微專題17 空間中的五種距離問題（五大題型）（原卷版）

微專題17空間中的五種距離問題【題型歸納目錄】題型一：點(diǎn)線距題型二：異面直線的距離題型三：點(diǎn)面距題型四：線面距題型五：面面距【方法技巧與總結(jié)】空間中的距離求點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積法求解．【典型例題】題型一：點(diǎn)線距【典例1-1】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·山東濟(jì)南·期末）如圖所示為正八面體的展開圖，該幾何體的8個(gè)表面都是邊長為1的等邊三角形，在該幾何體中，P為直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2024·高二·重慶·期中）如圖在棱長為2的正方體，中E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（

）

A． B． C． D．題型二：異面直線的距離【典例2-1】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）邊長為1的正方體中，直線和之間的距離為.【典例2-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）單位正方體中，求與間的距離．【變式2-1】（2024·高二·廣西桂林·期中）是正角形所在平面外一點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，且.

(1)求證：是和的公垂線；(2)求異面直線和之間的距離.題型三：點(diǎn)面距【典例3-1】（2024·四川自貢·一模）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面分別是中點(diǎn).(1)判斷直線與平面的位置關(guān)系；(2)若與平面所成角為，求到平面的距離.【典例3-2】（2024·上海楊浦·一模）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是正方形.

(1)求證：平面平面；(2)設(shè)，若四棱錐的體積為，求點(diǎn)到平面的距離.【變式3-1】（2024·四川達(dá)州·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.題型四：線面距【典例4-1】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，，且.(1)求直三棱柱的表面積與體積；(2)求證：平面，并求出到平面的距離.【典例4-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，為菱形外一點(diǎn)，平面，，為棱的中點(diǎn).若，求到平面的距離.

【變式4-1】（2024·上?！つM預(yù)測）已知三棱錐中，平面為中點(diǎn)，過點(diǎn)分別作平行于平面的直線交于點(diǎn).

(1)求直線與平面所成的角的正切值；(2)證明：平面平面，并求直線到平面的距離.題型五：面面距【典例5-1】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在棱長為的正方體中，、、、分別為、、、的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面之間的距離．【典例5-2】（2024·高二·天津河北·期末）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求平面與平面的距離.【變式5-1】（2024·高二·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點(diǎn)，且，D、F、G分別是、、的中點(diǎn)，EF與相交于H．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求平面EGF與平面的距離．【過關(guān)測試】1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）如圖，四棱錐中，平面，，，，、分別為、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．2．（2024·高一·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面均為正方形，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為與交點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.3．（2024·高一·新疆省直轄縣級(jí)單位·期末）如圖，在正方體中，.

(1)求證：∥平面；(2)求點(diǎn)到面的距離.4．（2024·上?！と＃┰谥比庵?，，，且異面直線與所成的角等于，設(shè)；（1）求的值；（2）求直線到平面的距離.5．（2024·高二·上海楊浦·期中）已知長方體.（1）求證：平面（2）若，，