專(zhuān)題09 含乘方的有理數(shù)運(yùn)算綜合探究（解析版）

專(zhuān)題09含乘方的有理數(shù)運(yùn)算綜合探究1．閱讀計(jì)算過(guò)程：解：原式=

①

②

③回答下列問(wèn)題：（1）步驟①錯(cuò)在；（2）步驟①到步驟②錯(cuò)在；（3）步驟②到步驟③錯(cuò)在；（4）請(qǐng)寫(xiě)出此題的正確結(jié)果．【答案】（1）去括號(hào)錯(cuò)誤；（2）乘方計(jì)算錯(cuò)誤；（3）運(yùn)算順序錯(cuò)誤；（4）．【解析】【分析】根據(jù)去括號(hào)法則、有理數(shù)的乘方法則和有理數(shù)的運(yùn)算順序進(jìn)行解題．【詳解】（1）原式=，∴去括號(hào)錯(cuò)誤；（2）∵原式=①②∴乘方計(jì)算錯(cuò)誤；（3）∵②③∴運(yùn)算順序錯(cuò)誤；（4）原式=．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握去括號(hào)法則，養(yǎng)成良好的書(shū)寫(xiě)規(guī)范習(xí)慣．2．以下是一位同學(xué)所做的有理數(shù)運(yùn)算解題過(guò)程的一部分：（1）請(qǐng)你在上面的解題過(guò)程中仿照給出的方式，圈畫(huà)出他的錯(cuò)誤之處，并將正確結(jié)果寫(xiě)在相應(yīng)的圈內(nèi)；（2）請(qǐng)就此題反映出的該同學(xué)有理數(shù)運(yùn)算掌握的情況進(jìn)行具體評(píng)價(jià)，并對(duì)相應(yīng)的有效避錯(cuò)方法給出你的建議．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）出錯(cuò)地方有3處，分別是乘方運(yùn)算錯(cuò)誤，絕對(duì)值求錯(cuò)，乘除運(yùn)算順序錯(cuò)誤，改正即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則和有理數(shù)混合運(yùn)算順序及絕對(duì)值性質(zhì)求解寫(xiě)出建議即可．【詳解】解：（1）如圖所示：（2）評(píng)價(jià)：該同學(xué)做乘方運(yùn)算時(shí)，應(yīng)分清底數(shù)再進(jìn)行計(jì)算，注意加括號(hào)和不加括號(hào)的區(qū)別；絕對(duì)值具有非負(fù)性，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值應(yīng)該取它的相反數(shù)；除法沒(méi)有結(jié)合律，同級(jí)運(yùn)算應(yīng)該按照從左到右的順序依次計(jì)算．建議：做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序依次進(jìn)行計(jì)算．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．3．下面是小明同學(xué)做過(guò)的兩道題，請(qǐng)先閱讀解題過(guò)程，然后回答所提出的問(wèn)題．（1）計(jì)算：（1）；解：原式＝第①步＝12第②步問(wèn)題：上述解法中，第幾步有錯(cuò)？______（填序號(hào)即可）．本題的正確解法是：_（2）．解：原式=第①步=第②步第③步第④步問(wèn)題：上述解法中，第幾步有錯(cuò)？______（填序號(hào)即可）．本題的正確解法是：【答案】（1）①；（2）①，③；【解析】【詳解】試題分析：（1）①乘方運(yùn)算錯(cuò)誤②主要是運(yùn)算順序錯(cuò)誤,③除以一個(gè)數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù),（2）①?zèng)]有見(jiàn)括號(hào)，符號(hào)錯(cuò)誤，②去括號(hào)錯(cuò)誤，③正確．試題解析：（1）①；正解：原式=；（2）①，③；正解：原式==考點(diǎn)：有理數(shù)的混合運(yùn)算4．（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：；（3）計(jì)算：．【答案】（1）1；（2）1；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)同分母的分?jǐn)?shù)相加，分母不變分子相加得出結(jié)論；（2）利用（1）中規(guī)律相加即可；（3）根據(jù)（1）規(guī)律加，再減，然后作和即可．【詳解】解：（1）；（2）……；（3）……．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字變化類(lèi)，關(guān)鍵是找到式子中的規(guī)律進(jìn)行求和．5．已知：,求的值.【答案】【解析】【分析】絕對(duì)值和偶次冪都是非負(fù)數(shù)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則為幾個(gè)0相加，據(jù)此求解．【詳解】解：∵|x1-1|+（x2-2）2+|x3-3|3+（x4-4）4+…+|x2007-2007|2007+（x2008-2008）2008=0，∴x1-1=0，x2-2=0，x3-3=0，x4-4=0，x2007-2007=0，x2008-2008=0，∴x1=1，x2=2，x3=3，x4=4，x2007=2007，x2008=2008，∴原式==1-=．【點(diǎn)睛】此題主要考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解答過(guò)程還要注意分析題干特點(diǎn)，總結(jié)規(guī)律解答．6．（1）計(jì)算：①2-1＝；②22-2-1＝；③23-22-2-1＝；④24-23-22-2-1＝；⑤25-24-23-22-2-1＝；⑥22019-22018-22017-……-22-2-1＝（2）根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果猜想：2n-2n-1-2n-2-……-22-2-1的值為多少？（3）根據(jù)上面猜想的結(jié)論求212-211-210-29-28-27-26的值．【答案】（1）1；1；1；1；1；1；（2）1；（3）64【解析】【分析】（1）①②③④⑤直接計(jì)算即可，⑥類(lèi)比計(jì)算即可；（2）由2n=2×2n-1，可得結(jié)果；（3）根據(jù)2n=2×2n-1，將212-211-210-29-28-27-26遞推化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：（1）①2-1＝1，②22-2-1＝1，③23-22-2-1＝1，④24-23-22-2-1＝1，⑤25-24-23-22-2-1＝1，⑥22019-22018-22017-……-22-2-1＝1，故答案為：1；1；1；1；1；1；（2）2n-2n-1-2n-2-……-22-2-1=2n-1-2n-2-…-22-2-1=2n-2-…-22-2-1=22-2-1=1；（3）212-211-210-29-28-27-26=211-210-29-28-27-26=210-29-28-27-26=29-28-27-26=28-27-26=27-26=26=64．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐步遞推，是解題的關(guān)鍵．本題只要把數(shù)字的變化規(guī)律看清，難度不大．7．若．求在中最小的一項(xiàng)是哪一項(xiàng)，最小值是多少？【答案】，最小值是0【解析】【分析】觀察出從大到小變化，從小到大變化，分別表示出，繼而得到，然后進(jìn)行分析求解即可．【詳解】由前三項(xiàng)得出其關(guān)于n的表達(dá)式：∴；由前三項(xiàng)得出其關(guān)于n的表達(dá)式：∴……，要想的值最小，只需要（n+4）2=100，∵n為正整數(shù)，∴n+4為正數(shù)，∵102=100，∴n+4=10解得n=6故第6項(xiàng)時(shí)兩者的差最小，且為0【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的運(yùn)算，求絕對(duì)值表示的式子的最小值，分析出的變化規(guī)律是本題解題的關(guān)鍵8．觀察下列解題過(guò)程：計(jì)算：的值解：設(shè)①，則②，由②－①，得.即原式通過(guò)閱讀，你一定學(xué)會(huì)了這種解決問(wèn)題的方法，請(qǐng)你用學(xué)到的方法計(jì)算：【答案】【解析】【分析】利用所給的解答方式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)①，則②，由②①，得．∴，即原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律和有理數(shù)的乘方，解答的關(guān)鍵是理解清楚題目所給的解答方式并靈活運(yùn)用．9．觀察并驗(yàn)證下列等式：13+23＝（1+2）2＝9，13+23+33＝（1+2+3）2＝36，13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝100，（1）續(xù)寫(xiě)等式：13+23+33+43+53＝_____；（寫(xiě)出最后結(jié)果）（2）我們已經(jīng)知道1+2+3+…+n＝n（n+1），根據(jù)上述等式中所體現(xiàn)的規(guī)律，猜想結(jié)論：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3＝_____；（結(jié)果用因式乘積表示）（3）利用（2）中得到的結(jié)論計(jì)算：13+33+53+…+（2n﹣1）3【答案】（1）225；（2）n2（n+1）2；（3）2n4-n2【解析】【分析】（1）觀察所給的各式即可得到答案；（2）根據(jù)題干中已知等式知從1開(kāi)始的連續(xù)n個(gè)整數(shù)的立方和等于這n個(gè)數(shù)的和的平方，據(jù)此可得；（3）將原式變形為[13+23+33+…+（2n）3]-[23+43+63+…+（2n）3]，再利用題中規(guī)律計(jì)算．【詳解】解：（1）由題意可得：13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=225；（2）由題意可得：原式=[n（n+1）]2=n2（n+1）2；（3）原式=[13+23+33+…+（2n）3]-[23+43+63+…+（2n）3]=（2n）2（2n+1）2-8（13+23+33…+n3）=×4n2（2n+1）2-8××n2×（n+1）2=n2（2n+1）2-2n2（n+1）2=n2（2n2-1）=2n4-n2．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解以及數(shù)字規(guī)律，涉及整式混合運(yùn)算，有理數(shù)運(yùn)算等知識(shí)，綜合程度較高．10．下面是按規(guī)律排列的一列式子：第1個(gè)式子：；第2個(gè)式子：；第3個(gè)式子：；……（1）分別計(jì)算出這三個(gè)式子的結(jié)果；（2）請(qǐng)按規(guī)律寫(xiě)出第2019個(gè)式子的形式（中間部分用省略號(hào)，兩端部分必須寫(xiě)詳細(xì)）；（3）計(jì)算第2019個(gè)式子的結(jié)果．【答案】（1），，；（2）見(jiàn)解析，；（3）【解析】【分析】（1）按照有理數(shù)的混合運(yùn)算順序計(jì)算即可；（2）第個(gè)式子為：，再將代入即可；（3）由前三個(gè)式子可得出第個(gè)式子結(jié)果為：，再將代入即可．【詳解】解：（1）第1個(gè)式子：第2個(gè)式子：第3個(gè)式子：（2）∵由題意可得：第個(gè)式子為：∴當(dāng)時(shí)，第2019個(gè)式子為：（3）∵第1個(gè)式子的結(jié)果：；第2個(gè)式子的結(jié)果：；第3個(gè)式子的結(jié)果：∴第個(gè)式子結(jié)果為：∴當(dāng)時(shí)第2019個(gè)式子的結(jié)果為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題關(guān)鍵是根據(jù)特殊情況找出數(shù)據(jù)間的一般運(yùn)算規(guī)律．11．讀一讀：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示從1開(kāi)始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和．由于上述式子比較長(zhǎng)，書(shū)寫(xiě)也不方便，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們可以將“1+2+3+4+5+…+100”表示為，這里“”是求和符號(hào)．例如：“1+3+5+7+9+…+99”（即從1開(kāi)始的100以?xún)?nèi)連續(xù)奇數(shù)的和）可表示為；又如“13+23+33+43+53+63+73+83+93+103”可表示為．同學(xué)們，通過(guò)對(duì)以上材料的閱讀，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）“2+4+6+8+10+…+100”（即從2開(kāi)始的100以?xún)?nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符號(hào)可表示為．（2）計(jì)算:的值【答案】；50．【解析】【詳解】試題分析：首先根據(jù)題意得出新定義的含義，然后根據(jù)含義得出一般性的規(guī)律，最后根據(jù)規(guī)律進(jìn)行計(jì)算．試題解析：（1）（2）==0+3+8+15+24=50考點(diǎn)：新定義型12．探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．定義“”運(yùn)算：；；；；；．（1）歸納運(yùn)算的法則：兩數(shù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，．（文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言均可）特別地，和任何數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，或任何數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算，.（2）計(jì)算：（3）是否存在有理數(shù)使得，若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把兩數(shù)的平方相加；等于這個(gè)數(shù)的平方；（2）17；（3）存在，理由見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）首先根據(jù)*運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式，歸納出*運(yùn)算的運(yùn)算法則即可；然后根據(jù)：0*（?5）＝（?5）2；（＋3）*0）＝（＋3）2，可得：0和任何數(shù)進(jìn)行*運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行*運(yùn)算，等于這個(gè)數(shù)的平方．（2）根據(jù)（1）中總結(jié)出的*運(yùn)算的運(yùn)算法則，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，進(jìn)行求值計(jì)算即可．（3）根據(jù)總結(jié)的運(yùn)算法則，進(jìn)行分析計(jì)算即可．【詳解】解：（1）歸納*運(yùn)算的法則：兩數(shù)進(jìn)行*運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把兩數(shù)的平方相加；特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行*運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行*運(yùn)算，等于這個(gè)數(shù)的平方；故填：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把兩數(shù)的平方相加；等于這個(gè)數(shù)的平方；（2）（＋1）*[0*（?2）]＝（＋1）*（?2）2＝（＋1）*4＝＋（12＋42）＝1＋16＝17；（3）存在，理由如下：∵（m?1）*（n＋2）＝0，∴（m?1）2＋（n＋2）2＝0∴m?1＝0，n＋2＝0，解得：m＝1，n＝?2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了定義新運(yùn)算，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，注意加法運(yùn)算律的應(yīng)用．13．概念學(xué)習(xí)現(xiàn)規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運(yùn)算叫做除方，比如，等，類(lèi)比有理數(shù)的乘方，我們把寫(xiě)作，讀作“2的圈3次方”，寫(xiě)作，讀作“的圈4次方”，一般地，把寫(xiě)作，讀作“的圈次方”．初步探究（1）直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：________，________；（2）下列關(guān)于除方說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有________；（在橫線(xiàn)上填寫(xiě)序號(hào)即可）A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1B．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)C．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)D．圈次方等于它本身的數(shù)是1或深入思考我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那么有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？（3）歸納：請(qǐng)把有理數(shù)的圈次方寫(xiě)成冪的形式為：________；（4）比較：________；填“>”“<”或“=”）（5）計(jì)算：．【答案】（1），；（2）D；（3）；（4）；（5）【解析】【分析】（1）根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算，直接計(jì)算即可；（2）根據(jù)圈次方的意義，計(jì)算判斷得出結(jié)論；（3）根據(jù)題例的規(guī)定，直接寫(xiě)成冪的形式即可；（4）根據(jù)圈次方的規(guī)定直接進(jìn)行判斷即可；（5）先把圈次方轉(zhuǎn)化成冪的形式，利用有理數(shù)的混合運(yùn)算，計(jì)算求值即可．【詳解】解：（1），，故答案為：，；（2）A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1，結(jié)論正確，不符合題意；B．任何非零數(shù)的圈3次方都等于它的倒數(shù)，結(jié)論正確，不符合題意；C．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)，結(jié)論正確，不符合題意；D．圈次方等于它本身的數(shù)是1，結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；故選：D；（3），故答案為：；（4）＝＝＝，＝＝＝，∵，∴，故答案為：；（5）原式＝＝＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，掌握圈次方的意義是解本題的關(guān)鍵．14．《莊子·天下》：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭．”意思是說(shuō)：一尺長(zhǎng)的木棍，每天截掉一半，永遠(yuǎn)也截不完．我國(guó)智慧的古代人在兩千多年前就有了數(shù)學(xué)極限思想，今天我們運(yùn)用此數(shù)學(xué)思想研究下列問(wèn)題．【規(guī)律探索】（1）如圖1所示的是邊長(zhǎng)為1的正方形，將它剪掉一半，則S陰影1＝1－＝如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將陰影部分再裁剪掉—半，則S陰影2＝1－－()2＝____；同種操作，如圖3，S陰影3＝1－－()2－()3＝__________；如圖4，S陰影4＝1－－()2－()3－()4＝___________；……若同種地操作n次，則S陰影n＝1－－()2－()3－…－()n＝_________．于是歸納得到：+()2+()3+…+()n=_________．【理論推導(dǎo)】（2）閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值．解：設(shè)S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①將①×2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，②由②-①得：2S—S=22017—1，即=22017-1．即1+2+22