人教版高中數(shù)學(xué)必修一專題03 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)、基本不等式（重難點(diǎn)突破）（解析版）

專題03等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式知識(shí)結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)與考點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)1一元一次不等式的解法一元一次不等式ax>b的解的情況：當(dāng)a>0時(shí)，；當(dāng)a<0時(shí)，；當(dāng)a=0時(shí)，i)若b≤0，則取所有實(shí)數(shù)；ii)若b>0，則無解。知識(shí)點(diǎn)2分式方程、分式不等式的解法1、分式方程的解法①一般解法：去分母法，即方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母．②特殊解法：換元法．(2)驗(yàn)根：由于在去分母過程中，當(dāng)未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大而有可能產(chǎn)生增根．因此，驗(yàn)根是解分式方程必不可少的步驟，一般把整式方程的根的值代人最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去．說明：解分式方程，一般先考慮換元法，再考慮去分母法．2、分式不等式的解法：

分母恒為正時(shí)可去分母；分母不恒為正時(shí)不能去分母，應(yīng)先移項(xiàng)使右邊為0再通分并將分子分母分解因式，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式為整式不等式，進(jìn)行求解．3、可化為一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程為一元二次方程；2．用換元法化分式方程為一元二次方程簡(jiǎn)單分式不等式的解法知識(shí)點(diǎn)3二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式 一般式二次函數(shù)一元二次方程一元二次不等式圖像與解xxyOx1x2或xxyOx0無解xxyO無解R無解表中，2、恒成立恒成立知識(shí)點(diǎn)4絕對(duì)值不等式1、a>0時(shí)，①；②或x>a2、解含有絕對(duì)值不等式關(guān)鍵是如何去絕對(duì)值符號(hào)．對(duì)于形如和的不等式，可利用絕對(duì)值的含義去絕對(duì)值符號(hào)得或；．知識(shí)點(diǎn)5基本不等式1、基本不等式(或)均值不等式2、基本不等式的變形與拓展(1)若,則；(2)若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．(3)若,則；(4)若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）；(5)若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．(6)若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）；若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）；若,則,即或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．(7)若,則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）；若,則,即或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）．(8)一個(gè)重要的不等式鏈：．重難點(diǎn)題型突破重難點(diǎn)1等式與不等式的性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a＞b?b＜a.(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c.(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.(5)加法法則：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.(6)乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.(7)乘方法則：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．例1．（1）（2018·全國高一專題練習(xí)）若，則下列不等式錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，故A對(duì)；∵，∴，，∴，故B錯(cuò)；∵，∴，即，∴，故C對(duì)；∵，∴，∴，即，故D對(duì)；故選B．（2）（2020·吉化第一高級(jí)中學(xué)校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由不等式的性質(zhì)可知，若，則：，，，.故選：C.【變式訓(xùn)練1】．（2020·寧夏回族自治區(qū)寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高二月考（文））下列不等式中，正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】若，則,故B錯(cuò)，設(shè),則，所以C、D錯(cuò)，故選A【變式訓(xùn)練2】．（2020·安徽省舒城中學(xué)高二月考（理））設(shè)，，則的大小關(guān)系為__________．【答案】【解析】，，因?yàn)?，所以，?故答案為:.【變式訓(xùn)練3】．（2020·寧夏回族自治區(qū)寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高二月考（文））下列不等式中，正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】若，則,故B錯(cuò)，設(shè),則，所以C、D錯(cuò)，故選A重難點(diǎn)2分式不等式與絕對(duì)值不等式例2．（2020·長(zhǎng)春市第二十九中學(xué)高二期中（文））不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，解得，故選：B.【變式訓(xùn)練1】．（2018·全國高一專題練習(xí)（理））已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|＞0}，那么集合A∩(?UB)＝()A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}【答案】D【解析】依題意A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，故?UB＝{x|－1≤x≤4}，故A∩(?UB)＝{x|－1≤x≤3}，故選D.【變式訓(xùn)練2】．（2020·黑龍江省鶴崗一中高一期末（文））如果關(guān)于的不等式的解集不是空集，則參數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得|x-3|+|x-4|＜a有解，由絕對(duì)值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，所以|x-3|+|x-4|的最小值為1，所以1＜a,即a＞1.故選：A重難點(diǎn)3二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式例3．（2020·貴州省高二學(xué)業(yè)考試）不等式的解集是（）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】與不等式對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)為：，如圖函數(shù)開口向上，與軸的交點(diǎn)為：，，可得不等式的解集為：或.故選：B【變式訓(xùn)練1】．（2020·四川省高一期末）不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，不等式，可化為，解得，即不等式的解集為.故選：A.【變式訓(xùn)練2】．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（）A．或 B．或C． D．【答案】C【解析】由得：，，，即不等式的解集為，故選：C【變式訓(xùn)練3】．（2020·河南省高三其他（理））關(guān)于的不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知是不等式的解集的一個(gè)真子集.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，由題意可得，此時(shí).綜上所述，.故選：D.重難點(diǎn)4基本不等式例4.（1）（2020·貴州省高二學(xué)業(yè)考試）已知，若，則的最小值為（）A．3 B．2 C． D．1【答案】C【解析】由于，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：C（2）函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】（當(dāng)且僅，即時(shí)取等號(hào)）。故選B。【變式訓(xùn)練1】．（1）（2020·尤溪縣第五中學(xué)高一期末）已知，函數(shù)的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．6【答案】A【解析】由題意可得，滿足運(yùn)用基本不等式的條件——一正，二定，三相等，所以，故選A（2）設(shè)若的最小值為（）A8B4C1D【答案】B【解析】選B.因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立，故選擇B.（3）．（2020·吉林省長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考（理））已知，，，則的最大值為（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所以有，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故本題選D.【變式訓(xùn)練2】（1）．（2020·浙江省高一期中）已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，則的最小值等于__________，此時(shí)a=____________.【答案】3【解析】根據(jù)題意，正數(shù)a、b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為3，此時(shí).故答案為：3；.（2）．（2019·全國高一課時(shí)練習(xí)）正實(shí)數(shù)，滿足，則的()A．最小值為 B．最大值為C．最小值為3 D．最大值為3【答案】A【解析】，所以的最小值為，故選:A.（3）．（2019·全國高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的最小值為（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】，則，，當(dāng)時(shí)取“=”，所以正確選項(xiàng)為A。課堂定時(shí)訓(xùn)練（45分鐘）1．若正數(shù)滿足，則的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C【解析】，，.2．小王從甲地到乙地的時(shí)速分別為和（），其全程的平均時(shí)速為，則（）A．B．=C．<<D．=【答案】．A【解析】設(shè)從甲地到乙地所走路程為，則．∵,∴,∴．選A．3．若，且，則下列不等式中，恒成立的是（） A． B．C．D．【答案】．D【解析】對(duì)于A取，此時(shí)，因此A不正確；對(duì)于B取，此時(shí)，因此B不正確；對(duì)于C取，此時(shí)，因此C不正確；對(duì)于D，∵，∴，∴，D正確．4．（2020·全國高一）已知，那么a，b，，的大小關(guān)系是______．（用“”號(hào)連接）【答案】【解析】∵，，，即．故答案為：.5．（2020·河北省博野中學(xué)高一開學(xué)考試）不等式的解集為____________．【答案】【解析】由得，所以不等式的解集為．故答案為：.6．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x的不等式的解集為則________，________．【答案】1【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以方程的兩根分別為，，故由韋達(dá)定理可得.故答案為：；1.7．（2020·四川省高一月考（理））解下列兩個(gè)關(guān)于x的不等式：（1）；（2）【答案】（1）或；（2）．【解析】（1），∴，解得或，故不等式的解集為或．（2）易得，解得，故不等式的解集為．8．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)之和最小，則的值是．【答案】3