中點(diǎn)，/4”的平分線與直線EO交于點(diǎn)尸，當(dāng)四邊形孫尸鳥的面積為2五時(shí)，

sinZMF2l\=.

【答案】&

由題可知國闖=2百，|崢|+|M爸1=4.

因?yàn)槠椒?月初招，所以尸到孫，初5的距離相等，

設(shè)為〃，則叫心=；（|9|+|2|）%=2〃.

易知0E是△/；”的中位線，延長片尸.外交于點(diǎn)G,則尸為耳G的中點(diǎn),

過片作FXHJ_MG于H,

易得固同=2h=陽瑪卜inz鳴耳，則5防=2也S0ZMFE=2JL從而sin/外片=乎.

故答案為：逅

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在zUBC中，角/,B,。所對的邊分別為。，b,c,且4=5（JJsinC+cosC，

兀

（2）已知3C=2石，。為邊48上的一點(diǎn)，若BD=1，NNCD=5，求4c的長.

7T（2）

【答案】（1）B=-"目

6

【解析】⑴4二辦（百sinC+cos。，根據(jù)正弦定理得，sin/=sin5（百sinC+cosC）,

即sinBcosC+cos5sinC=>/3sin5sinC+sinBcosC，

所以。0535111。=651115$111。，因?yàn)閟inC>0,

/?

所以cos5=JJsin^S,所以tanB=——，

3

因?yàn)??0,兀），所以5=匕

O

（2）因?yàn)?c=20.BD=\.8=2,根據(jù)余弦定理得

O

CD2=BC2+BD2-2BC-BD-COSB=1+12-2X\X2>/3X—=7,:.CD=5.

2

,:Z.BDC=—+Z.A,sinABDC=sinI—+ZL4]=cos4.

212)

273_V7

BCCD

在△助。中，由正弦定理知,1‘

sinZ.BDCsill4BcosA

2

M考，q%

所以sinA—

27°

tanZ二皿二至二衛(wèi)一??NC=@

cosA3AC2

18.如圖，三棱錐尸一N5C的平面展開圖中，AB1BC,RB=AB=&,P2A=AC=4,4。=2拉,

上為的中點(diǎn).

（1）在三棱錐產(chǎn)一4BC中，證明：BELAC；

（2）求平面上5C與平面4&C夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）'叵

33

【解析】（1）

由48=48=癡，得PB=AB=&，且上為R4的中點(diǎn)，

所以

取ZC中點(diǎn)為尸，連接Z/,BF，

可得匹=——PC=①I-,

2

在△PA4中，BE=yjAB2-AE2=42-

Ar

在AA8C中，BF=—=2,

2

所以5E2+尸石2=3/2，

所以班，昉

因?yàn)槭?尸/=5，EF,PNu平面24C,

所以平面上4C,

因?yàn)镹Cu平面E4C,

所以跳1_LZC；

（2）如圖，過點(diǎn)E作EG_LR4,交AC于點(diǎn)G,

以數(shù),應(yīng),而分別為x軸，V軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則石（0,0,0）,4（0,2,0）,刀（0,0,后），P（0,-2,0）,

在AA8C中，可得點(diǎn)。到上4距離為、/7，

故可得c（J7,—i,o）,

益=（0,-2,亞），就=（"-L-揚(yáng)，麗=（0,2,偽

設(shè)平面4BC與平面？BC的一個(gè)法向量分別為"1=（七,外,二J,%=（0。2,二2），

平面P8C與平面48c的夾角為6,

月m7+任=0，取亞亞,

由，

%?BC=61_丫1_6二1=07

所以蔡=（承函,

-PB=2v9+>/2Z9=0、萬_

由《一---L~L，取y二一1nx二---,二2二&,

n2BC=y/7x2-y2->J2Z2=07

1一一Iio

」〃「〃2|_y_Vi65

所以而二痂造Tk

7

所以〃一2二（-近y,-l,廠V2]

\7

所以兩平面的夾角的余弦值為返L

33

19.已知數(shù)列｛&｝是各項(xiàng)都為正整數(shù)的等比數(shù)列，％=3,且％是。2與1%的等差中項(xiàng)，數(shù)列｛4｝滿足

4=1*%=次+1

（1）求數(shù)列｛4｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若左?鄉(xiāng)產(chǎn)一?！?8〃+2左一24對任意〃61\*恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【答案】（1）%=3X2”T,4=2〃—1；（2）[4,2）.

【解析】（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4,則qeN*,

33

,生是。2與"7"4的寺差中項(xiàng)，,,2a3—gT“4，

44

32

2q=1+-q2,解得4=2或鄉(xiāng)=§（舍去），.，.％=3X2"T

???%=2%+L.?.%i+l=2（〃+l）,

又4+1=2,.?.數(shù)列｛4+1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

.?.4+1=2",，4=2"-1：

（2）由左?“；：-28〃+2A~-24,

整理可得左（2"-1+2）—3x2"-&8（〃-3）+2左，即（擊—3>2"-】>8（〃-3）,

k—37?—3,.?,

???——>—對任意〃eN恒成立，

162"

令/(〃)=M，則/(〃+1)一/(〃)=^1'

2”+i

2"2用

???當(dāng)“W4時(shí)，/（?+1）>f（n）,當(dāng)〃25時(shí)，/（?+1）</（?）,

.??當(dāng)〃=4或5時(shí)，/（〃）取得最大值，

???/（〃）s=/（4）=16

k-31

「?----2—.角窣得k>4.

1616

故實(shí)數(shù)左的取值范圍是［4,+00）.

20.某中學(xué)有4,8兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都

在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：

選擇餐廳情況（午餐，晚餐）(4Z)（48）(民⑷（B,B）

王同學(xué)9天6天12天3天

張老師6天6天6天12天

假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

（1）估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；

（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望￡（X）；

（3）假設(shè)M表示事件Z餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去/餐廳就餐”，P（M）>0,已知推出

優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明.

尸可.

【答案】（1）0.6（2）分布列見解析，1.9（3）證明見解析

【解析】（1）設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，

因?yàn)?0天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為6+12=18,

1Q

所以尸（。）=元=0.6.

（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，

則X的所有可能取值為1和2,

所以P（X=1）=0.3x02+O.lxO.4=0.1,

p（X=2）=l-P（X=l）=0.9,

所以X的分布列為

X12

p0.10.9

所以X的數(shù)學(xué)期望石（X）=1x0.1+2x09=1.9.

（3）由題知產(chǎn)（N|M）〉尸（N應(yīng)），所以尸（片）〉=尸（N）一,（半）

v17v7尸⑼尸MI-P（M）

所以尸（MW）〉尸（N）?尸（M）,

所以P(NM)_P(N)P(NM)>P(N)?P(M)_P(N)P(NM),

即「（TVAf）?尸（"）〉P（N）?尸（府）,

P〈NM）P（NM）

即尸（M|N）>?（叼間

所