2024屆高考數(shù)學質(zhì)量調(diào)研模擬卷及其詳細解析一（新高考適用）

2024年高考數(shù)學質(zhì)量調(diào)研卷（一）（新高考適用）

一、單選題

1.設(shè)集合“={x|-2Wx<2},N=[y\y=2x+^,則AfuN=()

A.[-2,+co)B.(1,2]C.[1,2]D.(l,+oo)

2.若復數(shù)Znl+i2^（i為虛數(shù)單位）,則復數(shù)z2-2在復平面上對應的點所在的象限為

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2X-1TT7T

3.函數(shù)/(%)=-sinx+-在區(qū)間上的圖象大致為（)

2”+1I2

A.B.

C.D._____....

巧

4.已知A(cosa,sina),3(1,0),C(0,l),?G(0,2TT),若，臺卜,4則a的值為()

713?！?兀

A.—Bc.2D.—或一

4444

己知數(shù)列｛%｝滿足％=；,4

5.,Q]+Q]〃2++?i?成"，貝門

n+1〃2

的最大值為（）

A.7B.8C.9D.10

6.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:（x-a）2+（y-o）2=a2g>0),A(—3,0),若圓C

上存在點尸，使得|上4|=2歸。］,則正數(shù)。的取值范圍為（）

A.(0,1]B.[L2]

C.[73,2]D.[1,3+2A/3]

7.正四棱錐P-AfiCD的底面邊長為4萬，PA=4下則平面尸CD截四棱錐尸-ABCD外

接球所得截面的面積為（）.

A.3□504C200%100萬

B.-----D.-------

9393

8.已知a=sin三+cos三，h=^c=log32+log43,則()

1313“一"TJ

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

二、多選題

9.若〃司=-$3+；/+2%+1是區(qū)間（川-1,加+4）上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)機的值可以

是（）

A.-4B.-3C.3D.4

10.過拋物線C：/=4x的焦點/作直線/交C于A,B兩點，則（）

A.C的準線方程為x=-2

B.以AB為直徑的圓與C的準線相切

□

C.若|A5|=5,則線段A3中點的橫坐標為5

D.若|AB|=4,則直線/有且只有一條

11.在棱長為2的正方體ABCD-AqG〃中，E,尸分別為棱AB,8C的中點，則（）

A.直線所與BG所成的角為60°

B.過空間中一點有且僅有兩條直線與AA，AR所成的角都是60°

C.過a，E,尸三點的平面截該正方體，所得截面圖形的周長為3近+26

D.過直線E尸的平面截正方體，所得截面圖形可以是五邊形

12.從標有1,2,3,10的10張卡片中，有放回地抽取兩張，依次得到數(shù)字。，b,

記點A（a,6）,3（1,-1）,0（0,0）,則（）

9Q

A.是銳角的概率為與B.NBA。是銳角的概率為高

9Q

C.AO3是銳角三角形的概率為前D.AC?的面積不大于5的概率為三

三、填空題

2

13.已知復數(shù)z=「，其中i為虛數(shù)單位，貝匹=.

14.如圖，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人為了實現(xiàn)四個現(xiàn)代化而努力奮斗的真實

寫照.被托舉的四個球堆砌兩層放在平臺上，下層3個，上層1個，兩兩相切.若球的半

徑都為。，則上層的最高點離平臺的距離為.

15.動點戶與兩個定點0(0,0),4(0,3)滿足|上4|=2忖。|,則點P到直線/：

如—嚴"3加=。的距離的最大值為.

/兀-JI\

16.函數(shù)〃%)=2sin(0>0)在區(qū)間［不，5)上有且只有兩個零點，則。的取

值范圍是.

四、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝滿足乎方+墨++果=%

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若b?=log2a?,求數(shù)列J—|的前〃項和.

222

18.已知；ABC中，角A及C所對的邊分別為a,b,c,a=3b+c,且sinC=2sin&

(1)求角A的大??；

⑵若6+c=6,點。在邊BC上，且AD平分/BAC,求的長度.

19.如圖，已知五面體ABCDE,其中ABC內(nèi)接于圓。，AB是圓。的直徑，四邊形。C3E

為平行四邊形，且OCL平面ABC.

(1)證明：AD1BC-,

⑵若AB=4,3c=2,且二面角A-3￡>-C所成角。的正切值是2,試求該幾何體ABCDE

的體積.

20.某市在200萬成年人中隨機抽取了100名成年市民進行平均每天讀書時長調(diào)查.根

據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制市民平均每天讀書時長的頻率分布直方圖(如圖)，將平均每天讀書時

長不低于1.5小時的市民稱為“閱讀愛好者”，并將其中每天讀書時長不低于2.5小時的市

民稱為“讀書迷”.

⑴試估算該市“閱讀愛好者”的人數(shù)，并指出其中“讀書迷”約為多少人；

(2)省某機構(gòu)開展“儒城”活動評選，規(guī)則如下：若城市中55%的成年人平均每天讀書時

長不低于。小時，則認定此城市為“儒城”.若該市被認定為“儒城”，則評選標準應滿足

什么條件？(精確到0.1)

(3)該市要成立“墨葫蘆”讀書會，吸納會員不超過20萬名.根據(jù)調(diào)查，如果收取會費，

則非閱讀愛好者不愿意加入讀書會,而閱讀愛好者愿意加入讀書會.為了調(diào)控入會人數(shù),

設(shè)定會費參數(shù)x(x>l),適當提高會費，這樣“閱讀愛好者”中非“讀書迷”愿意加入的人

1QInx

數(shù)會減少lOlnx%,“讀書迷”愿意加入的人數(shù)會減少二；%.問會費參數(shù)%至少

O.llnx+1.1

定為多少時，才能使會員的人數(shù)不超過20萬人？

22

21.已知雙曲線C：q-*=l(a>0,b>0)的左、右焦點為片、尸2，虛軸長為40，離心

率為血，過C的左焦點匕作直線/交C的左支于A、B兩點.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)若|A耳|=40,求qA8的大??；

(3)若M(-2,0),試問：是否存在直線/,使得點M在以A3為直徑的圓上？請說明理由.

22.已知函數(shù)/(%)=雇工-(％+1).

⑴判斷函數(shù)的零點個數(shù)；

X+]

(2)當％=1時，若對xe[0,l],函數(shù)/(x)=〃x)+尤+]-2xcosx的圖象都不在

5(尤)=J+〃a+1圖象的下方，求實數(shù)機的取值范圍.

參考答案：

1.A

【分析】由指數(shù)函數(shù)值域求集合M應用集合并運算求結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)N={y|y>l},故MuN={x|-2WxW2}“y|y〉l}={x|xN-2}.

故選：A

2.C

【分析】先根據(jù)i的運算性質(zhì)計算出Z,然后計算出z2-2并寫出對應點坐標，由此可知對應

點所在象限.

【詳解】因為Z=l+i23=l+(i4廣石3=1一i,

所以z~_2=(l—i)—2=—2—2i,

在復平面上對應的點為(-2,-2),該點在第三象限.

故選：C.

3.D

【分析】先得到函數(shù)的奇偶性，再計算出當時，f(x)>0,判斷出答案.

【詳解】化簡函數(shù)A?解析式可得/(x)=土二1-cosx,定義域為R,

2X+1

、2—12—12—12X

f(x)+t(-X)=--X---COSXH----x---cos(-x)=---X---COSX+W----COSX

JJ2+12-+l2+1X+1

2X

???/(%)為奇函數(shù),AC錯誤；

又因為當時，/(兀)=4■---cosx>0,B錯誤，D正確.

I2)2+1

故選：D.

4.B

【分析】由向量的運算和三角函數(shù)即可得。的值.

【詳解】AB=(l-cosa,-sina),AC=(-cosa,l-sincr),

AB=J(l-cosa『十(-sin二Jl-2cosa+cos2a+sin2n=j2-2cosa,

第6頁共22頁

222

AC\=J(-coscr)+(l-sina『=^cos+1-2sinor+sincr=j2-2sin?！?/p>

因為|回卜,4

所以，2-2COS6Z=j2-2sin6z，2—2cosa=2-2sina,

即cosa=sina顯然a+E(^eZ),

所以tana=1,a=：+E（左￡Z）,

又a?0,2兀），所以々=:或彳.

故選：B

5.B

【分析】通過等差數(shù)列的定義求出的通項公式，再利用裂項相消法求出

?1+?1?2++?i?24,進而確定〃的最大值.

..4”，n+1ny1

【詳解】因為需=—'整理得不一乙=1'且;T'

可知［7）是以首項為3,

公差為1的等差數(shù)列,

n<一

所以一二3+〃-1=〃+2,可得”號

an

12"2=1(1_____

當〃22時,可得q%La—x—x-xLx

n345〃+2(〃+l)(〃+2)2(〃+ln+2J

1

且符合上式,所以q%L

n+2

ETJI11二+L+二--一1=1.2<色

則q+q%+L+q%LTa=21---+j

n4n+\n+2〃+2-5'

解得〃W8,即m的最大值為8.

故選：B.

6.D

【分析】設(shè)尸?！罚?根據(jù)條件得到。-1）2+/=4,從而將問題轉(zhuǎn)化成（X-1）2+/=4與圓C

有交點，再利用兩圓的位置關(guān)系即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)P（2）,則由陷|=2|PO|,得至（尤+3）2+：/=2小/+/，

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整理得到（x-iy+y2=4,又點在圓C上，所以（》-1）2+y=4與圓C有交點，

又（x-iy+y?=4的圓心為（1,0）,半徑為廠=2,圓C的圓心為（〃,。），半徑為R=o,

所以12_司VJ（q-I）-+a~V2+a,解得1VaV3+，

故選：D.

7.C

【分析】利用直角三角形求出外接圓的半徑，設(shè)CD中點為尸，連接小，過。作。。,尸尸，

則OQ即為點。到平面尸CD的距離，根據(jù)相似即可求出PQ,得到外接球所得截面的面積.

【詳解】設(shè)正方形筋。。邊長為°=4應，底面中心為瓦CD中點為尸，

連接PE,EF,PF,CE,如圖所示，

由題意得尸E=8,且正四棱錐的外接球球心。，

設(shè)外接球半徑為R,則OP=a4=O8=OC=OD=R,

在RtAOEC中，。。'㈤+國仔，且EC=4,

所以代=16+（8-R『，解得R=5,即。尸=5,

在RT!PEF中，PF={PE。+EF?=+Q后=60，

過。作。。，尸尸，則OQ即為點。到平面PCD的距離，且。為平面PCD截其外接球所得截

面圓的圓心，

所以PEFPQO,

PQOP5

則r詬=樂=凝’

所以「止竽,

所以截面的面積s=7TPQ2=芋.

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于求出外接圓半徑以及找到點。到平面PCD的距離.

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8.B

【分析】依題意分別根據(jù)各式特點，利用輔助角公式和三角函數(shù)單調(diào)性可得l<a〈且，利

2

（522、

用近似值可得“L87,再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得"匕，記J,即可比較得出結(jié)論.

【詳解】根據(jù)題意可知，a=sin-^+cos-^=^sinf^+-^1<^/2sinf^+^=^sin^-=^,

〃=+應sin；=l,即可得]<〃<逅；

<413；42

由人=35+3彳可得力=（G]+曰>（1.69成+罟=1.3+0.57=1.87,即“1.87；

212

易知23<32，即2<3§，所以log3百<1。832<1%32"即/

34

又34=81>43=64,即3>4彳，又3$=243<甲=256,可得3<於；

3434

zlo

所以Iog44“<log43<log44行，可得z<§43<g;

可得:+1<°=i°g32+iog43<：+g,所以?！?mi

?J-J\T,_LJJ

曰AI\2^/6J24522,tsn,

、叱名太a<——---=----<—<c<—<1.87<b,艮

244415

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題關(guān)鍵在于通過觀察式子特征可知，三個式子各不相同，構(gòu)造

函數(shù)的方法失效，所以只能通過限定。，4c的取值范圍使其落在不同的區(qū)間內(nèi)即可得出結(jié)論.

9.CD

【分析】求導，分析導函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調(diào)性，再由己知建立關(guān)于加的不等式組，

解出即可.

【詳解】由題意，/（力—+*+2=_口_2）（彳+1）,

令/'（x）>°，解得一1VXV2,令/'（%）<。，角犁得光<一1或%>2,

所以/（%）在（T2）上單調(diào)遞減，在（-（2,+巧上單調(diào)遞減，

若函數(shù)"％）=-；尤3+；尤2+2%+1在區(qū)間（〃7一1,?1+4）上單調(diào)，

、——1、、

則加+4（一1或加一1>2或</c，解得加4一5或機23或根￡0,

m+4<2

即小4一5或機23.

故選：CD.

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10.BCD

【分析】對于選項A:計算出準線即可判斷；對于選項B:驗證=用是否成立；對于選

項C,D:借助焦點弦及通徑的相關(guān)公式計算即可.

【詳解】對于選項A:由拋物線C：y2=4%,可得2〃=4,解得p=2,故準線方程為

尤=-4=-1,故選項A錯誤；

對于選項B:設(shè)AB的中點為M,且AB,M在準線上的投影為A,B',M',

由拋物線的定義可知：班1=|班1，

易知四邊形ABAZ'為直角梯形，所以1=四'網(wǎng)==四，

11222

故以A3為直徑的圓與C的準線相切，故選項B正確；

對于選項C:設(shè)

,,

因為[AB]=|AF|+忸尸六|AA|+|BB|=xl+-^+x2+-^=xl+x2+p=5,

所以為+%=3,所以線段相中點的橫坐標為土產(chǎn)=：,故選項c正確；

對于選項D:結(jié)合拋物線的焦點弦中通徑最短，可得|A5122P=4,要使|AB|=4,

則線段A3為拋物線的通徑，則這樣的直線有且只有一條，故選項D正確.

故選：BCD.

11.ACD

【分析】根據(jù)線線角和截面的相關(guān)知識逐一判斷各個選項即可.

【詳解】對于A,如圖所示，連接AC,4G,48,

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由AA〃CG，M=CC］可知，四邊形是平行四邊形，

所以AC//AG，所以ER//AC，

所以跖與BCX所成的角即為4G與Ba所成的角,即NAG3或其補角,

因為V4BG是等邊三角形，所以NAGB=60。，

所以E/與BC］所成的角為60。，故A正確；

對于B,因為直線A與，40所成角是90。，且兩條直線相交于A,

所以過點4與兩直線所成角為60。的直線有4條，故B錯誤；

對于C,易知平面4瓦G為過4，E,尸三點的截面，該截面為梯形，

顯然AC=20，AE=C/=Jf+22=&EF=E，

所以截面圖形的周長為AG+AE+EF+C/=20+>/^+0+斯=30+2石，故C正確;

第11頁共22頁

對于D,如圖所示，分別取AA，CG的靠近A,C的三等分點G,H,

連接GB，GE,HD1,HF,易知GE//HO1,HF//GDt,

故點2，G,E,F,H共面，該截面圖形為五邊形，故D正確.

故選：ACD

12.ACD

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積為正結(jié)合古典概型公式判斷A,B選項，根據(jù)數(shù)量積為正得出銳角

判斷C選項，結(jié)合面積公式判斷D選項.

【詳解】易知。4，不共線，若/AO3是銳角，OA-OB—(—^―a-QD>,易知

A(a,b)共有100種情況，其中共有10種，?！芭ca<6有相同種情況，即45種，所以

459

/AC?是銳角的概率為礪=三，A正確；

若是銳角，恒成立，所以/BA。是銳角的概率為1,B錯

誤；

OAOB>Q

若.AOB是銳角三角形，則<8O-BA>0,

AOAB>Q

⑷。)4-)=a-(^>

即b+^=d-b<2,

(―a1—b)彳l-ci-—b)=cr—a+Z?2@,6〉

Q

所以。-匕=1,共有9種情況，所以一AC?是銳角三角形的概率為F，C正確；

第12頁共22頁

若SAOB=Isin/AOB

=||OA||OB|71-COS2ZAOB=22

—y/a+bx\a+b\<5,a+b<10,

2

inQQ

該不等式共有c；0=3x=45組正整數(shù)解，所以的面積不大于5的概率為京，D正確.

1X，ZAJ

故選：ACD.

13.1+i

【分析】應用復數(shù)除法化簡，結(jié)合共輾復數(shù)的概念即可得答案.

2=2(1)

【詳解】

1+i(l+i)(l-i)

??Z=l+l?

故答案為：l+i

2n+6

14.a

3

【分析】根據(jù)給定條件，求出四個球的球心構(gòu)成的正四面體的高即可得解.

【詳解】依次連接四個球的球心9。2，。3，。4，則四面體。|-。2。3。4為正四面體，且邊長為2°,

正。2。3。4外接圓半徑廠=^。2。35苗60=半4,則。1到底面。2。3。4的距離

h=d(2a)2-r。=~~~a，

所以最高點到平臺的距離為亞a+2a=2n+6小

33

故答案為：宜辿a

15.2+用

【分析】利用兩點距離公式及已知求得尸的軌跡是圓心為QT),半徑為2的圓上，再確定

直線所過的定點并判斷其與圓的位置關(guān)系，要使圓上點到直線距離最大，有圓心與定點所在

第13頁共22頁

直線與直線/垂直，進而求最大值.

【詳解】令尸（尤,y）,則次+"-3)2=2次+/，整理得V+(y+l)2=4,

所以P的軌跡是圓心為半徑為2的圓上,

又直線/：〃吠一，+4-3〃1=0可化為加（無一3）-0-4）=0,易知過定點（3,4）,

由3?+(4+>4,故點(3,4)在圓/+⑶+1)2=4外,

則圓心與定點所在直線與直線/垂直，圓心與直線/距離最大,

所以點P到直線/距離的最大值為J3?+（4+1）2+2=2+庖.

故答案為：2+后

1723

16.

【詳解】利用三角函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可.

由于在區(qū)間（巳,5上有且只有兩個零點，所以!＜三＜?，

rr兀兀3兀八c

即—<一<—=>3<g<9,由/(%)=0得，cox+—=kii,keZ,

co3co6

71710)兀兀。兀

G)XH--W——+—,——+—

66626

710)71,兀。71八

——+—<717iW-------1—<2兀

6666々刀用11u—*23

或＜，解傳一<④<5或——，

c71①71c兀。兀333

2兀<——+—<3713兀<——+—44兀

2626

11

所以①的取值范圍是

1723

故答案為：

71

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用整體法得到。/+工€再根據(jù)零點

O

個數(shù)得到不等式組，解出即可.

17.(1)?！?2"

⑵號

n+1

【分析】（1）由數(shù)列遞推式可得當“22時遞推式，和已知等式相減即可求得答案;

（2）由（1）可得a=log2%的表達式，利用裂項相消法求和，即得答案.

第14頁共22頁

【詳解】(1)由題意得"+生+墨+.+墨=〃，①

當“22時，幺+與+胃++冬=〃_1,②

222232“一

由①-②得生=1，即％=2”,

又”=1時，y=1,=2,滿足上式，

綜上，。,=2".

(2)由(1)可得4=log24=",

111__1_

故。〃包+in(n+l)nn+\

設(shè)數(shù)列I的前”項和為I,，

所以［=4+11111

-------FH---------------1-------FH-----....-

)

b2也b“-b”+'1x22x3?-(?+!

11111n

_——1---------------.

223nn+1n+1n+1

2兀

18.⑴5；

【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，找到邊的關(guān)系，借助余弦定理計算即可;

\c=4-

⑵結(jié)合⑴問，求出利用LiS四計算出AD的長度即可.

【詳解】（1）因為sinC=2sin5,由正弦定理可得：c=2b,

因為a?=3/+(?,所以儲=3Z?2+(2Z?)2=7Z?2,即a=yflb，

由余弦定理可得儂又以丁62+4/-7/

2bx2b2

在4MC中，Ae(O,7t),

所以A年

_27T

（2）由（1）問可知A=曰,c=2b,

c=2bc=4

所以八J,解得

b+c=6b=2

第15頁共22頁

設(shè)AD=x,由AO平分N54C,所以SAB?+SADC=SMe，

口門1.JC1■..7C12兀

BP—Gxsin—+—tosm—=—c7psm——，

232323

解得：x=-^=i

b+c3

4

故AD的長度為

19.(1)證明見解析

(2)8

【分析】(1)依題意可得AC13C,再由線面垂直的性質(zhì)得到。CL5C,即可得到8cl平

面ACD,從而得證；

(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出。。的長，進而可求得幾何體AB8E的體

積.

【詳解】(1)反是圓。的直徑，

ACLBC,

又一DC_L平面ABC,BCu平面A3C,

:.DCLBC,

又AC，CD=C,AC,C￡>u平面AC。，

3c，平面ACD,

又ADu平面AC。，:.AD±BC.

(2)設(shè)CD=a(a>0),以CB,CA,CO所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直

角坐標系，如圖所示.

則C(0,0,0),8(2,0,0),4(0,2班,0),D(0,0,a).

由(1)可得，AC,平面BCD,

???平面BCD的一個法向量是C4=(0,2班,0),

設(shè)〃=(%,y,z)為平面的一個法向量，

由條件得AB=G，-2瘋0),AD=(-2,0,a).

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nAB=02x-2y/3y=0

即

nAD=0-2x+az=0

不妨令X=l,貝！|y二也,2

z=一

3a

又二面角人-皮＞-。所成角。的正切值是2,

cos6>=—

5

|cosn,CA|=cos9=,

V5

,解得〃=2指(負值舍去).

5

-V^BCDE=^E-ADC+^E-ABC

3e.⑷+」sMC?網(wǎng)

3A/loixV||3./IOV||

=-x|AC|x|￡)C|x|ED|+-x|AC|x|BC|x|EB|

66

=-x2sj3x2y/3x2+-x2-j3x2x2s/3

66

該幾何體ABCDE的體積是8.

20.(1)32萬“閱讀愛好者”，“讀書迷”約有6萬人

(2)參考標準。不能高于0.7小時(42分鐘)

(3)至少定為e“時，才能使入會的人員不超過20萬人

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【分析】(1)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)直接求解即可；

(2)根據(jù)百分位數(shù)的定義直接求解即可；

(3)結(jié)合對數(shù)的運算，根據(jù)題意列出不等式，然后求解即可.

【詳解】(1)樣本中“閱讀愛好者”出現(xiàn)頻率為(0.16+0.10+0.06)x0.5=16%,

“閱讀愛好者”的人數(shù)為200X16%=32(萬)，

“讀書迷”人數(shù)為200x(0.06x0.5)=6(萬),

所以32萬“閱讀愛好者”中，“讀書迷”約有6萬人.

(2)由題意知至多有45%的成年人每天讀書時長少于

即找到45%分位數(shù)，

又0.5x0.72=0.36<45%,0.5x(0.72+0.44)=0.58>45%,

所以0.72x0.5+0.44x(a-0.5)=45%,可得。=衛(wèi)=0.7,

即參考標準。不能高于Q7小時(42分鐘).

(3)“閱讀愛好者”中非“讀書迷”約有26(1-特1萬人,

“讀書迷”約有人一記%J萬人,

令26,一特1+6]1一Inx131nx61nx

=32—<20,

Inx+115Inx+11

化簡得：13(lnx)2+1131nx-660>0,

解得：ln.x<——^lnx>4,所以無Ze,,

所以會費參數(shù)尤至少定為時，才能使入會的人員不超過20萬人.

21.(1)—-^=1

88

3

(2)arccos—

⑶不存在，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)條件列出關(guān)于b，c的方程組，由此求解出萬的值，則雙曲線方程可知；

(2)根據(jù)雙曲線的定義求解出|A月在中利用余弦定理求解出cos/44乙的值，則

/月的大小可知；

(3)當/的斜率不存在時，直接分析即可，當/的斜率存在時，設(shè)出/的方程并與雙曲線方

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程聯(lián)立，得到橫坐標的韋達定理形式，根據(jù)M4-MB=0進行化簡計算，從而判斷出/是否存

在.

2b=40

2v2

【詳解】（1）由題意可知：e=￡=0,解得＜a=

ab=2及

a2+b2=c2

22

所以雙曲線c的方程為：—-^=1；

88

（2）因為|A4|=4形,所以|A閭=2a+4后=8四，且閨閭=2c=8,

32+128-64_3

所以cosN耳Ag=

12x4忘x8夜一W

21A樸AF2\

3

所以NKA區(qū)的大小為arccos：；

（3）假設(shè)存在/滿足要求，

A-4［x=-4

當/的斜率不存在時，/：x=-4,由位_￡_］解得丫_+20，

所以肱4."8=卜2,2點）.卜2,-2忘）=-420,所以肱1,MB不垂直，故不滿足要求;

h

當/的斜率存在時，因為/與雙曲線有兩個交點，所以左二土一，即左N±l,

a

設(shè)/:y=%（x+4）,A（五,,

聯(lián)立〔；2=￥］：）可得（1-二產(chǎn)-8以-（16/+8）=0,

且△=（—8女）一4（1—左2）［—（16左2+8）］＞0,即產(chǎn)+1＞0,

8/16V+8

所以石+々=

匚5小一-1T記~

所以M4.Affi=（芯+2,+2,%）=（苔+2）伍+2）+人（為+4）*上伍+4）,

2

^^M4-MB=（^+1）X1X2+（4^+2）（X1+X2）+16F+4,

16公+8、（4r+2）x842（16左2+4）（1—左2）

所以=（左2+1）.卜+

2

1-k7

-164'-2442-8+32%'+1642-16rt+12A?+44fc2-4

=4/0

k2-]

所以也不滿足要求,

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