江蘇省常州市高級中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末達標檢測模擬試題含解析

江蘇省常州市高級中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末達標檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量，，，且，則（）A． B． C． D．2．已知a，b，c滿足，那么下列選項一定正確的是（）A． B． C． D．3．用數(shù)學歸納法證明n+1n+2?n+n=-2A．2k+1 B．22k+1 C．2k+1k+14．已知，，則（）A． B． C． D．5．已知，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．已知，則()A．-3 B． C． D．37．在中，內角的對邊分別為，若，那么（）A． B． C． D．8．如圖是一圓錐的三視圖，正視圖和側視圖都是頂角為120°的等腰三角形，若過該圓錐頂點S的截面三角形面積的最大值為2，則該圓錐的側面積為A． B． C． D．49．已知直線平面，直線平面，下列四個命題中正確的是（）．（）（）（）（）A．（）與（） B．（）與（） C．（）與（） D．（）與（）10．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在封閉的直三棱柱內有一個表面積為的球，若，則的最大值是_______.12．把二進制數(shù)1111（2）化為十進制數(shù)是______．13．已知向量、滿足||＝2，且與的夾角等于，則||的最大值為_____．14．在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊過點，則_______；_______.15．在單位圓中，面積為1的扇形所對的圓心角的弧度數(shù)為_．16．已知向量，，且，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且，，，求角A的大?。?8．如圖，在四邊形中，.（1）若為等邊三角形，且是的中點，求.（2）若，，求.19．已知函數(shù)，數(shù)列中，若，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設數(shù)列的前項和為，求證：.20．如圖，某廣場中間有一塊綠地，扇形所在圓的圓心為，半徑為,，廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路：在上選一點，過修建與平行的小路，與平行的小路，設所修建的小路與的總長為，.（1）試將表示成的函數(shù)；（2）當取何值時，取最大值？求出的最大值.21．已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由可得,代入求解可得,則,進而利用誘導公式求解即可【詳解】由可得,即,所以,因為,所以,則,故選:C【點睛】本題考查垂直向量的應用,考查里利用誘導公式求三角函數(shù)值2、D【解析】

c＜b＜a，且ac＜1，可得c＜1且a>1．利用不等式的基本性質即可得出．【詳解】∵c＜b＜a，且ac＜1，∴c＜1且a>1，b與1的大小關系不定．∴滿足bc＞ac，ac＜ab，故選D．【點睛】本題考查了不等式的基本性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3、B【解析】

要分清起止項，以及相鄰兩項的關系，由此即可分清增加的代數(shù)式。【詳解】當n=k時，左邊=k+1當n=k+1時，左邊====k+1∴從k到k+1，左邊需要增乘的代數(shù)式為22k+1【點睛】本題主要考查學生如何理解數(shù)學歸納法中的遞推關系。4、C【解析】

由放縮法可得出，再利用特殊值法以及不等式的基本性質可判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】，，可得.取，，，則A、D選項中的不等式不成立；取，，，則B選項中的不等式不成立；且，由不等式的基本性質得，C選項中的不等式成立.故選：C.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，一般利用不等式的性質或特殊值法進行判斷，考查推理能力，屬于中等題.5、C【解析】

設與的夾角為，計算出、、的值，再利用公式結合角的取值范圍可求出的值.【詳解】設與的夾角為，則，，，另一方面，，，，因此，，，因此，，故選C.【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積計算平面向量的夾角，解題的關鍵就是計算出、、的值，考查計算能力，屬于中等題.6、C【解析】

由同角三角函數(shù)關系得到余弦、正切，再由兩角差的正切公式得到結果.【詳解】已知，則,,則故答案為C.【點睛】這個題目考查了三角函數(shù)的化簡求值，1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化；2.注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.7、B【解析】

化簡,再利用余弦定理求解即可.【詳解】.故.又,故.故選：B【點睛】本題主要考查了余弦定理求解三角形的問題,屬于基礎題.8、B【解析】

過該圓錐頂點S的截面三角形面積最大是直角三角形，根據面積為2求出圓錐的母線長，再根據正視圖求圓錐底面圓的半徑，最后根據扇形面積公式求圓錐的側面積.【詳解】過該圓錐頂點S的截面三角形面積最直角三角形，設圓錐的母線長和底面圓的半徑分別為，則，即，又，所以圓錐的側面積；故選B.【點睛】本題考查三視圖及圓錐有關計算，此題主要難點在于判斷何時截面三角形面積最大，要結合三角形的面積公式，當，即截面是等腰直角三角時面積最大.9、D【解析】

∵直線l⊥平面α，若α∥β，則直線l⊥平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)⊥m，即(1)正確；∵直線l⊥平面α，若α⊥β，則l與m可能平行、異面也可能相交，故(2)錯誤；∵直線l⊥平面α，若l∥m，則m⊥平面α，∵直線m?平面β，∴α⊥β；故(3)正確；∵直線l⊥平面α，若l⊥m，則m∥α或m?α，則α與β平行或相交，故(4)錯誤；故選D.10、A【解析】

根據,因此只需把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度．【詳解】因為，所以只需把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度即可得，選A.【點睛】本題主要考查就三角函數(shù)的變換，左加右減只針對，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據已知可得直三棱柱的內切球半徑為，代入球的表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，因為，所以,可得的內切圓的半徑為，又由，故直三棱柱的內切球半徑為，所以此時的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了直三棱柱的幾何結構特征，以及組合體的性質和球的表面積的計算，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.12、.【解析】

由二進制數(shù)的定義可將化為十進制數(shù).【詳解】由二進制數(shù)的定義可得，故答案為：.【點睛】本題考查二進制數(shù)化十進制數(shù)，考查二進制數(shù)的定義，考查計算能力，屬于基礎題.13、【解析】

在中，令，可得，可得點在半徑為的圓上，，可得，進而可得的最大值．【詳解】∵向量、滿足||＝1，且與的夾角等于，如圖在中，令，，可得可得點B在半徑為R的圓上，1R4，R＝1．則||的最大值為1R＝4【點睛】本題考查了向量的夾角、模的運算，屬于中檔題．14、【解析】

根據三角函數(shù)的定義直接求得的值，即可得答案.【詳解】∵角終邊過點，，∴，，，∴.故答案為：；.【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，考查運算求解能力，屬于基礎題.15、2【解析】試題分析：由題意可得：．考點：扇形的面積公式．16、【解析】

根據的坐標表示，即可得出，解出即可．【詳解】，，．【點睛】本題主要考查平行向量的坐標關系應用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

由正弦定理得，即得，再利用余弦定理求解.【詳解】因為在三角形ABC中，由正弦定理得．又因為，所以得，由余弦定理得．又三角形內角在．故角A為．【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18、（1）（2）【解析】

（1）先由題意，結合平面向量基本定理，用表示出，再由向量的數(shù)量積運算，即可得出結果；（2）先由向量數(shù)量積的運算，求出，再由，結合題中條件，即可得出結果.【詳解】解：（1）為等邊三角形，且，又是中點，又（2）由題意：，，，又【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運算，熟記平面向量基本定理，以及向量數(shù)量積的運算法則即可，屬于常考題型.19、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）將代入到函數(shù)表達式中，得，兩邊都倒過來，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）得出an的通項公式，然后根據不等式＜在求和時進行放縮法的應用，再根據等比數(shù)列求和公式進行計算，即可證出．【詳解】（1）由函數(shù)，在數(shù)列中，若，得：，上式兩邊都倒過來，可得：＝＝﹣2，∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣1＝1（﹣1）．∵﹣1＝1．∴數(shù)列是以1為首項，1為公比的等比數(shù)列．（2）由（1），可知：＝1n，∴an＝，n∈N*．∵當n∈N*時，不等式＜成立．∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣?＜．∴．【點睛】本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應用，根據條件推出數(shù)列的遞推公式，由遞推公式推出通項公式與放縮法的應用是解決本題的兩個關鍵點，屬于中檔題．20、（1），；（2）時，.【解析】

（1）由扇形的半徑為，在中，，則，利用正弦定理求出、，從而可得出函數(shù)；（2）利用三角恒等變換思想，可得出，，利用正弦函數(shù)的單調性與最值即可求出的最大值.【詳解】（1）由于扇形的半徑為，，在中，，由正弦定理，，同理.，；（2），.，，當，即時，.【點睛】本題考查三角函數(shù)的實際應用，考查正弦定理與三角恒等變換思想的