廣東省深圳市南山區(qū)2023-2024學(xué)年高一年級上冊期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前試卷類型：A

南山區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測

高一數(shù)學(xué)試題2024.1

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知集合/={Ny=lg(l-=則Nc2=(

A.{1}B.{-1,0,1)D.{-l,0}

2.下列所給的等式中正確的為()

3KV2

A.—=135°B.tan-=73c.sin——=—

3642

tt,,

3.已知命題。：Vx<0,x-cosx<0I則。的否定為()

A.<0,x-cosx>0B,3X>0,X-COSX>0

C.Vx<0,x-cosx>0D.Vx>0,x-cosx>0

4.設(shè)函數(shù)/(x)=3'+2x—4的零點(diǎn)為％,則()

A.(-1,0)B.(O,l)C.(l,2)D.(2,3)

y(X711

5.為了得到函數(shù)^=5立耳的圖象，只需將函數(shù)y=cos萬一］的圖象()

7171

A.向左平移一個(gè)單位長度B.向左平移一個(gè)單位長度

24

7TJT

C.向右平移一個(gè)單位長度D.向右平移一個(gè)單位長度

24

(2Xr<1

6.已知函數(shù)/(x)=/，若/(/(sin6?))=2,則。的值可以為(

x,x21,

8.E^Da=sinl+cosl,6=k)g8siSinLc=28si,則()

A.c>a>bB.a>b>cC.c>b>aD.a>c>b

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=(2加-加2)/'為基函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為()

A.m=lB./(x)為偶函數(shù)C./(x)為單調(diào)遞增函數(shù)口./3的值域?yàn)閇0,+。)

10.已知4民。是△48C的三個(gè)內(nèi)角，下列條件是“cosZcos8cosC<0”的一個(gè)充分不必要條件的為()

A.sin(4+5)>0B.COS(4+5)>0C.sin(/-5)<0D.COS(4-5)<0

11.已知函數(shù)/(%)=血苗(%)=唇，若/(m)=g⑺，則下列結(jié)論可能成立的為()

A.m=nB.n<m<1C.m<l<nD.l<m<n

12.已知函數(shù)/(x)滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①VxeR,/[/(x)+g(—x)]=—l,其中函數(shù)g(x)是函數(shù)y=log3X

的反函數(shù)；②若xwj,貝！l/(x)w/(y),則下列結(jié)論正確的為()

K.若a豐b，則(a-b)[g(a)—g(b)]>0

B.若點(diǎn)P(cos6,sin。)在曲線歹=g(x)上，則sin2"0

C.存在點(diǎn)。，使得曲線y=/(x)與y=g(x)關(guān)于點(diǎn)。對稱

D.方程/(3sinx)+x=l恰有9個(gè)相異實(shí)數(shù)解

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

JT

13.已知扇形的圓心角為一，且弧長為兀，則該扇形的面積為

3

14.已知函數(shù)/(%)=—+加%,若VxeR,/(l-x)=/(l+x),則加=.

15.已知當(dāng)〃eN*時(shí)，函數(shù)/(x)=in(x+ay+b的圖象恒過定點(diǎn)(-1,1)，其中a,6為常數(shù)，則不等式色心40

x-a

的解集為.

八149v

16.已知實(shí)數(shù)x,>>0,且一+—W---.記M=cosx+cosy,貝i]」=,M的最小值為.

xyx+yx

(第一空2分，第二空3分)

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

17.（10分）

計(jì)算下列各式的值.

,,14,______

⑴30g3-+21g--lg25；（2）（78）3+7（3-7r）2-（-1）2024xn-

18.(12分)

已知集合A={x\2a-3<x<a+2},5=<x—<2X<4>.

16

(1)若Q=0,求；

(2)若AuB=B,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19.（12分）

（1）已知點(diǎn)尸（—3,。）為角二終邊上一點(diǎn)，且tana=—g,求cos（兀+a）的值;

（2）若tan［夕+巳）=葭求sin2/?+2cos20的值.

20.（12分）

己知某產(chǎn)品在過去的32天內(nèi)的日銷售量。(x)(單位：萬件)與第x天之間的函數(shù)關(guān)系為

①Q(mào)(x)=a(x—8y+6；②Q(x)="+加這兩種函數(shù)模型中的一個(gè)，且部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:

X(天)241020

Q(x)(萬件)121110.410.2

(1)請確定。(x)的解析式，并說明理由；

(2)若第x天的每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格均為P(x)(單位：元)，且P(x)=60-|x-20],求該產(chǎn)品在過去32

天內(nèi)的第x天的銷售額/(x)(單位：萬元)的解析式及/(x)的最小值.

21.(12分)

己知函數(shù)/(x)=Acos(a)x+(p)(A>0,a)>0,0<(p<7i)的部分圖象如圖所示.

(1)求/(x)的解析式;

(2)設(shè)0＜。＜兀，記/(x)在區(qū)間[0,句上的最大值為g(e),求g(e)的解析式.

22.(12分)

2

已知函數(shù)/(x)=a-2rd為定義在R上的奇函數(shù)?

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)(i)證明：/(x)為單調(diào)遞增函數(shù);

Vxe(O,+”)，若不等式包士噬紀(jì)空貯)

(ii)+三二L〉0恒成立，求非零實(shí)數(shù)加的取值范圍.

x+1x2+l

絕密★啟用前試卷類型：A

南山區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測

高一數(shù)學(xué)參考試題答案與評分標(biāo)準(zhǔn)

一、單項(xiàng)選擇題:

題號12345678

答案DCABCDBA

8.解析：???a=sinl+cosl〉sin21+cos21=l，且。=V5sin[l+z|v后,〈后,

sinl7i

---=tanl>tan—=f0<cosl<sinl<1./.b=logsinl<logcosl=1.

■iA，DCpOnSc1DCnOnSc1

cosl4

...c=2C0S1>2C0Sy=41,：.oa>b故應(yīng)選A-

二、多項(xiàng)選擇題：

題號9101112

答案ACBDABDACD

12.解析：易知g(x)=3)且g(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，.?.選項(xiàng)A正確；

點(diǎn)P(cos。,sin。)顯然在以原點(diǎn)為單位圓上，易知曲線y=g(x)與單位圓在第二象限有交點(diǎn)，此時(shí)

cos。＜0,sin6＞0,/.sio26=2sin^cos^＜0,/.選項(xiàng)B錯誤；

???若x/y，則/(x)w/(v),.?.若/(c)=—l,則常數(shù)C的值唯一，

又X/xeR,/[/(x)+g(—x)]=-1,VxeR,/(x)+g(—x)=c,

/.VxGR,/(x)+3-x=c,即/(x)=c-3r(xeR),由=可知。一3-。=—l，

不難知道c=0是上述方程的根，顯然函數(shù)y=c-3-c單調(diào)遞增,

方程c—3-'=-1有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根c=0,:.f(x)=-3^,

從而不難知道曲線J=/(%)與〉=g(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱，.??選項(xiàng)C正確；

方程/(3sinx)+x=1即-3-3sira+x=1,即x—1=3ftoe,

兩邊取對數(shù)，得1083(%-1)=-3$11?,

考慮函數(shù)＞=log3(x—l)與＞=—3sinx的圖象(如下圖)，易知它們恰有9個(gè)交點(diǎn)，

選項(xiàng)。正確，綜上所述，應(yīng)選ACD.

三、填空題:

15.[1,2）

[49?14?V4x

解析：*.*x,jv>0,且—I—?-------—I—49,化簡得I44,

xyx+yy）xy

又上+把22k'=4,，匕+色=4,當(dāng)且僅當(dāng)上=色時(shí),

等號成立，易知工=2,

xy\xyxjxyX

u=cosx+cosy=cosx+cos2x=2cos2x+COST-1=2^cosx+—J-->-—，

19

易知當(dāng)cosx=——（x〉0）時(shí)，等號成立，的最小值為-一.

48

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

17.（10分）

解：（1）310g35+21g1-lg25=5+lg1-lg25=5+1g^^=5-2=3.

4

4______/3^3

⑵（逐戶+J（3—兀）21）2°24*兀=22\|3-7l|-7T=7T-3-7T=1-

l）

18.（12分）

解：（1）若a=0,則4={%[-3<x<2},

由\<2,<4,解得—4<x<2,r.8={x[—4<x<2},

6g—{x|—4<x?—3}.

（2）由=3可知，4口B,

①若4=0,則2。一32a+2,解得a>5,

tz+2<2,

②若4W0,即a<5,則

2?-3>-4,

解得—VaV0,

2

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為-：,0。［5,+力）.

19.(12分)

解：（1）由正切函數(shù)的定義可知，tana=2，

4

又tana=——,:.a=4,

3

-33

由余弦函數(shù)的定義可知，costz=卜3），+42=_《,

3

cos7t+a=-COS6Z=—

5

c71

tan夕+tan4tan^+lj

(2)Vtanf夕+：)=

1—tanetan]Jtan夕-3

tan^=-1

."2…T篙簽產(chǎn)漂儲

20.（12分）

解：（1）選擇模型②，理由如下:

由題表可知，隨著x增大時(shí)，銷售量逐漸減少，若。（x）=k（x-8y+6,則當(dāng)1WXW32時(shí)，Q（x）非單調(diào)遞

減函數(shù)，不符合題意.

b+-=n,

對于Q（x）=?+b,根據(jù)題意，將點(diǎn)（2,12）,（4,11）代入可得＜2

JC7k-

Z)+—=11,

4

4

解得k=4,b=10,此時(shí)Q(x)=10+—,

X

易知點(diǎn)(10,10.4),(20,10.2)均在Q(x)=10+3的圖象上,

X

Q(x)=10+—(^1<x<32,xeN*

x+40,1Vx420(x￡N)

(2)P(x)=-|x-20|+60=

-x+80,20<x<32(xGN*),

x+40),l<x<20(x￡N)

由(1)知/(x)=P(x).Q(x)=[

l(io+S

-x+80),20<xV32(XEN)

10x+—+404,l<x<20(xe]、*)，

即/(x)=<X

-10x+—+796,20<X<32G■eN*),

當(dāng)l<x<20(xeN*)時(shí)，/(x)=10x+—-+404>2^1Ox--+404=484,

X

當(dāng)且僅當(dāng)10x=皿，即x=4時(shí)，等號成立

X

當(dāng)20<x<32(xeN)時(shí)，/(x)=-10X+——+796為單調(diào)遞減函數(shù)，

X

：.f(x)的最小值為432)=486>484,

綜上可知，/(x)的最小值為484萬元.

21.(12分)

解：(1)由圖可知/=2,

—T///]=%

412L6J4

最小正周期為7=兀，

?.-T=—=2,

CO

:.f(x)=2cos(2x+0),

又點(diǎn)[it在/W的圖象上，,2cos(77T\c口“(7兀、,

12xJ,+0J=2,即cos1—1■0J=1,

77r7Ji

:.—+(p=2kji(kGZ),即0=--+2kMkGZ),

5兀

又0<°<兀,...左=1,且9=不，

/⑴=2cos.

rtkit5兀/r_\

(2)(方法一)令2%+工■=左兀(左￡Z)，貝！Jx二-------(kGZ),

212v7

???/(X)的圖象的對稱軸方程為》=日一

???在區(qū)間（0,兀）內(nèi)，/（X）的圖象有兩條對稱軸，其方程為x=A，和x=

77rT7T

（方法二）???/（x）的最小正周期為7=兀,：./—w=已，

在區(qū)間（0,兀）內(nèi)，/（x）的圖象有兩條對稱軸，其方程為x=A，和》=得，

上單調(diào)遞增，在區(qū)間（胃廣］上單調(diào)遞減,

易知/（x）在區(qū)間0,A上單調(diào)遞減，在區(qū)間717兀

129U

???/（X）的圖象關(guān)于直線X=4對稱，/（O）=/RU-V3

①若，則/（x）在區(qū)間［0冽上的最大值為/（0）=2cos^=-V3,

②若，epffh則/（x）在區(qū)間［0冽上的最大值為/（，）=2cos「，+自

③若^,7i\則/（x）在區(qū)間［0冽上的最大值為=

Q<0<~,

6

2cos12,+g）,

綜上所述，g（，）=<久”N

612

7兀八

2,—<0<71.

12

22.（12分）

2

解：（1）（方法一）a-為---定---義--在R上的奇函數(shù),

2V+1

f（0）=a-1=0,即a=1,

22,-1

2￥+12￥+1

2--'_11_2V

VxeR，顯然有=F77rK=—/（x）,

J

-2~-1^為奇函數(shù),

2A+1

實(shí)數(shù)a的值為1.

2

（方法二）???/（%）=”亦為定義在R上的奇函數(shù),

VxeR,/(-.x)+/(.X)=fa---------]+[a---------]=2a-[—-——I--------]

'，八，I2-+1)I2'+1)(2、+12-,+1)

+22+21+2

—2a—=2a—7-----------------2a—2=0

2~x+l(2￥+2-￥+2)

2V_1

.?.4=1,此時(shí)/（X）=為奇函數(shù)，符合題設(shè).

(2)⑴任取實(shí)數(shù)X]<0,則

f(x]"上