專題2.12勾股定理與弦圖問(wèn)題（重難點(diǎn)培優(yōu)）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【浙教版】

2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【浙教版】專題2.12勾股定理與弦圖問(wèn)題（重難點(diǎn)培優(yōu)）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2020秋?姑蘇區(qū)期中）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，大正方形面積為64，小正方形面積為9，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)（x＞y），請(qǐng)觀察圖案，下列關(guān)系式中不正確的是（）A．x2+y2＝64 B．x﹣y＝3 C．2xy+9＝64 D．x+y＝11【分析】根據(jù)勾股定理得出方程組，進(jìn)而解答即可．【解析】根據(jù)勾股定理可得：x2+y2＝64①，（x﹣y）2＝9②，①﹣②可得2xy＝55③，∴2xy+9＝64，x﹣y＝3，①+③得x2+2xy+y2＝119，∴x+y=119∴選項(xiàng)A、B、C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意，故選：D．2．（2019?龍馬潭區(qū)模擬）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若ab＝18，大正方形的面積為100．則小正方形的邊長(zhǎng)為）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a﹣b，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長(zhǎng)．【解析】由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a﹣b，∵每一個(gè)直角三角形的面積為：12ab=12×∴4×12ab+（a﹣b）2＝∴（a﹣b）2＝100﹣36＝64，∴a﹣b＝8或a﹣b＝﹣8（舍去），故選：B．3．（2020秋?山西月考）如圖所示的是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，則EF2的值是（）A．169 B．196 C．392 D．588【分析】24和10為兩條直角邊長(zhǎng)時(shí)，求出小正方形的邊長(zhǎng)14，即可利用勾股定理得出EF2的長(zhǎng)．【解析】∵AE＝10，BE＝24，即24和10為兩條直角邊長(zhǎng)時(shí)，∴小正方形的邊長(zhǎng)＝24﹣10＝14，∴EF2＝142+142＝392，故選：C．4．（2021春?海珠區(qū)月考）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結(jié)論：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③【分析】由題意知x2+y2=49①(x-y)2=4②，①﹣②可得2xy＝45記為③，①+③【解析】由題意知x2由①﹣②得2xy＝45③，∴2xy+4＝49，①+③得x2+2xy+y2＝94，∴（x+y）2＝94，∴x+y=94∴結(jié)論①②③正確，④錯(cuò)誤．故選：C．5．（2020秋?重慶期末）2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較長(zhǎng)直角邊為a，較短直角邊為b，則（a+b）2的值為（）A．25 B．19 C．13 D．169【分析】根據(jù)正方形的面積及直角邊的關(guān)系，列出方程組，然后求解．【解析】由條件可得：a2解之得：a=3b=2所以（a+b）2＝25，故選：A．6．（2020秋?明溪縣期中）如圖，“趙爽弦圖”是用四個(gè)相同的直角三角形與一個(gè)小正方形無(wú)縫隙地鋪成一個(gè)大正方形，已知大正方形面積為25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列選項(xiàng)中正確的是（）A．小正方形面積為4 B．x2+y2＝5 C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【解析】根據(jù)題意可得：x2+y2＝25，故B錯(cuò)誤，∵（x+y）2＝49，∴2xy＝24，故D錯(cuò)誤，∴（x﹣y）2＝1，故A錯(cuò)誤，∴x2﹣y2＝7，故C正確；故選：C．7．（2020秋?阜寧縣期中）“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的大正方形．每個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別是3cm和6cm，則中間小正方形的面積是（）A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm2【分析】由正方形的性質(zhì)和勾股定理求出小正方形的面積．【解析】根據(jù)題意得：小正方形的面積＝（6﹣3）2＝9（cm2），故選：A．8．（2020秋?中牟縣期中）1876年，美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德利用如圖所示的方法驗(yàn)證了勾股定理，其中兩個(gè)全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四邊形AECD＝S四邊形DEBC【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來(lái)表示這個(gè)圖形的面積，從而證明勾股定理．【解析】根據(jù)勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD．故選：B．9．（2020秋?南山區(qū)校級(jí)期中）如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成正方形ABCD和正方形EFGH，即趙爽弦圖．連接AC，分別交EF、GH于點(diǎn)M，N，連接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，則圖中陰影部分的面積之和為（）A．214 B．215 C．225 【分析】根據(jù)正方形的面積可得正方形邊長(zhǎng)的平方，設(shè)DH＝x，則AH＝3DH＝3x，根據(jù)勾股定理可得x的平方的值，再根據(jù)題意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得陰影部分的面積之和為梯形NGFM的面積．【解析】∵S正方形ABCD＝21，∴AB2＝21，設(shè)DH＝x，則AH＝3DH＝3x，∴x2+9x2＝21，∴x2=21根據(jù)題意可知：AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，∴S△FGN＝2S△CGN∵S△AEM＝S△CGN，∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，∴陰影部分的面積之和為：S梯形NGFM=12（NG+FM=12（EM+MF=12FE=12×（2＝2x2=21故選：B．10．（2021春?武昌區(qū)期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如圖，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b．若大正方形面積是9，小正方形面積是1，則ab的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由勾股定理得a2+b2＝9，由小正方形面積是1，得出（a﹣b）2＝1，即可得出結(jié)果．【解析】∵直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，大正方形面積是9，∴a2+b2＝9，∵小正方形面積是1，∴（a﹣b）2＝1，∴a2+b2﹣2ab＝1，∴9﹣2ab＝1，∴ab＝4，故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在橫線上11．（2020春?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果大正方形的面積為16，小正方形的面積為3，直角三角形的兩直角邊分別為a和b，那么（a+b）2的值為29．【分析】根據(jù)所求問(wèn)題，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知條件得到ab的值，根據(jù)完全平方公式即可求解．【解析】大正方形的面積為16，得到它的邊長(zhǎng)為4，即得a2+b2＝42＝16，由題意4×12ab+3＝2ab＝13，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+13＝29，故答案為：29．12．（2020秋?福田區(qū)期末）如圖是“趙爽弦圖”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于6．【分析】根據(jù)勾股定理得出AH與AE的值，進(jìn)而解答即可．【解析】∵AB＝10，AH：AE＝3：4，設(shè)AH為3x，AE為4x，由勾股定理得：AB2＝AH2+AE2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2，∴5x＝10，∴x＝2，∴AH＝6，故答案為：6．13．（2020秋?沈河區(qū)校級(jí)期中）四個(gè)全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD，過(guò)各較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)作垂線，圍成面積為2的小正方形EFGH．已知AM為Rt△ABM較長(zhǎng)直角邊，AM＝43EF，則正方形ABCD的面積為98．【分析】設(shè)AM＝2a．BM＝b．則正方形ABCD的面積＝4a2+b2，由題意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，由此即可解決問(wèn)題．【解析】設(shè)AM＝2a．BM＝b．則正方形ABCD的面積＝4a2+b2，由題意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，∵AM＝43EF，∴2a＝43b，∴a＝23b，∵正方形EFGH的面積為2，∴b2＝2，∴正方形ABCD的面積＝4a2+b2＝49b2＝98，故答案為：98．14．（2020?寧夏）2002年8月，在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖1），且大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b．如果將四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，那么圖2中最大的正方形的面積為27．【分析】根據(jù)題意得出a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，圖2中大正方形的面積為：（a+b）2，然后利用完全平方公式的變形求出（a+b）2即可．【解析】由題意可得在圖1中：a2+b2＝15，（b﹣a）2＝3，圖2中大正方形的面積為：（a+b）2，∵（b﹣a）2＝3，a2﹣2ab+b2＝3，∴15﹣2ab＝3，2ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝15+12＝27，故答案為：27．15．（2021?高新區(qū)一模）如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長(zhǎng)為m，小正方形的邊長(zhǎng)為n，若S1S2=32，則【分析】由S1S2=32，可得S2為大正方形面積的25．設(shè)AB為x，表示出空白部分的面積S2，即12x2×4=25m【解析】∵S1S2=∴S2設(shè)圖2中AB＝x，依題意則有：4?即4×12×x解得：x1在Rt△ABC中，AB2+CB2＝AC2，∴(5解得：n1∴nm故答案為：5516．（2020秋?金水區(qū)校級(jí)月考）如圖，用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方圖案，已知大正方形面積為10，小正方形面積為2，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個(gè)說(shuō)法：①x2+y2＝10；②xy＝2；③x-y=2；④x+2y=42．其中說(shuō)法正確的有【分析】大正方形的面積是10，則其邊長(zhǎng)是10，顯然，利用勾股定理可得①x2+y2＝10；小正方形的面積是2，則其邊長(zhǎng)是2，根據(jù)圖可發(fā)現(xiàn)y+2=x，即③x﹣y還可以得出四個(gè)三角形的面積+小正方形的面積＝大正方形的面積，即4×12xy+2＝10，化簡(jiǎn)得②xy＝其中④x+2y＝42，故成立．【解析】①大正方形的面積是10，則其邊長(zhǎng)是10，顯然，利用勾股定理可得x2+y2＝10，故選項(xiàng)①正確；③小正方形的面積是2，則其邊長(zhǎng)是2，根據(jù)圖可發(fā)現(xiàn)y+2=x，即③x﹣y=2②根據(jù)圖形可得四個(gè)三角形的面積+小正方形的面積＝大正方形的面積，即4×12xy+2＝10，化簡(jiǎn)得②xy＝4，故選項(xiàng)④x-y=2xy=4，則x+2y故答案為：①③④．17．（2021?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形ABCD，中間陰影部分是一個(gè)小正方形EFGH，這樣就組成一個(gè)“趙爽弦圖”．若AB＝10，AE＝8，則正方形EFGH的面積為4．【分析】利用勾股定理求得直角邊的較短邊，進(jìn)一步根據(jù)正方形EFGH的面積＝大正方形面積﹣4個(gè)直角三角形面積即可求得正方形EFGH的面積．【解析】直角三角形直角邊的較短邊為102正方形EFGH的面積＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．故答案為：4．18．（2019秋?石獅市期末）如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若a+b=15，ab＝2，則小正方形的面積為7【分析】觀察圖形可知，小正方形的邊長(zhǎng)＝a﹣b，根據(jù)正方形面積公式計(jì)算，再進(jìn)行變形即可求出答案．【解析】觀察圖形可知，小正方形的邊長(zhǎng)＝a﹣b，∵a+b=15，ab＝2∴小正方形的面積＝（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝15﹣8＝7．故答案為：7．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（2020秋?溧陽(yáng)市期中）勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”，在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中占有舉足輕重的地位．它是初中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)之一，也是初中學(xué)生以后解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中常常運(yùn)用到的重要知識(shí)，因此學(xué)好勾股定理非常重要．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“不僅要知其然，更要知其所以然”，所以，我們要學(xué)會(huì)勾股定理的各種證明方法．請(qǐng)你利用如圖圖形證明勾股定理：已知：如圖，四邊形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于點(diǎn)E，且△ABE≌△BCD．求證：AB2＝BE2+AE2．【分析】連接AC，根據(jù)四邊形ABCD面積的兩種不同表示形式，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)即可求解．【解析】連接AC，∵△ABE≌△BCD，∴AB＝BC，AE＝BD，BE＝CD，∠BAE＝∠CBD，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABC＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BDC=12BD?AE+12BD?CD=12AE?AE+12BD?BE又∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC=12AB?BC+12CD?DE=12AB?AB+12BE?DE∴12AE2+12BD?BE=12AB2∴AB2＝AE2+BD?BE﹣BE?DE，∴AB2＝AE2+（BD﹣DE）?BE，即AB2＝BE2+AE2．20．（2018秋?伊川縣期末）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖擺放時(shí)，可以用“面積法”來(lái)證明．將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2．【分析】連接DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，根據(jù)S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝S△ADB+S△DCB即可求解．【解答】證明：連接DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a．∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（∴12b2+12ab=12c2+1∴a2+b2＝c2．21．（2020秋?壽陽(yáng)縣期中）【背景閱讀】勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了驗(yàn)證勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．【實(shí)踐操作】（1）請(qǐng)敘述勾股定理；（2）驗(yàn)證勾股定理，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的驗(yàn)證方法中任選一種來(lái)驗(yàn)證該定理：（以下圖形均滿足驗(yàn)證勾股定理所需的條件）【探索發(fā)現(xiàn)】（1）如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的有3個(gè)；（2）如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1、S2、S3的關(guān)系并說(shuō)明理由．【分析】【實(shí)踐操作】（1）勾股定理內(nèi)容為：如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2＝c2．（2）在圖1中，根據(jù)大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和，即可得：a2+b2＝c2．在圖2中，根據(jù)大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即可得：a2+b2＝c2．在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即可得：a2+b2＝c2．【探索發(fā)現(xiàn)】（1）根據(jù)勾股定理可得三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的有3個(gè)；（2）根據(jù)半圓面積和勾股定理即可得結(jié)論：S1+S2＝S3．【解析】【實(shí)踐操作】（1）如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．）（2）證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即c2=12ab×4+（b﹣a）化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c2．在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即（a+b）2＝c2+12ab×化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c2．在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即12（a+b）（a+b）=12ab×2+化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c2．【探索發(fā)現(xiàn)】（1）三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的有3個(gè)；故答案為3；（2）結(jié)論：S1+S2＝S3．∵S1+S2=12π（a2）2+12π（b2）2+S3-∴S1+S2=12π（a2+b2﹣c2）+S∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．22．（2020秋?雁江區(qū)期末）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展，現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形解決下列問(wèn)題：（1）試說(shuō)明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是3，求（a+b）2的值．【分析】（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡(jiǎn)即可得出勾股定理的表達(dá)式．（2）根據(jù)完全平方公式的變形解答即可．【解析】（1）∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為12ab，小正方形面積為（b﹣a）2∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b（2）由圖可知：（b﹣a）2＝3，4×12ab＝13﹣3＝∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．23．（2020春?青白江區(qū)期末）如圖，在長(zhǎng)方形ACDF中，AC＝DF，點(diǎn)B在CD上，點(diǎn)E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）在探究長(zhǎng)方形ACDF的面積S時(shí)，我們可以用兩種不同的方法：一種是找到長(zhǎng)和寬，然后利用長(zhǎng)方形的面積公式，就可得到S；另一種是將長(zhǎng)方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE組成的，分別求出它們的面積，再相加也可以得到S．請(qǐng)根據(jù)以上材料，填空：方法一：S＝ab+b2．方法二，S＝S△ABC+S△BDE+SAEF+S△ABE＝ab+12b2-12a2（2）由于（1）中的兩種方法表示的都是長(zhǎng)方形ACDP的面積，因此它們應(yīng)該相等，請(qǐng)利用以上的結(jié)論求a，b，c之間的等量關(guān)系（需要化簡(jiǎn)）．（3）請(qǐng)直接運(yùn)用（2）中的結(jié)論，求當(dāng)c＝10，a＝6，S的值．【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式可求解；（2）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝4個(gè)三角形的面積和列式化簡(jiǎn)即可求解；（3）將a，c的值代入計(jì)算可求解b的值，進(jìn)而可求解S值．【解析】（1）S＝b（a+b）＝ab+b2．故答案為S＝ab+b2；