湖北省新高考協(xié)作體2024屆高三統(tǒng)一模擬考試數(shù)學(xué)試題(五)（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省新高考協(xié)作體2024屆高三統(tǒng)一模擬考試數(shù)學(xué)試題(五)一、選擇題1.數(shù)據(jù)20，24，6，7，13，14的第60百分位數(shù)是（）A.6 B.7 C.13 D.14〖答案〗D〖解析〗數(shù)據(jù)從小到大排序為6，7，13，14，20，24，又，所以第60百分位數(shù)應(yīng)為第4個數(shù)14．故選：D．2.若集合．集合，則的真子集個數(shù)為（）A.3 B.4 C.31 D.32〖答案〗A〖解析〗由，即，解得，所以，由，即，解得，，所以，故的真子集個數(shù)為．故選：A．3.用斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖如圖所示，其中是的中點，且軸，軸，，那么（）A B.2 C. D.4〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示，其中，，，原平面圖形的面積為.故選：D．4.已知函數(shù)則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故選：5.已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.52 B.54 C.56 D.58〖答案〗C〖解析〗由等差數(shù)列的前項和為，可得也是等差數(shù)列，又，，所以的公差為1，所以，所以，所以.故選：C.6.橢圓的右頂點為，直線與橢圓交于A，B兩點，直線PA，PB的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可得，設(shè)，，則，又，則，，則，．故選：B.7.在平面直角坐標系中，已知圓，若正三角形一邊為圓的一條弦，則的最大值為（）A.1 B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗如圖，設(shè)，則，因為，所以，因為是正三角形，所以易知取最大值時，點與點在線段的異側(cè)，此時，，在中，由余弦定理得，當且僅當，即時，等號成立，此時有最大值為2.故選：D．8.向量，滿足，，且，不等式恒成立.函數(shù)的最小值為（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗作，，，因為不等式恒成立，則，即，從而有，故.設(shè)，，則.作點E關(guān)于直線OB的對稱點F，，則，故選：C.二、選擇題9.已知，則下列命題錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C. D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗對于A．若復(fù)數(shù)，，滿足，但這兩個虛數(shù)不能比大小，選項錯誤；對于B．若，，則有，但，B選項錯誤；對于C．設(shè)，，則所以，C選項正確；對于D．令、，則，，所以，但是，D選項錯誤．故選：ABD．10.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且的導(dǎo)函數(shù)為．若，，為奇函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.是奇函數(shù) B.關(guān)于點對稱C. D.〖答案〗AD〖解析〗對于A，由為奇函數(shù)，則，即，即得為常數(shù)，令，即得，則，故，即，則，結(jié)合，可得，故，故，即是奇函數(shù)，A正確；對于B：由為奇函數(shù)，則，則即的圖象關(guān)于點對稱，結(jié)合是R上的奇函數(shù)，故，如果關(guān)于點對稱，則，而，矛盾，故B錯誤；對于C，由為奇函數(shù)，則，故為常數(shù)，令，則，則，C錯誤；對于D:由于，故，即，故4是的一個周期．是R上的奇函數(shù)，故，，結(jié)合得，，，故，故D正確．故選：AD．11.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l與拋物線交于A、B兩點（點A在第一象限），與的等差中項為．拋物線在點A、B處的切線交于點M，過點M且垂直于y軸的直線與y軸交于點N，O為坐標原點，P為拋物線上一點，則下列說法正確的是（）A. B.的最大值為C.的最大值為 D.的最小值為16〖答案〗BCD〖解析〗顯然當直線斜率不存在時不合題意，則設(shè)直線，與聯(lián)立得．設(shè)，，則，，，．，因此，A選項錯誤．，B選項正確．,，切線，即，同理，聯(lián)立解得，故．不妨設(shè)，過點P作拋物線準線的垂線，垂足為Q，則．當直線PN與拋物線相切時，最?。c聯(lián)立，消去y得：，令，解得，則，故，C選項正確．，故，則，D選項正確．故選:BCD．三、填空題12.甲、乙兩同學(xué)玩擲股子游戲，規(guī)則如下：（1）甲、乙各拋擲質(zhì)地均勻的殿子一次，甲得到的點數(shù)為，乙得到的點數(shù)為；（2）若的值能使二項式的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，則甲勝，否則乙勝．那么甲勝的概率為______．〖答案〗〖解析〗由題意得，，記每個基本事件為，甲、乙各拋擲質(zhì)地均勻的骰子一次，共有個基本事件，其中的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，當時，共有7項，其中只有第4項的二項式系數(shù)最大，當為其他值時，均不滿足只有第4項的二項式系數(shù)最大，當時，共有，，，，5個基本事件滿足要求，所以甲勝的概率為．故〖答案〗為：13.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則______．〖答案〗〖解析〗由基本不等式，，則，又，故，即基本不等式必須取等，，，．故〖答案〗為：14.關(guān)于x的方程有實根，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)方程的實根為，則，點是直線上任意一點，．設(shè)，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而，的最小值為．故〖答案〗為：四、解答題15.函數(shù)．（1）當時，證明：；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．（1）證明：當時，，所以，令得．當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．從而，不等式得證．（2）解：令，則，．當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．又，當時，；當時，．從而當時，無零點；當或時，有一個零點；當時，有兩個零點．16.如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，平面ABC，，，E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點，平面BEF與平面ABC的交線為l．（1）證明：平面PBC；（2）直線l與圓O的交點為B，D，求三棱錐的體積；（3）點Q在直線l上，直線PQ與直線EF的夾角為，直線PQ與平面BEF的夾角為，是否存在點Q，使得？如果存在，請求出；如果不存在，請說明理由．（1）證明：∵E，F(xiàn)分別為PA，PC的中點，∴．又平面，平面，∴平面ABC．又平面BEF，平面平面，∴．平面平面．又，，平面，∴平面，從而平面；（2）解：，由（1）得，從而，從而四邊形ABCD為矩形．由于平面ABC，從而．（3）解：以為坐標原點，分別以，，的方向作為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，由于，設(shè)，則．，，設(shè)平面BEF的一個法向量，則，取由題意，，即，解得，從而符合題意的點存在，．17.若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，歐拉函數(shù)是指，對于一個正整數(shù)n，小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的正整數(shù)（包括1）的個數(shù)，記作，例如，．（1）求，，；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項和；（3）設(shè)，，數(shù)列的前項和為，證明：，（1）解：1到6中與6互質(zhì)的只有1和5，所以；1到中，被3整除余1和被3整除余2的數(shù)都與互質(zhì)，所以；1到中，所有奇數(shù)都與互質(zhì)，所以．（2）解：，從而．（3）證明：，從而，證畢．18.平面直角坐標系中，動點滿足，點P的軌跡為C，過點作直線l，與軌跡C相交于A，B兩點．（1）求軌跡C的方程；（2）求面積的取值范圍；（3）若直線l與直線交于點M，過點M作y軸垂線，垂足為N，直線NA，NB分別與x軸交于點S，T，證明：為定值．（1）解：由題意可知：動點到定點的距離比到定點的距離大，且，從而點的軌跡為雙曲線的右支．設(shè)雙曲線方程為，則，，，軌跡C的方程為：．（2）解：直線l不與y軸垂直，設(shè)其方程為，與聯(lián)立得：，，設(shè)，，則，，解得．設(shè)，則．由于在單調(diào)遞減，則，故．（3）證明：與聯(lián)立，得，．設(shè)，，由A，S，N三點共線，得，解得，同理有．，即ST的中點為，故為定值1．19.某農(nóng)戶購入一批種子，已知每粒種子發(fā)芽的概率均為0.9，總共種下n粒種子，其中發(fā)芽種子的數(shù)量為X．（1）要使的值最大，求n的值；（2）已知切比雪夫不等式：設(shè)隨機變量X的期望為，方差為，則對任意均有，切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量X的分布末知的情況下，對事件的概率作出估計．①當隨機變量X為離散型隨機變量，證明切比雪夫不等式（可以直接證明，也可以用下面的馬爾科夫不等式來證明切比雪夫不等式）；②為了至少有的把握使種子的發(fā)