高考數(shù)學備考之端點效應(yīng)（洛必達法則）專題

第第③例如：當時求的值.解：由洛必達法制可知1（全國新課標理）已知函數(shù)當且時求的取值范圍.解答：（由題設(shè)可得當時k<恒成立。令g(x)=(),則再令()則易知在上為增函數(shù)且故當時當x（1+）時在上為減函數(shù)在上為增函數(shù)故>=0在上為增函數(shù)=0當時當x（1+）時當時當x（1+）時在上為減函數(shù)在上為增函數(shù)由洛必達法則知即k的取值范圍為（-0]2（個人原創(chuàng)）已知函數(shù)當時若都有恒成立求的取值范圍.解答：當時恒成立等價于恒成立令則再令由得當時<0,在單調(diào)遞減即在單調(diào)遞增即在單調(diào)遞增由洛必達法則可得==11要使恒成立只需的取值范圍是3若不等式對于恒成立求的取值范圍.【解析】當時原不等式等價于.記則.記則.因為所以在上單調(diào)遞減且所以在上單調(diào)遞減且.因此在上單調(diào)遞減且故因此在上單調(diào)遞減.由洛必達法則有即當時即有.故時不等式對于恒成立.【評注】通過以上例題的分析我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達法則解決的試題應(yīng)滿足：=1\*GB3①可以分離變量用導數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性=3\*GB3③出現(xiàn)“”型或型式子.4設(shè)函數(shù).設(shè)當時求的取值范圍.解：由題設(shè)此時.①當時若則不成立②當時當時即若則若則等價于即.記則.記則.因此在上單調(diào)遞增且所以即在上單調(diào)遞增且所以.因此所以在上單調(diào)遞增.由洛必達法則有即當時即有所以.綜上所述的取值范圍是.5(2010年全國新課標理)設(shè)函數(shù)若當時求的取值范圍.解:當時對任意實數(shù)a,均在當時等價于令,則令則知在上為增函數(shù)知在上為增函數(shù)g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達法則知故綜上知a的取值范圍為。6設(shè)函數(shù)．如果對任何都有求的取值范圍．解：若則若則等價于即則.記因此當時在上單調(diào)遞減且故所以在上單調(diào)遞減而.另一方面當時因此.7．設(shè)函數(shù)（Ⅰ）證明：的導數(shù)（Ⅱ）若對所有都有求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）的導數(shù)．由于故．（當且僅當時等號成立）．（Ⅱ）令則（?。┤舢敃r故在上為增函數(shù)所以時即．（ⅱ）若方程的正根為此時若則故在該區(qū)間為減函數(shù)．所以時即與題設(shè)相矛盾．綜上滿足條件的的取值范圍是．8．（理已知函數(shù)．求證：如果對任何都有求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）令．定義域為在遞增在遞增．從而可得結(jié)論．（Ⅱ）①當時對由（Ⅰ）的證明知．②當時不合題意．③當時今．則．?。畡t．易知當時遞增即不合題意．綜上知：．9．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當時判斷函數(shù)的零點的個數(shù)并且說明理由（Ⅱ）若對所有都有求正數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）當時的定義域是求導得所以在上為減函數(shù)在上為增函數(shù)（e）．又（1）根據(jù)在上為減函數(shù)則在上恰有一個零點又則（e）所以在上恰有一個零點再根據(jù)在上為增函數(shù)在上恰有一個零點．綜上所述函數(shù)的零點的個數(shù)為2．（Ⅱ）令求導再令則（?。┤舢敃r故在上為減函數(shù)所以當時（1）即則在上為減函數(shù)所以當時（1）即成立（ⅱ）若方程的解為則當時故在上為增函數(shù)所以當時（1）即則在上為增函數(shù)所以當時（1）即成立此時不合題意．綜上滿足條件的正數(shù)的取值范圍是．10．設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）若對所有的均有成立求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由得的增區(qū)間為減區(qū)間為．（2）令．“不等式在時恒成立”“在時恒成立．”．當時為減函數(shù)．當時為增函數(shù)．“在時恒成立”“”即即即．故的取值范圍是．11．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)在點處的切線方程（Ⅱ）求的極小值（Ⅲ）若對所有的都有成立求實數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）的定義域為又切點為所求切線方程為．（2分）（Ⅱ）設(shè)得得得得得得則．（6分）（Ⅲ）令則．令得得得得得得（1）當時對所有時都有于是恒成立在上是增函數(shù)．又于是對所有都有成立．故當時對所有的都有成立．（2）當時對所有都有恒成立在上是減函數(shù)．又于是對所有都有．故當時只有對僅有的都有．即當時不是對所有的都有．綜合（1）（2）可知實數(shù)的取值范圍．（12分）13．已知函數(shù)的最小值為0其中．（1）求的值（2）若對任意的有成立求實數(shù)的最小值．【解析】（1）令可得令為增函數(shù)為減函數(shù)時函數(shù)取得極小值也是最小值函數(shù)的最小值為0得（2）當時取有（1）故不合題意當時令即求導函數(shù)可得令可得當時在上恒成立在上單調(diào)遞減對任意的有成立當時在上為增函數(shù)在上為減函數(shù)因此存在使得可得即與題矛盾綜上：時對任意的有成立實數(shù)的最小值為：14．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性（Ⅱ）設(shè)求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）求導函數(shù)可得當時恒成立單調(diào)遞減當時恒成立單調(diào)遞增當時由得當時單調(diào)遞增當時單調(diào)遞減當時單調(diào)遞增（Ⅱ）由得．令則當時當時即當時有①當時所以②當時綜上．15．已知函數(shù)．（1）當求曲線在（1）處的切線方程（2）若時求的取值范圍．【解析】（1）當時（1）又（1）曲線在（1）處的切線方程為：即．（2）令則當時恒成立即在上單調(diào)遞增（1）①當時（1）故（a）在上單調(diào)遞增且（1）此時符合題意②當時由（1）及在上單調(diào)遞增知使得即不符合題意綜上的取值范圍是．16．已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的極值點求的值（2）令若對任意有恒成立求的取值范圍（3）設(shè)為實數(shù)且求證：．【解析】（1）因為所以令（2）所以檢驗：當時200增極大值減極小值增所以．（2）因為因為由得令則令則所以在上單調(diào)遞增①故（e）所以故在上單調(diào)遞增（e）．所以．（3）證明：當時所以在單調(diào)遞增所以當時（1）即因為所以所以即所以由①知在上單調(diào)遞增所以當時（1）即因為所以．即所以綜上．17．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若函數(shù)當時恒成立求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）定義域為．（?。┊敃r對函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ⅱ）當時時當時所以的單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）函數(shù)．（?。┊敃r由重要不等式知在上遞增所以恒成立符合題意．（ⅱ）當時因為故在上遞增．又存在使得從而函數(shù)在上遞減在上遞增又不恒成立不滿足題意．綜上（?。áⅲ┲獙崝?shù)的取值范圍是．18．已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）若關(guān)于的方程有唯一實根求的值（Ⅱ）若過原點作曲線的切線與直線垂直證明：（Ⅲ）設(shè)當時恒成立求實數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）設(shè)則時在遞增在遞減則有唯一實根且故（Ⅱ）證明：過原點所作曲線的切線與直線垂直切線的斜率為方程是設(shè)與的切點為且令則在遞減在遞增若（1）而在遞減若在遞增且（e）則（舍綜上：（Ⅲ）①時在遞增在遞增恒成立符合題意②時在遞增則存在使得在遞減在遞增又時不恒成立不合題意綜上所求實數(shù)的范圍是．12．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）過原點分別作曲線與的切線已知兩切線的斜率互為倒數(shù)證明：或（3）設(shè)當時求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）依題意函數(shù)的定義域為對求導得．①若對一切有函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．②若當時當時．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）設(shè)切線的方程為切點為則所以則．由題意知切線的斜率為的方程為．設(shè)與曲線的切點為則所以．又因為消去和后整理