專題09 在網(wǎng)格背景下的面積和周長(zhǎng)計(jì)算（解析版）

專題09在網(wǎng)格背景下的面積和周長(zhǎng)計(jì)算1．如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C，E，F(xiàn)在同一條圓弧上，且點(diǎn)C，E，F(xiàn)在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，若，則陰影部分的面積為_________．【答案】【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)找到過點(diǎn)的圓的圓心，進(jìn)而根據(jù)已知條件與圓周角定理求得，關(guān)于陰影部分面積面積等于即可求解．【詳解】如圖，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)找到的垂直平分線與的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，，，，陰影部分面積面積等于．故答案為：．【我思故我在】本題考查了圓周角定理，求扇形面積公式，確定圓心是解題的關(guān)鍵．2．如圖是由相同的小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，上的點(diǎn)A，B，C，D均為格點(diǎn)，上有一點(diǎn)E，且，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】【分析】線段AB和線段BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所在的圓得的圓心，連接OC，OE，由圓周角定理得∠COE＝2∠CAE＝30°，過點(diǎn)C作CH⊥OE于點(diǎn)H，則∠OHC＝90°，在Rt△OCH中，求得CH＝OC＝，利用即可求出圖中陰影部分的面積．【詳解】解：如圖，線段AB和線段BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所在的圓得的圓心，連接OC，OE，∵，∴∠COE＝2∠CAE＝30°，過點(diǎn)C作CH⊥OE于點(diǎn)H，則∠OHC＝90°，由勾股定理得OC＝OE＝，在Rt△OCH中，∠OHC＝90°，∠COH＝30°，OC＝，∴CH＝OC＝，∴＝＝故答案為：【我思故我在】此題考查了圓周角定理、判斷三角形外接圓的圓心位置、扇形的面積公式、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用圓周角定理得到∠COE＝2∠CAE＝30°是解題的關(guān)鍵．3．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，格點(diǎn)E在上，則圖中陰影部分的面積為_______．【答案】【分析】取BC中點(diǎn)F，連接DF，由中位線的性質(zhì)得到，，利用勾股定理分別解得AC，BC，AB的長(zhǎng)，證明為等腰直角三角形，繼而得到也是等腰直角三角形，解得的面積及扇形CDF的面積即可解答．【詳解】解：如圖，連接DFD是邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊BC的中點(diǎn)，是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，故答案為：．【我思故我在】本題考查網(wǎng)格與勾股定理、扇形的面積、中位線性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．4．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，B，C均為小正方形的頂點(diǎn)，且點(diǎn)B在上，則陰影部分的面積為__．【答案】##【分析】點(diǎn)O為過B點(diǎn)的縱軸和過C點(diǎn)的橫軸的交點(diǎn)，連接OA，根據(jù)題意求出OA，OB，OC的長(zhǎng)，確定圓心和半徑，從而求出弓形BC的面積，進(jìn)而解答；【詳解】解：如圖，點(diǎn)O為過B點(diǎn)的縱軸和過C點(diǎn)的橫軸的交點(diǎn)，連接OA，D點(diǎn)為小正方形的頂點(diǎn)，根據(jù)題意由圖可得：OA=，OB=OC=5，∴O為的外接圓的圓心，AD為底邊，則的面積=，∵OC⊥OB，圓的半徑為5，則扇形BC的面積為外接圓的面積，∴弓形BC的面積=，∴陰影部分的面積為：10＋=，故答案為：．【我思故我在】本題考查了求不規(guī)則圖形的面積，勾股定理，三角形外接圓的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算；找出圓心的位置是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，一條弧經(jīng)過格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）A，B，D，點(diǎn)C為弧BD上一點(diǎn)．若，則弧CD的長(zhǎng)為__________．【答案】【分析】作線段AD和線段AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，即格點(diǎn)O為弧AD所在圓的圓心，連接OC、OD，根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理，得出的長(zhǎng)，再根據(jù)圓周角定理，得出，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，作線段AD和線段AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，即格點(diǎn)O為弧AD所在圓的圓心，連接OC、OD，根據(jù)題意，可得：，，∴弧CD的長(zhǎng)為：．故答案為：【我思故我在】本題考查了線段的垂直平分線、勾股定理、圓周角定理、弧長(zhǎng)公式，根據(jù)題意并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半；弧長(zhǎng)公式：（為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)；為半徑）6．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一段弧，弧上三點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上．則的長(zhǎng)為______．【答案】【分析】直接利用圓的性質(zhì)得出圓心位置進(jìn)而利用勾股定理以及勾股定理逆定理得出；再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算得出答案．【詳解】解：如圖所示：圓心P的坐標(biāo)為：（-2，1），∵AP=PC=，AC=2，∴AP2+PC2=AC2，∴△APC是等腰直角三角形，∴∠APC=90°，的長(zhǎng)度為：．故答案為【我思故我在】此題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算以及勾股定理以及勾股定理逆定理，正確得出圓心位置是解題關(guān)鍵．7．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C、D、E、F均在小正方形的頂點(diǎn)上，且弦BG上有4個(gè)正方形的格點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則陰影部分的面積為_____________．【答案】【分析】連接BE、CF交于點(diǎn)O，連接OG，由圓周角定理可得BE，CF是圓的直徑，O為圓的圓心，由勾股定理可得圓的半徑為，由∠CBM=45°可得扇形圓心角為90°，再由陰影面積=扇形COG面積-△COG面積計(jì)算求值即可；【詳解】解：如圖，連接BE、CF交于點(diǎn)O，連接OG，設(shè)BG、CE交于格點(diǎn)M，B、C、E、F均在小正方形的頂點(diǎn)上，則ECBF是矩形，∵∠BCE=90°，∠CBF=90°，∴BE，CF是圓的直徑，O為圓的圓心，BC=3，BF=4，則FC==5，圓的半徑為，∵BC=CM=3，∠BCM=90°，∴∠CBM=45°，即∠CBG=45°，∴∠COG=90°，∴陰影面積=扇形COG面積-△COG面積=-OC?OG=，故答案為：；【我思故我在】本題考查了圓周角定理，勾股定理，扇形面積計(jì)算等知識(shí)；正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．8．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A，B，C均在小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)A，B，C在同一條弧上，則陰影部分的周長(zhǎng)為_____．【答案】【分析】設(shè)的圓心為O，的中點(diǎn)為M，OM與BC的交點(diǎn)為N，根據(jù)表格得出BC=6，MN=1，CN=，設(shè)圓O的半徑為R，利用勾股定理得出R=5，由勾股定理逆定理得出?AOC為直角三角形，∠COA=90°，結(jié)合圖形應(yīng)用弧長(zhǎng)公式及勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)的圓心為O，的中點(diǎn)為M，OM與BC的交點(diǎn)為N，由圖可知，BC=6，MN=1，CN=，設(shè)圓O的半徑為R，由圖可得：，即，解得：R=5，∴OC=OA=5，∵，∴，∴?AOC為直角三角形，∠COA=90°，陰影部分的周長(zhǎng)為：，故答案為：．【我思故我在】題目主要考查不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)，包括扇形弧長(zhǎng)、勾股定理及其逆定理，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．9．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A，B，C，格點(diǎn)A，D的連線交圓弧于點(diǎn)E，則圖中陰影部分面積為____．【答案】【分析】連接AC，取AC中點(diǎn)F，連接EF，可得AC為直徑，F(xiàn)為圓心，再由勾股定理逆定理可得，△ACD是等腰直角三角形，且∠ACD=90°，從而得到，結(jié)合圖形利用三角形面積與扇形面積之間的關(guān)系求解即可．【詳解】解：如圖，連接AC，取AC中點(diǎn)F，連接EF，∵∠ABC=90°，∴AC為直徑，F(xiàn)為圓心，∴，∴∠FAE=∠FEA，即∠CAD=∠FEA，網(wǎng)格中，由勾股定理得：，，，∴，，∴，△ACD是等腰直角三角形，且∠ACD=90°，∴∠CAD=45°，∴∠CAD=∠FEA=45°，∴，∴，故答案為：．【我思故我在】本題主要考查了圓周角定理，求扇形面積，勾股定理逆定理的應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A周角定理，扇形面積，勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．10．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，C均在小正方形的頂點(diǎn)上，點(diǎn)B在弧AC上，且∠ACB＝15°，則陰影部分的周長(zhǎng)為______．【答案】【分析】先確定出圓心位置根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出弧AB的長(zhǎng)度，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得BC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出線段AC的長(zhǎng)度，即得答案．【詳解】解：由題意知圓心O位置如圖所示，∵∠ACB＝15°，∴∠AOB=30°，∴∠BOC=60°，即△BOC為等邊三角形，OC=BC=OB=6，∴弧AB的長(zhǎng)度為：，由勾股定理得：AC=，陰影部分的周長(zhǎng)為，故答案為：．【我思故我在】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式、勾股定理求格點(diǎn)中線段的長(zhǎng)度、等邊三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．解題關(guān)鍵是：確定出弧所在圓的圓心位置．11．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C，D均在小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)C在上，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為______．【答案】【分析】連接AC、BC、AB、BD、取AB的中點(diǎn)O，連接OH，首先利用△ABD求出∠BAD=45°，結(jié)合△OAH求出圓心角的度數(shù)和半徑長(zhǎng)，再求出∠BOH=90°，繼而利用弧長(zhǎng)公式即可求出弧長(zhǎng)．【詳解】解：連接AC、BC、AB、BD、取AB的中點(diǎn)O，連接OH，∵∠ACB=90°，∴AB為圓O的直徑，O是圓心，∵AB=,同理BD=5，AD=，∴AB2+BD2=AD2，∴∠ABD=90°，又∵AB=BD，∴∠BAD=45°，又∵OA=OH，∴∠AOH=90°，∴∠BOH=90°，∴的長(zhǎng)為，故答案為．【我思故我在】本題考查弧長(zhǎng)公式、圓周角定理以及勾股定理以及逆定理，解決問題的關(guān)鍵是求出圓心角和半徑．12．如圖，在5×4的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，點(diǎn)D在上線段BC與交于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為_______．（結(jié)果保留）【答案】【分析】先連接AC，AE，可說明△ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而得出∠BDA=90°，得出AB是圓的直徑及△ABE是等腰直角三角形，然后根據(jù)特殊角三角函數(shù)求出BE，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出弧長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】連接AC，AE，如圖所示，∵，，∴，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵∠BDA=90°，∴AB是直徑，∴∠BEA=90°，∴△ABE為等腰直角三角形，∴，∠BAE=45°，∴所對(duì)的圓心角度數(shù)為90°，∴的長(zhǎng)為，∴陰影部分的周長(zhǎng)是．故答案為：．【我思故我在】本題主要考查了圓周角定理及推論，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，弧長(zhǎng)公式等，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、D均在小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)B、C在AD上，∠BAC=25°，則的長(zhǎng)為______．（結(jié)果保留）【答案】##【分析】如圖，圓心為O，連接OA，OB，OC，OD．利用弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：如圖，圓心為O，連接OA，OB，OC，OD．∵OA=OB=OD=5，∠BOC=2∠BAC=50°，∴的長(zhǎng)=．故答案為：．【我思故我在】本題考查弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是正確尋找圓心O的位置，屬于中考?？碱}型．14．如圖，在的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)，，三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，線段與交于點(diǎn)，則圖中的長(zhǎng)度為________．（結(jié)果保留）【答案】【分析】連接，由網(wǎng)格圖得到和長(zhǎng)，再利用圓周角定理得到所對(duì)的圓心角，最后利用弧長(zhǎng)公式代值求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示：由圖可知和均是的網(wǎng)格構(gòu)成的矩形的對(duì)角線，則，是半圓的直徑，由圓周角定理可知，是等腰直角三角形，，，由圓周角定理可知所對(duì)的圓心角為，的長(zhǎng)度為，在網(wǎng)格中，，的長(zhǎng)度為，故答案為：．【我思故我在】本題考查網(wǎng)格中線段長(zhǎng)求解及弧長(zhǎng)求解，通過網(wǎng)格找到線段關(guān)系及相應(yīng)線段長(zhǎng)度、角度是解決問題的關(guān)鍵．15．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C均在小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)D在上，，則的長(zhǎng)為_________．【答案】【分析】連接AC，確定弧所對(duì)的圓心O，可知AC為直徑，連接OB、OD，利用勾股定理求得，，則，根據(jù)圓周角定理可得，從而求得，即可求解．【詳解】解：連接AC，確定弧所對(duì)的圓心O，連接OB、OD，如下圖：由勾股定理可得：，，∴∴為直角三角形，∴AC為直徑，，，∴∵∴，∴，所以的長(zhǎng)為故答案為：【我思故我在】此題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，涉及了勾股定理，圓周角定理等性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定圓心的位置，正確求得半徑以及圓心角，熟記弧長(zhǎng)公式．16．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在5×5的網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度）的格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，且點(diǎn)A′、C′仍落在格點(diǎn)上，則圖中陰影部分的面積是___________．【答案】【分析】首先求得扇形的半徑和圓心角，然后根據(jù)扇形面積公式求得扇形的面積，然后計(jì)算出的面積，相減即可得出陰影部分面積．【詳解】解：由題意得，，旋轉(zhuǎn)角，，∵，．故答案為：．【我思故我在】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算、勾股定理等，牢固掌握扇形面積公式是做出本題的關(guān)鍵．17．如圖，在4×5的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，C，B三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，線段AC與交于D，則圖中的長(zhǎng)度為___．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】連接BC，由題意可得，∠ABC=90°，，推出所對(duì)的圓心角的度數(shù)和圓的半徑，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接BC，由圖可得：，，，，是直角三角形，∠ABC=90°，，∴∠BAD=45°，∴所對(duì)的圓心角是90°，所在圓的半徑是，∴的長(zhǎng)度為：故答案為：．【我思故我在】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，勾股定理及其逆定理，正確的作出輔助線并熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)、、是格點(diǎn)，則圖中扇形中陰