河南省普高聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三測(cè)評(píng)（六）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

普高聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三測(cè)評(píng)（六）

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共19小題。滿分：150分。考試時(shí)間：120分鐘。

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡和試卷指定位置上。

3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷

上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知非空集合人=卜,＜無(wú)＜/},則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.(0,l)B.(-oo,0)C.(f,0)(l,+oo)D.(0,+oo)

2.復(fù)數(shù)z=」的虛部為（）

1-i

A.-^iB.--C.lD.2

22

3.國(guó)內(nèi)某優(yōu)秀新能源電池制造企業(yè)在鋰電池單位能量密度技術(shù)上取得了重大突破，該制造企業(yè)內(nèi)的某車間有兩

條生產(chǎn)線，分別生產(chǎn)高能量密度鋰電池和低能量密度鋰電池，總產(chǎn)量為400個(gè)鋰電池.質(zhì)檢人員采用分層隨機(jī)

抽樣的方法隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，已知樣本中高能量密度鋰電池有35個(gè)，則估計(jì)低

能量密度鋰電池的總產(chǎn)量為（）

A.325個(gè)B.300個(gè)C.225個(gè)D.175個(gè)

4.3名同學(xué)從人工智能、密碼學(xué)與算法、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息安全四門課程中任選一門學(xué)習(xí)，則僅有計(jì)算機(jī)科學(xué)

未被選中的概率為（）

A.—B.—C.—D.—

9321124

5.已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,=.設(shè)〃：是增函數(shù)，q：g（x）是增函數(shù)，則夕是q的

)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,C.已知a=9,b=8,c=5,則△ABC的外接圓的

面積為（）

225口125小1236113

AA.-------71D.-------71C--------71D--------71

111166

7.已知函數(shù)/（x）=sin2x+〃cos2x,將/（"的圖象向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

6

1

/（X）的圖象的對(duì)稱軸可以為（)

A兀D71「兀n5兀

A.x=—D.X=—C.X=—L).X=——

126312

X24

8.已知橢圓c：下+y=1的下頂點(diǎn)為A,斜率不為。的直線/與。交于-。兩點(diǎn)，記線段班）的中點(diǎn)為

4

E,若則（）

A.點(diǎn)石在定直線y=」上B.點(diǎn)石在定直線y=」上

-32

C.點(diǎn)石在定直線y=2上D.點(diǎn)石在定直線y=!上

34

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知a,4是兩個(gè)不同平面，m,"是兩條不同直線，則下列命題為假命題的是（）

A.如果m_L〃，m±a,n//（3,那么cr_1_戶

B.如果根J_CK,n//a,那么m_L〃

C.如果o〃"，mua,那么〃?〃/?

D.如果根〃"，a//J3,那么加與a所成的角和〃與）所成的角的大小不相等

fy2

10.設(shè)F為雙曲線C:萬(wàn)一亍=1的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓心為（0,加），半徑為2的圓交C的右支于A,

B兩點(diǎn)，則（）

A.C的離心率為無(wú)B.|OA|2+|G>B|2=6

c.\OA\+\OB\?4D.|E4|+網(wǎng).2

11.定義無(wú)窮有界級(jí)數(shù)4=（九2〃eN*）,且零項(xiàng)級(jí)數(shù)為=1,則（）

k=0

A.ar=-1B.?3+1=￡ZO

C.a?=--D.a,“+i=o,neN*

830

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.tan50+tanlO0+（2—y/3tan50tanl0°=.

13.已知曲線〃"二宜"-1+1與直線丁二點(diǎn)相切，則左=.

2

14.在三棱錐A—5CD中，ABBC=BCCD=O,AD=J1AB=J1CD=A/6,則三棱錐A—5CD體積

的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知等差數(shù)列｛4｝滿足的=5,%+%=22.

（1）求｛紇｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛。屋2“｝的前?!項(xiàng)和「.

16.（15分）已知拋物線C：y2=2px（p>。）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)Af（3,26）為。上一點(diǎn).

（1）求直線的斜率；

（2）經(jīng)過焦點(diǎn)廠的直線與。交于A,B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線AB的距離為V一2，求以線段A5為直徑的

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

17.（15分）某校甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣班要進(jìn)行擴(kuò)招，經(jīng)過數(shù)學(xué)興趣班的海報(bào)宣傳，共有4名數(shù)學(xué)愛好者。，b,

C,〃報(bào)名參加（字母編號(hào)的排列是按照?qǐng)?bào)名的先后順序而定）.現(xiàn)通過一個(gè)小游戲進(jìn)行分班，規(guī)則如下：在

一個(gè)不透明的箱子中放有紅球和黑球各2個(gè)，紅球和黑球除顏色不同之外，其余大小、形狀完全相同，按報(bào)名

先后順序，先由第一名數(shù)學(xué)愛好者從箱子中不放回地摸出1個(gè)小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個(gè)放入

箱子中；接著由下一名數(shù)學(xué)愛好者從箱子中不放回地摸出1個(gè)小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個(gè)，

如此重復(fù)，直至4名數(shù)學(xué)愛好者均摸球完畢.數(shù)學(xué)愛好者若摸出紅球，則被分至甲班，否則被分至乙班.

（1）求。，b,C三名數(shù)學(xué)愛好者均被分至同一個(gè)興趣班的概率；

（2）記甲、乙兩個(gè)興趣班最終擴(kuò)招的人數(shù)分別為e,/,記X=|e—力，求石（X）.

18.（17分）設(shè)函數(shù)/（x）=sinx+siiwx—3xcosx,是否存在正整數(shù)。，使得Vxe[。,],/（x）>0?若存

在，求出。的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.（17分）在空間解析幾何中，可以定義曲面（含平面）B的方程，若曲面B和三元方程/（％,y,z）=。之

間滿足：（1）曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程/（％,y,z）=0的解；（2）以三元方程/（羽y,z）=0的

任意解％,z°）為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面S上，則稱曲面S的方程為F（x,y,z）=0,方程/（蒼y,z）=0的

x2y2z2

曲面為S.已知空間中某單葉雙曲面。的方程為7+匚---7=1A，雙曲面。可視為平面X。中某雙曲線的一

114

支繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面，已知直線/過。上一點(diǎn)。（1,1,2）,且以d=（—2,0,—4）為方向向量.

（1）指出xQy平面截曲面。所得交線是什么曲線，并說明理由；

3

(2)證明：直線/在曲面。上；

(3)若過曲面。上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面。上.設(shè)直線/'在曲面。上，且過點(diǎn)

T(0,O,2),求異面直線/與/'所成角的余弦值.

詳解詳析

2023-2024學(xué)年高三測(cè)評(píng)(六)

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

題號(hào)12345678

答案CBCBDADA

1.C【解析】因?yàn)樗约磧?chǔ)一。＞0,所以ae(T?,0)故選c.

-i_-i(l+i)11.

2.B【解析】由題意可得T^i-(l-i)(l+i)-2_21Z的虛部是-故選B.

2

3.C【解析】根據(jù)分層隨機(jī)抽樣可知低能量密度鋰電池的產(chǎn)量為400x型二三=225(個(gè)).故選C.

80

DA；3

4.B【解析】除了計(jì)算機(jī)科學(xué)外，每門課程有一名同學(xué)選擇，故概率為尸=才=/.故選B.

5.D【解析】若/(%)=%+a,貝Ug(%)=x(%+a),可知g(x)在定義域上并不是增函數(shù)，故?不是q的充分

條件；若g(x)=%3,易得g(x)是增函數(shù)，此時(shí)=在定義域上并不是增函數(shù)，故?不是q的必要條

件.綜上可知，P是4的既不充分也不必要條件.故選D.

222

萬(wàn)a+b-c5

6.A【解析】因?yàn)閍=9,b=8,c=5,所以由余弦定理可得cosC=———=-,所以

lab6

sinC=Jl-cos2c=4,設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由正弦定理可得2R=—J=二=迎叵，即

6sinC71111

丁

心皿

11

所以△ABC的外接圓面積S=兀汽2=上兀.故選A.

11

4

7.D【解析】由題意可得了（%）的圖象關(guān)于點(diǎn)z，°對(duì)稱，即對(duì)任意xeR，有+/7-X=0,取％=0,

\6）137

廠(兀、

71乎+￡=0,即〃=一瓜.故〃元）二

可得/(0)+/sin2x-V3cos2x=2sin2x——,令

、3J

"吟*+E，可得?。┑膱D象的對(duì)稱軸為.凈墨丘Z.故選D.

8.A【解析】由題意可得A（0,—l）,設(shè)3（%,%）,。（%2，%），則有十+才=1，（■+￡=1，兩式相減可

得（X%2）（石+￡）+（）（+%）=0,整理得生因?yàn)锳石，5。，石為線段

4石f4（%+%）

一+%?JX+-2?J

的中點(diǎn)，所以21二匹2--------=_1，即__戶+蒼2----------=—1，解得"，所以點(diǎn)石

%1-x2%+-4（%+%）/+X223

22

在定直線y=—上.故選A.

3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.（對(duì)“得部分分”的解釋：

有兩個(gè)正確選項(xiàng)的，選對(duì)一個(gè)得3分；有三個(gè)正確選項(xiàng)的，選對(duì)一個(gè)得2分，選對(duì)兩個(gè)得4分）

題號(hào)91011

答案ADACDBCD

9.AD【解析】對(duì)于A,可運(yùn)用長(zhǎng)方體舉反例說明其錯(cuò)誤：如圖,

不妨設(shè)A4'為直線加，CD為直線L

平面ABCD為a,平面ABCD'為（3,

顯然這些直線和平面滿足題目條件，但C尸不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,設(shè)過直線〃的某一個(gè)平面與平面a相交于直線/,貝”〃〃，

由根知機(jī)_1_/,從而機(jī)_1_〃，故B正確；

對(duì)于c,如果0〃4，mua,則〃2〃尸，故c正確；

對(duì)于D,如果根〃“，a//P，那么根與a所成的角和〃與戶所成的角相等，故D錯(cuò)誤.故選AD.

10.ACD【解析】因?yàn)閍=6=A/2,C=2,所以C的禺心率為e=、/5,故A正確；

5

JC-y-2,

設(shè)Ww，%）聯(lián)立｛2/、2消去x可得2y-9-2町+"-92=0,

[x+（y-m）=4,

則%+為=加，y%=；（加之—2），A=（―2wJ_8（加?_2）>0,解得一2<口<2.

yi+yl=（乂+%）2_2%%=2,

|OA|2+|Ofi|2=町+芯+y；+y；=4+2（y；+y；）=8,故B錯(cuò)誤；

|OA|+1OB\?^2（|（9A|2+|（9B|2）=4,當(dāng)且僅當(dāng)|。4|=|。曰=2時(shí)取等號(hào)，故C正確；

當(dāng)F為右焦點(diǎn)時(shí)，|F4|+|方固=e（石+%2）—2a=>/2^2+yf+42+￡卜2A/^

=血（也—工+在+司―2后,因?yàn)槟樎?,

所以（小4—y；++y：）=6+2d8+2y；-y：=6+2（9-（y；-1）.-6+4yf2,

當(dāng)且僅當(dāng)y；=o或2時(shí)取等號(hào)，所以照|+|冏../J6+4&-2&=如（2+&）-2及=2.

顯然當(dāng)尸為左焦點(diǎn)時(shí)，|用+|FB|>2,所以|E4|+|冏..2,故D正確.故選ACD.

_II

11.BCD【解析】由1=1,%=XC?（"..2）得

k=0

a

n~=C：“0+CM+C；〃2+C：〃3++c：%（九.2）,

&=0

所以,C：%+C；%+C>2+C：/++C：T%_1=0（九.2）,

同理，C+i%+C：+]4+41%+C：+i4++C：+；a”_]+C：+4=0（”..1）,

所以,c：+i%=-（c：+i%+c：+i%+c：+i〃2+《+1/++C：+；%_i）（"?.l）,

an=_〃+]（Q+Jo+C〃+l°l+Q+lW+Q+i/++.1）>

其中第根+1項(xiàng)為

1m1（n+l）n（n-l）（n-m+2）〃（〃一1）,一加+2）

-X〃桃二

n+1n+1Ix2x3xxmIx2x3xxm

」（〃一l）（〃一〃7+2乂〃一加+1）,a,nC"4",

Ix2x3xxmn-m+1〃n-m+1

6

—%—++L%

即可得4

n+1nn-1n-m+1n2

“0=1；

即可得選項(xiàng)BC正確，A錯(cuò)誤；由上述前9項(xiàng)的值可知，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，除外之外其余都是①

即旬中=°5-1)，所以D正確.故選BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

c0ilc"cc"c\tan60°-tan45°V3-1入公

12.273【解析】121115。=1211(60。-45。)=----------------=----產(chǎn)=2一飛3,

')l+tan60°tan4501+6

又皿5。2。。。+5。)=署寡；2=23

所以2-6—(2-73)tanlO°tan5°=tanlO°+tan5°，所以原式=2-6

13.2【解析】/'(%)=(%+l)e"T,設(shè)直線丁=丘與曲線/(x)=xex-l

整理可"-2令……則=令/Z(x)=O,

得％=—2或x=O,所以//(%)在(-00,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,0)上單調(diào)遞減，在(0,+。。)上單調(diào)遞增.因?yàn)?/p>

〃(—2)=之一1<0,/?(0)=-1<0,/z(2)=4e—1>0,所以函數(shù)無(wú)⑺在(0產(chǎn))上只有一個(gè)零點(diǎn)，又

//(l)=e°-l=O,所以方程片e』T—l=0的解為/=1,所以左=2.

14.3飛【解析】因?yàn)锳3-_BC=3C-C￡>=0,所以AB_L5C,BC-LCD,

設(shè)8C=x,點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影為“，連結(jié)HQ、HB,

則班，5C,所以即〃CD,因?yàn)?。2<鉆2+602+82,所以點(diǎn)“與。在8c同側(cè)，則四邊形BCQ”

7

為梯形，

t己A//=A(0<人,石)，

73,

則三棱錐A-BCD的體積為V=fh,

6

因?yàn)锳￡>2=AH2+D//2=負(fù)2+%2+（石—^7^丫=6,所以f=2-9-3肥,

故丫2=工*2似=Lh2d9—3方,則口=J_（37J4—/6）,

12612v7

力3

設(shè)/㈤=4（3/―⑹，則r?=（2-町,

1N乙

1

令/'(〃)=0,得必=2,即〃=3時(shí)〃力)取得最大值，所以匕/(V2)4=3-4.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為4,

?1=1,

由題意可得解得《

2a1+5d=22,d=4,

所以為=ax+（n-l）t/=4n-3.

（2）設(shè)々=a“.2"=（4.-3）2",

所以（=1x21+5x2?+9x23++（4〃—7）2"T+（4〃—3）2”,

所以2方=lx22+5x23+9X24++（4“一7）2”+（碗—3）2"，

兩式相減得，-7；,=1X21+4X22+4X23++4x2"—（4〃一3）2日,

所以V=2+4x1^-—(4〃—3)2"+i,所以4=14+(4"—7)x2叫

16.(1)將M(3,2百)代入拋物線方程可得6P=(26),解得p=2,故尸(1,0).

2y/3[T

所以從/尸=「T=

□-1

(2)由題意，直線A6的斜率存在且不為0(若直線斜率不存在，則原點(diǎn)O到直線/的距離為1,矛盾),

所以設(shè)直線A5的方程為無(wú)=即+1(mHO).

8

聯(lián)立］X：沖+L化簡(jiǎn)得$—4切—4=0,顯然八〉0,

=4工

設(shè)4（再,乂），B（x2,y2）,則%+%=4加，%+%2=m（％+%）+2=4*+2,

|AB|=（%+1）+（%+1）=4（加2+1）,

所以以線段為直徑的圓的圓心、半徑分別為（2療+1,2m），r=2（m2+l）.

721J2

因?yàn)樵c(diǎn)O到直線/的距離為k，所以2=^^==注，解得加=±1,

2Vl+m22

所以圓心、半徑分別為（3,12）,=4,

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（％—3f+（y+2）2=16或（x—3）2+（y—2）2=16.

17.（1）a,b,c三人均被分至同一個(gè)興趣班，即三人同被分至甲班或乙班，

記事件A="。被分至甲班"，事件8="。被分至甲班"，事件C="c被分至甲班”，

當(dāng)。即將摸球時(shí)，箱子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，則〃被分至甲班即。摸出紅球的概率為p（A）=；；

當(dāng)。被分至甲班，b即將摸球時(shí)，箱子中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，則3被分至甲班即方摸出紅球的概率為

尸（叫⑷=|；

當(dāng)。，b均被分至甲班，C即將摸球時(shí)，箱子中有2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，貝V被分至甲班即c摸出紅球的概率為

尸9A3）=g；

所以P（AB）=P（A）P（B|A）=L2=LP（ABC）=P（AB）P（C|AB）=-xi=—,

2555315

同理可知，數(shù)學(xué)愛好者。，b,c均被分至乙班的概率也為_L,

15

所以。，b,c三人均被分至同一個(gè)興趣班的概率為2.

15

（2）由題意，X的可能取值為4,2,0,

X=4為4名數(shù)學(xué)愛好者被分至同一班，則尸（X=4）=2x2x2x2x2=2,

X=2為4名數(shù)學(xué)愛好者中有3名均被分至同一班，其余1名被分至另一班，

設(shè)第Mk=1,2,3,4）名數(shù)學(xué)愛好者被單獨(dú)分至另一班，則

7333Q

P=P（k=1）=2x—x—x—x—=——，

117456770

9

7

所以尸(X=2)=U+E+A+《=W，

X=0為4名數(shù)學(xué)愛好者中各有2名被分至甲班和乙班,

5?

則尸(X=O)=l—尸(X=2)—尸(X=4)=—,

475?38

所以石(X)=4x——+2x—+0x—

'71051510535

18.由題意可得了'(%)=6zcosar-2cosx+3xsinx,且/'(0)=a-2,

當(dāng)。=1時(shí),<0,舍去.

當(dāng)Q=2時(shí)，/(%)=sinx+sin2x-3xcosx,故/'(x)=2cos2x-2cosx+3xsiwc,

令M%)=/'(x),貝U(x)=-4sin2x+5sinx+3xcosx=-8sinxcosx+5sinx+3xcosx

=5sinx-5sinxcosx+3xcosx-3sinxcos;v=5sinx(l-cosx)+3cosx(x-sin%),

(71

又工'對(duì)于y=x-sinx，有y'=l—cos%>0,BPy=x-sinxit0,—上單調(diào)遞增,

\2一

所以y=x—sinx>0—sinO=0,故x>sinx恒成立,

冗

所以左'(￡)>o,即左⑴=/'(%)在[o,3上單調(diào)遞增,

JT

又r(o)=a—2=0,則/(％)>0,所以/(%)在0,-上單調(diào)遞增,

I2

I兀

又/(0)=0,所以/(力>0在0,萬(wàn)上恒成立，符合題意.

/

71八兀

當(dāng)a..3時(shí)，令/=--e0,-,則”一尤0=尤0([_1)=兀，sinav=sin(7i+x),

a-11200

/(x0)=sinx0+sinat()-3X0COSAQ=sinx0+sin(71+x0)-3x0cosx0=-SXQCOSXQ,,0,舍去.

綜上，存在正整數(shù)。，使得Vxe，/(x)>0,〃的值為2.

19.(1)根據(jù)坐標(biāo)平面xQy內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征可知，坐標(biāo)平面xQy的方程為z=0,

10

xyz,

已知單葉雙曲面。的方程為7+：-丁=1,

114

當(dāng)z=0時(shí)，xOy平面截曲面C所得交線上的點(diǎn)M(X,J,0)滿足f+尸=1,

從而xOy平面截曲面。所得交線是平