2.5等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性課件蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

第2章軸對(duì)稱(chēng)圖形2.5等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的判定等邊三角形的定義及性質(zhì)等邊三角形的判定直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)看到下面三角形了嗎，它有何特點(diǎn)呢？我們今天來(lái)探討一下等腰三角形的性質(zhì).1.性質(zhì)1等腰三角形的兩底角相等(簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”).幾何語(yǔ)言：如圖2.5-1，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的性質(zhì)12.性質(zhì)2等腰三角形底邊上的高線(xiàn)、中線(xiàn)及頂角平分線(xiàn)重合(簡(jiǎn)稱(chēng)“三線(xiàn)合一”).如圖2.5-1，在△ABC中，(1)∵

AB＝AC，AD⊥BC，∴

AD平分∠BAC，BD＝DC.(2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC.(3)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC，AD⊥BC．3.對(duì)稱(chēng)性等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，頂角平分線(xiàn)(或底邊上的高線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn))所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸．特別提醒作用：是證明角相等的常用方法，應(yīng)用它證角相等時(shí)可省去三角形全等的證明，因而更簡(jiǎn)便.特別解讀(1)這里的“線(xiàn)”是一條線(xiàn)段，給出一線(xiàn)的名稱(chēng)，可以得出其他兩線(xiàn)的名稱(chēng).(2)作用：是證明線(xiàn)段相等、角相等、線(xiàn)段垂直等關(guān)系的重要方法.例1如圖2.5-2，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.解題秘方：緊扣等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)若∠BAC＝100°，求∠B、∠C的度數(shù)；解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.

(3)若BC＝3cm，求BD的長(zhǎng).特別提醒(1)在等腰三角形中，運(yùn)用“三線(xiàn)合一”時(shí)，已知其中“一線(xiàn)”，就可以得到另外“兩線(xiàn)”.根據(jù)等腰三角形的“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)可以得到等線(xiàn)段、等角以及兩條線(xiàn)段互相垂直．(2)“等邊對(duì)等角”的前提是在同一個(gè)三角形中.1.判定定理有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”)．幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定22.等腰三角形的性質(zhì)與判定的異同相同點(diǎn)：使用的前提都是“在同一個(gè)三角形中”；不同點(diǎn)：由三角形的兩邊相等，得到它們所對(duì)的角相等，是等腰三角形的性質(zhì)；由三角形的兩角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定.即等腰三角形的性質(zhì)：兩邊相等→這兩邊所對(duì)的角相等；等腰三角形的判定：兩角相等→這兩角所對(duì)的邊相等.3.拓展根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理可知，由等腰三角形的“三線(xiàn)合一”性質(zhì)的逆命題可得出等腰三角形的三個(gè)判定方法：(1)三角形中一邊上的中線(xiàn)和高線(xiàn)重合時(shí)，利用線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)定理可以判定該三角形為等腰三角形；(2)三角形中一邊上的中線(xiàn)和對(duì)角的平分線(xiàn)重合時(shí)，利用三角形全等可以判定該三角形為等腰三角形；(3)三角形中一邊上的高線(xiàn)和對(duì)角的平分線(xiàn)重合時(shí)，直接利用三角形全等可以判定該三角形為等腰三角形.特別提醒(1)“等角對(duì)等邊”不能敘述為“如果一個(gè)三角形有兩個(gè)底角相等，那么它的兩條腰相等”，因?yàn)樵谖磁卸ǔ鏊堑妊切沃?，不能用“底角”“頂角”“腰”“底邊”這些名詞.特別提醒(2)“等角對(duì)等邊”是我們以后證明兩條線(xiàn)段相等的常用方法，在證明過(guò)程中，經(jīng)常通過(guò)計(jì)算三角形各角的度數(shù)，或利用角之間的關(guān)系得到角相等，從而得到所對(duì)的邊相等.[期末·朝陽(yáng)區(qū)]如圖2.5-3，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E．求證：E為AB的中點(diǎn)．例2解題秘方：利用“等角對(duì)等邊”判定等腰三角形，只需證明三角形兩個(gè)內(nèi)角相等即可.證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE．∴∠BAD＝∠ADE．∴AE＝DE．∵AD⊥DB，∴∠ADB＝90°．∴∠EAD＋∠ABD＝90°，∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠BDE．∴BE＝DE＝AE.∴E為AB的中點(diǎn)．方法點(diǎn)撥本題包括兩個(gè)模型：(1)由“角平分線(xiàn)+平行線(xiàn)”推出“等腰三角形”，實(shí)際上由“①角平分線(xiàn)，②平行線(xiàn)，③等腰三角形”三個(gè)結(jié)論中兩個(gè)可以推出另一個(gè)成立；(2)由“直角三角形+等腰三角形”推出“斜邊中點(diǎn)”，實(shí)際上由“①直角三角形，②等腰三角形，③斜邊中點(diǎn)”三個(gè)結(jié)論中兩個(gè)可以推出另一個(gè)成立.1.定義三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形.2.性質(zhì)(1)等邊三角形的三條邊都相等；(2)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°；知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的定義及性質(zhì)3(3)等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有3條對(duì)稱(chēng)軸，分別為三邊的垂直平分線(xiàn)；(4)各邊上的高線(xiàn)、中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)的角平分線(xiàn)重合，且長(zhǎng)度相等.特別解讀等邊三角形是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質(zhì)：(1)任意兩邊都可以作為腰；(2)任意一個(gè)角都可以作為頂角；(3)任意一邊上都有“三線(xiàn)合一”.如圖2.5-4，△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，且DE⊥AC、EF⊥BC、FD⊥AB，計(jì)算△DEF各個(gè)內(nèi)角的度數(shù).例3解題秘方：緊扣等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°，求角的度數(shù).解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，F(xiàn)D⊥AB，∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°，∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，∴∠EDF＝180°－∠ADE－∠FDB＝180°－30°－90°＝60°.同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.∴△DEF各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是60°.解法提醒等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60°，為三角形的內(nèi)角直接提供了角的條件.若同時(shí)要運(yùn)用三個(gè)內(nèi)角，只需以一個(gè)角為例計(jì)算，其余可同理得到.如圖2.5-5，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上.若DE＝DB，求CE的長(zhǎng).解題秘方：利用等邊三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)將未知線(xiàn)段向已知線(xiàn)段轉(zhuǎn)化.例4

方法點(diǎn)撥等邊三角形的任何一邊上都有“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)，有時(shí)要運(yùn)用的和已知的不一致，需要通過(guò)“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)將未知線(xiàn)段向已知線(xiàn)段轉(zhuǎn)化.1.判定定理1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.幾何語(yǔ)言：如圖2.5-6，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等邊三角形.知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的判定42.判定定理2有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.幾何語(yǔ)言：如圖2.5-6，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴△ABC是等邊三角形.證明等邊三角形的思維導(dǎo)圖：三角形思路1：三邊相等思路2：三角相等等邊三角形三角形等腰三角形的判定等腰三角形有一個(gè)角等于60°等邊三角形特別解讀(1)在等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°，無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角，判定定理2都成立.(2)等邊三角形的判定方法：①若已知三邊關(guān)系，一般選用定義判定；②若已知三角關(guān)系，一般選用判定定理1判定；③若已知三角形是等腰三角形，一般選用判定定理2判定.如圖2.5-7，在等邊三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，OB、OC的垂直平分線(xiàn)分別交BC于點(diǎn)E、F，連接OE、OF.求證：△OEF是等邊三角形.例5解題秘方：利用等邊三角形的判定定理1，通過(guò)求∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得到△OEF是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵CO、BO分別平分∠ACB、∠ABC，∴∠OBE＝∠OCF＝30°.∵OB、OC的垂直平分線(xiàn)分別交BC于點(diǎn)E、F，∴OE＝BE，OF＝CF，∴∠BOE＝∠OBE＝30°，∠COF＝∠OCF＝30°.∴∠OEF＝∠BOE＋∠OBE＝60°，∠OFE＝∠COF＋∠OCF＝60°.∴∠EOF＝180°－∠OEF－∠OFE＝60°，∴△OEF是等邊三角形.教你一招(1)從角的角度證明三角形是等邊三角形的兩條思路：一是證明三角形的三個(gè)內(nèi)角相等；二是求出三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是60°.(2)在已知的等邊三角形內(nèi)部判定某個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，原等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角為60°，為求新等邊三角形的內(nèi)角度數(shù)提供了條件.如圖2.5-8，C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，△ACM和△CBN都是等邊三角形，AN、MC相交于點(diǎn)E，BM、CN相交于點(diǎn)F.求證：例6(1)AN＝MB；解題秘方：要證AN＝MB，只需證△ACN≌△MCB；

(2)△CEF是等邊三角形.解題秘方：根據(jù)已知條件，易求∠

ECF＝60°，故證明△ECF為等腰三角形即可.

知識(shí)點(diǎn)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)5(1)在直角三角形中，有斜邊上的中點(diǎn)，通?？紤]運(yùn)用這一性質(zhì)解題.(2)根據(jù)性質(zhì)可知直角三角形斜邊上的中線(xiàn)將直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形.特別提醒此性質(zhì)在填空和選擇題中可以直接應(yīng)用，在解答題中需要取斜邊上的中線(xiàn)，構(gòu)造等腰三角形證明線(xiàn)段的倍分關(guān)系和計(jì)算角的度數(shù).

特別警示應(yīng)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)是求線(xiàn)段長(zhǎng)度和證明線(xiàn)段倍分關(guān)系的重要方法.[中考·淮安]如圖2.5-11，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，若AB＝10，則DE的長(zhǎng)是()A.8

B