北京海淀北理工附中2025屆數(shù)學高一下期末監(jiān)測試題含解析

北京海淀北理工附中2025屆數(shù)學高一下期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某高校進行自主招生，先從報名者中篩選出400人參加筆試，再按筆試成績擇優(yōu)選出100人參加面試．現(xiàn)隨機抽取了24名筆試者的成績，統(tǒng)計結果如下表所示．分數(shù)段[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90]人數(shù)234951據此估計允許參加面試的分數(shù)線大約是()A．90 B．85C．80 D．752．已知，則的值為（）A． B． C． D．3．將一個底面半徑和高都是的圓柱挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐后，剩余部分的體積記為，半徑為的半球的體積記為，則與的大小關系為()A． B． C． D．不能確定4．如圖是一個正方體的表面展開圖，若圖中“努”在正方體的后面，那么這個正方體的前面是（）A．定 B．有 C．收 D．獲5．在復平面內，復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．等差數(shù)列滿足，則其前10項之和為（）A．－9 B．－15 C．15 D．7．為了得到函數(shù)y=sin（x+A．向左平行移動π3B．向右平行移動π3C．向上平行移動π3D．向下平行移動π38．下列說法中，正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則9．在三棱錐中，平面，，，點M為內切圓的圓心，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．已知三條相交于一點的線段兩兩垂直且在同一平面內，在平面外、平面于，則垂足是的（）A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知x，y滿足，則的最大值為________.12．函數(shù)的初相是__________．13．不等式的解為_______．14．若滿足約束條件，的最小值為，則________．15．若存在實數(shù)，使不等式成立，則的取值范圍是_______________.16．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，，則________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若，，求的值.18．已知數(shù)列的前項和為.（1）求這個數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.19．已知等比數(shù)列的公比，前項和為，且滿足.，，分別是一個等差數(shù)列的第1項，第2項，第5項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和；（3）若，的前項和為，且對任意的滿足，求實數(shù)的取值范圍.20．2016年崇明區(qū)政府投資8千萬元啟動休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項目．規(guī)劃從2017年起，在今后的若干年內，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項目.2016年該項目的凈收入為5百萬元，并預測在相當長的年份里，每年的凈收入均為上一年的基礎上增長．記2016年為第1年，為第1年至此后第年的累計利潤（注：含第年，累計利潤=累計凈收入﹣累計投入，單位：千萬元），且當為正值時，認為該項目贏利．（1）試求的表達式；（2）根據預測，該項目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由．21．如圖，在三棱錐中，，分別為棱，上的三等份點，，.（1）求證：平面；（2）若，平面，求證：平面平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據題意可從樣本中數(shù)據的頻率考慮，即按成績擇優(yōu)選擇頻率為的，根據題意得到所選的范圍后再求出對應的分數(shù)．【詳解】由題意得，參加面試的頻率為，結合表中的數(shù)據可得，樣本中[80，90]的頻率為，由樣本估計總體知，分數(shù)線大約為80分．故選C．【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表的應用，解題的關鍵是理解題意，同時還要正確掌握統(tǒng)計中的常用公式，屬于基礎題．2、B【解析】sin(π+α)?3cos(2π?α)=0，即：sinα+3cosα=0，①又∵sin2α+cos2α=1，②由①②聯(lián)立解得：cos2α=.∴cos2α=2cos2α?1=.故選B.3、C【解析】

根據題意分別表示出，通過比較。【詳解】所以，選C?！军c睛】，，。記住這幾個公式即可，屬于基礎題目。4、B【解析】

利用正方體及其表面展開圖的特點以及題意解題，把“努”在正方體的后面，然后把平面展開圖折成正方體，然后看“努”相對面．【詳解】解：這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“努”與面“有”相對，所以圖中“努”在正方體的后面，則這個正方體的前面是“有”．故選：．【點睛】本題考查了正方形相對兩個面上的文字問題，同時考查空間想象能力．注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題，屬于基礎題．5、A【解析】

把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由共軛復數(shù)的概念得答案．【詳解】由z（1﹣i）=2，得z=，∴．則z的共軛復數(shù)對應的點的坐標為（1，﹣1），位于第四象限．故選D．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題．6、D【解析】由已知(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，從而a1＋a10＝±3.所以S10＝×10＝±15.故選D.7、A【解析】試題分析：為得到函數(shù)y=sin(x+π3)【考點】三角函數(shù)圖象的平移【名師點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移，函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移a個單位長度得y=f(x-a)的圖象，而函數(shù)y=f(x)的圖象向上平移a個單位長度得y=f(x)+a的圖象．左、右平移涉及的是x的變化，上、下平移涉及的是函數(shù)值f(x)的變化．8、C【解析】試題分析：選項A中，條件應為；選項B中當時不成立；選項D中，結論應為；C正確．考點：不等式的性質．9、C【解析】

求三棱錐的外接球的表面積即求球的半徑，則球心到底面的距離為，根據正切和MA的長求PA，再和MA的長即可通過勾股定理求出球半徑R，則表面積.【詳解】取BC的中點E，連接AE（圖略）.因為，所以點M在AE上，因為，，所以，則的面積為，解得，所以.因為，所以.設的外接圓的半徑為r，則，解得.因為平面ABC，所以三棱錐的外接球的半徑為，故三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.【點睛】此題關鍵點通過題干信息畫出圖像，平面ABC和底面的內切圓圓心確定球心的位置，根據幾何關系求解即可，屬于三棱錐求外接球半徑基礎題目．10、D【解析】

根據題意，結合線線垂直推證線面垂直，以及根據線面垂直推證線線垂直，即可求解?！驹斀狻窟B接BH，延長BH與AC相交于E，連接AH，延長AH交BC于D，作圖如下：因為，故平面PBC，又平面PBC，故；因為平面ABC，平面ABC，故；又平面PAH，平面PAH故平面PAH，又平面PAH，故，即；同理可得：，又BE與AD交于點H，故H點為的垂心.故選：D.【點睛】本題考查線線垂直與線面垂直之間的相互轉化，屬綜合中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解析】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，結合圖象確定目標函數(shù)的最優(yōu)解，即可得到答案.【詳解】由題意，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，因為目標函數(shù)，可化為直線，當直線過點A時，此時目標函數(shù)在軸上的截距最大，此時目標函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標函數(shù)的最大值為.故答案為：6.【點睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．12、【解析】

根據函數(shù)的解析式即可求出函數(shù)的初相.【詳解】，初相為.故答案為：【點睛】本題主要考查的物理意義，屬于簡單題.13、【解析】

把不等式轉化為，即可求解．【詳解】由題意，不等式，等價于，解得．即不等式的解為故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟記分式不等式的解法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．14、4【解析】

由約束條件得到可行域，取最小值時在軸截距最小，通過直線平移可知過時，取最小值；求出點坐標，代入構造出方程求得結果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：取最小值時，即在軸截距最小平移直線可知，當過點時，在軸截距最小由得：，解得：本題正確結果：【點睛】本題考查現(xiàn)行規(guī)劃中根據最值求解參數(shù)的問題，關鍵是能夠明確最值取得的點，屬于?？碱}型.15、；【解析】

不等式轉化為，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．【詳解】由題意存在，使得不等式成立，當時，，其最小值為，∴．故答案為．【點睛】本題考查不等式能成立問題，解題關鍵是把問題轉化為求函數(shù)的最值．不等式能成立與不等式恒成立問題的轉化區(qū)別：在定義域上，不等式恒成立，則，不等式能成立，則，不等式恒成立，則，不等式能成立，則．轉化時要注意是求最大值還是求最小值．16、1【解析】

由題意首先求得數(shù)列的公差，然后結合通項公式確定m的值即可.【詳解】根據題意，設等差數(shù)列公差為d，則，又由，，則，，則，解可得；故答案為1．【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質，關鍵是掌握等差數(shù)列的通項公式，屬于中等題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】

（1）根據向量平行的坐標公式得出，利用二倍角公式以及弦化切即可得出答案；（2）利用向量的模長公式得出，由二倍角公式以及降冪公式，輔助角公式得出，結合正弦函數(shù)的性質得出的值.【詳解】（1）由，得，所以.所以.（2）由，得所以，所以，所以.因為，所以，所以或解得或.【點睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)，模長公式，簡單的三角恒等變換以及正弦函數(shù)的性質的應用，屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】

（1）當且時，利用求得，經驗證時也滿足所求式子，從而可得通項公式；（2）由（1）求得，利用錯位相減法求得結果.【詳解】（1）當且時，…①當時，，也滿足①式數(shù)列的通項公式為：（2）由（1）知：【點睛】本題考查利用求解數(shù)列通項公式、錯位相減法求解數(shù)列的前項和的問題，關鍵是能夠明確當數(shù)列通項為等差與等比乘積時，采用錯位相減法求和，屬于?？碱}型.19、(1).(2)；(3)【解析】

（1）利用等比數(shù)列通項公式以及求和公式化簡，得到，由，，分別是一個等差數(shù)列的第1項，第2項，第5項，利用等差數(shù)列的定義可得，化簡即可求出，從而得到數(shù)列的通項公式．（2）由（1）可得，利用錯位相減，求出數(shù)列的前項和即可；（3）結合（1）可得，利用裂項相消法，即可得到的前項和，求出的最大值，即可解得實數(shù)的取值范圍【詳解】（1）由得，所以，由，，分別是一個等差數(shù)列的第1項，第2項，第5項，得，即，即，即，因為，所以，所以.（2）由于，所以，所以，，兩式相減得，，所以（3）由知，∴，∴，解得或.即實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式與前項和，等差數(shù)列的定義，以及利用錯位相減法和裂項相消法求數(shù)列的前項和，考查學生的計算能力，有一定綜合性．20、(1)；（2）.【解析】試題分析：（1）由題意知，第一年至此后第年的累計投入為（千萬元），第年至此后第年的累計凈收入為，利用等比數(shù)列數(shù)列的求和公式可得；（2）由，利用指數(shù)函數(shù)的單調性即可得出.試題解析：（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累計投入為8+2（n﹣1）=2n+6（千萬元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累計凈收入為+×+×+…+×=（千萬元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千萬元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣2]，∴當n≤3時，f（n+1）﹣f（n）＜1，故當n≤2時，f（n）遞減；當n≥2時，f（n+1）﹣f（n）＞1，故當n≥2時，f（n）遞增．又f（1）=﹣＜1，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．∴該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利．答：該項目將從2123年開始并持續(xù)贏利；方法二：設f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），則f′（x）=，令f'（x）=1，得=≈=5，∴x≈2．從而當x∈[1，2）時，f'（x）＜1，f（x）遞減；當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞