2025優(yōu)化設(shè)計(jì)一輪素能培優(yōu)(五) 在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中如何構(gòu)造函數(shù)

素能培優(yōu)(五)在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中如何構(gòu)造函數(shù)高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025近幾年高考數(shù)學(xué)客觀題壓軸題,多考查以導(dǎo)數(shù)為工具解決大小比較、解不等式、求參數(shù)范圍等問(wèn)題,這類(lèi)試題具有結(jié)構(gòu)獨(dú)特、綜合性強(qiáng)、技巧性高等特點(diǎn),而構(gòu)造函數(shù)是解決這類(lèi)問(wèn)題的基本方法,以下介紹在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中構(gòu)造函數(shù)的一些技巧與規(guī)律.一、具體函數(shù)的構(gòu)造根據(jù)所給代數(shù)式(等式、不等式)中數(shù)學(xué)運(yùn)算的相同點(diǎn)或者結(jié)構(gòu)形式的相同點(diǎn),構(gòu)造具體的函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的性質(zhì)從而解決問(wèn)題.A.b>c>a

B.b>a>cC.a>b>c

D.a>c>bD所以f(x)在(e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,又因?yàn)閑<3<π,所以f(e)>f(3)>f(π),即a>c>b,故選D.A.a>b>c

B.a>c>bC.b>a>c

D.c>b>aB二、抽象函數(shù)的構(gòu)造1.利用f(x)與x(xn)構(gòu)造

例2(2024·福建福州模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:xf'(x)+f(x)>0,且f(1)=2,則f(ex)>

的解集為(

)A.(0,+∞) B.(ln2,+∞)C.(1,+∞) D.(0,1)A[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](2024·廣東佛山質(zhì)檢)已知定義在(0,+∞)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足xf'(x)-f(x)<0,且f(2)=2,則f(ex)-ex>0的解集為(

)A.(-∞,ln2) B.(0,ln2)C.(ln2,+∞) D.(ln2,2)AA.(2,+∞) B.(-2,0)∪(0,2)C.(0,2)

D.(-2,0)∪(2,+∞)A解析

令g(x)=x2f(x),x∈(-∞,0)∪(0,+∞),因?yàn)閒(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)的奇函數(shù),即f(-x)=-f(x),所以g(-x)=(-x)2·f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以g(x)=x2f(x)是奇函數(shù).又因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0,所以g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2024·遼寧大連模擬)f(x)在(0,+∞)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),xf'(x)>2f(x),則下列不等式成立的是(

)A.20212f(2022)>20222f(2021)B.20212f(2022)<20222f(2021)C.2021f(2022)>2022f(2021)D.2021f(2022)<2022f(2021)A2.利用f(x)與ex(或enx)構(gòu)造

D[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4]已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對(duì)任意x∈R滿足f(x)+f'(x)<0,則下列結(jié)論正確的是(

)A.e2f(2)>e3f(3)

B.e2f(2)<e3f(3)C.e3f(2)>e2f(3)

D.e3f(2)<e2f(2)A解析

令g(x)=exf(x),則g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,因此函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3),故選A.例5(2024·安徽六安模擬)已知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),對(duì)?x∈R,有f'(x)-2f(x)>0,則不等式f(x+2023)-e2x+4042f(2)<0(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為(

)A.(-2021,+∞) B.(-2025,+∞)C.(-∞,-2021) D.(-∞,-2025)C[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5](2024·湖北武漢模擬)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)是其導(dǎo)函數(shù),若3f(x)+f'(x)>0,f(1)=1,則不等式f(x)>e3-3x的解集是(

)A.(0,+∞) B.(1,+∞)C.(-∞,0) D.(0,1)B解析

令g(x)=e3x-3·f(x),則g'(x)=3e3x-3f(x)+e3x-3f'(x)=e3x-3(3f(x)+f'(x)),因?yàn)?f(x)+f'(x)>0,所以3e3x-3·f(x)+e3x-3f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以函數(shù)g(x)=e3x-3f(x)在R上單調(diào)遞增,而f(x)>e3-3x可化為e3x-3·f(x)>1,又因?yàn)間(1)=e3-3f(1)=