高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末押題試卷02（測試范圍：新高考全部內(nèi)容）解析版-備戰(zhàn)高二期末化學(xué)

2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末押題試卷02本套試卷根據(jù)九省聯(lián)考題型命制，題型為8+3+3+5模式考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分測試范圍：新高考全部內(nèi)容一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，【分析】由題知，再根據(jù)集合關(guān)系求解即可．【解答】解：因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查并集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．已知復(fù)數(shù)，則A． B．2 C． D．3【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的公式，即可求解．【解答】解：，則．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．3．若點(diǎn)在角的終邊上，則A． B． C．0 D．1【分析】由任意角的三角函數(shù)求出，，再由兩角和的正弦公式代入即可得出答案．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，則，，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的正弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．4．在直三棱柱中，各棱長均為2，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．【分析】作出圖形，找到球心，解三角形求出半徑，再根據(jù)球的表面積公式，即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)上下底面中心分別為，，取的中點(diǎn)，連接，，則三棱柱外接球的半徑，根據(jù)題意易知，，，三棱柱外接球的表面積為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查正三棱柱的外接球問題，屬基礎(chǔ)題．5．設(shè)兩個(gè)單位向量，的夾角為，若在上的投影向量為，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)投影向量的定義可得，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可．【解答】解：在上的投影向量為，，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．推動(dòng)小流域綜合治理提質(zhì)增效，推進(jìn)生態(tài)清潔小流域建設(shè)是助力鄉(xiāng)村振興和建設(shè)美麗中國的重要途徑之一．某鄉(xiāng)村落實(shí)該舉措后因地制宜，發(fā)展旅游業(yè)，預(yù)計(jì)2023年平均每戶將增加4000元收入，以后每年度平均每戶較上一年增長的收入是在前一年每戶增長收入的基礎(chǔ)上以的增速增長的，則該鄉(xiāng)村每年度平均每戶較上一年增加的收入開始超過12000元的年份大約是（參考數(shù)據(jù)：，，A．2033年 B．2034年 C．2035年 D．2036年【分析】設(shè)經(jīng)過年之后，每年度平均每戶收入增加元，且，解不等式可得答案．【解答】解：設(shè)經(jīng)過年之后，每年度平均每戶收入增加元，由題得，即，則，，又，則．所以所求年份大約是2035年．故選：．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．7．已知，分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且與雙曲線右支交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，△，△的內(nèi)切圓的圓心分別為，，則△面積的取值范圍是A． B． C． D．【分析】先根據(jù)切線長定理判定兩個(gè)內(nèi)切圓的橫坐標(biāo)值，再設(shè)△的內(nèi)切圓半徑為，根據(jù)圖形性質(zhì)計(jì)算得△面積的解析式，再利用函數(shù)單調(diào)性即可求得△面積的取值范圍．【解答】解：設(shè)圓與，，分別切于點(diǎn)，，，由雙曲線定義知，，，，，，，又，，即點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，軸，的橫坐標(biāo)為，同理：橫坐標(biāo)也為，平分，平分，，設(shè)△、△的內(nèi)切圓半徑分別為，，軸，，，，設(shè)直線傾斜角為，又為雙曲線右支上兩點(diǎn)，又漸近線方程為，由題意得，，，即，又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)取得最小值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．8．已知，為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等式不成立的是A． B． C． D．【分析】采用逐一驗(yàn)證的方法，通過構(gòu)造函數(shù)，，，，根據(jù)這些函數(shù)在上的單調(diào)性可得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?，為自然對?shù)的底數(shù)，對于，設(shè)，，則，在上單調(diào)遞增，故（a）（b），即，故正確；對于，設(shè)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故（a）（b），即，故，故正確；對于，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，故（a）與（b）得大小關(guān)系不確定，故錯(cuò)誤；對于，設(shè)，，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以（a）（b），即，化為，即，即，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，依題意合理構(gòu)造函數(shù)，并判斷出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9．下列說法錯(cuò)誤的是A．事件的概率（A）必滿足（A） B．事件的概率（A），則事件是必然事件 C．用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人進(jìn)行治療，結(jié)果有380人有明顯的療效，現(xiàn)有患胃潰瘍的病人服用此藥，則估計(jì)此藥有明顯的療效的可能性為 D．某獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為，則某人購買此券10張，一定有5張中獎(jiǎng)【分析】根據(jù)概率的定義和性質(zhì)逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：對于，由概率的基本性質(zhì)可知，（A），故錯(cuò)誤；對于，事件的概率（A），則事件是隨機(jī)事件，故錯(cuò)誤；對于，由題意可知，估計(jì)此藥有明顯的療效的可能性為，故正確；對于，某獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為，則某人購買此券10張，可能有5張中獎(jiǎng)，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了概率的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．圓錐內(nèi)半徑最大的球稱為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則稱該球?yàn)閳A錐的外接球．如圖，圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐的底面直徑為，則A．設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則 B．設(shè)內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則 C．設(shè)圓錐的體積為，內(nèi)切球的體積為，則 D．設(shè)，是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面截內(nèi)切球所得截面的面積為【分析】作出圓錐的軸截面，依題意可得為等邊三角形，設(shè)球心為（即為的重心），即可求出的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，即可為圓錐的外接球、內(nèi)切球的半徑，即可判斷、，由圓錐及球的體積公式判斷，所對的圓心角為（在圓上），設(shè)的中點(diǎn)為，即可求出，不妨設(shè)為上的點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用三角形相似求出，即可求出截面圓的半徑，從而判斷．【解答】解：作出圓錐的軸截面如下：因?yàn)閳A錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，所以為等邊三角形，又，所以，設(shè)球心為（即為的重心），所以，，即內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，所以，故正確；設(shè)內(nèi)切球的表面積，外接球的表面積為，則，故錯(cuò)誤；設(shè)圓錐的體積為，則，內(nèi)切球的體積，則，所以，故正確；設(shè)、是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則所對的圓心角為（在圓上），設(shè)的中點(diǎn)為，則，不妨設(shè)為上的點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，所以，即，解得，所以平面截內(nèi)切球截面圓的半徑，所以截面圓的面積為，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查圓錐的內(nèi)切球與外接球問題，屬中檔題．11．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則下列說法正確的是A． B．1849既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù) C． D．，，總存在，，使得成立【分析】利用累加法分別求出，，進(jìn)而分別利用裂項(xiàng)求和法、放縮法，逐個(gè)分析各個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，3，6，10，，易發(fā)現(xiàn)，，，，，累加得，，，顯然滿足上式，，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，4，9，16，，易發(fā)現(xiàn)，，，，，累加得，，顯然滿足上式，，對于，，，故正確；對于，令，得，，，無正整數(shù)解，即1849不是三角形數(shù)，令，，即1849是正方形數(shù)，故錯(cuò)誤；對于，，，故正確；對于，取，且，令，有，故，，總存在，，使得成立，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，考查了歸納推理，考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知甲組樣本數(shù)據(jù)，2，，，如下表所示：233466若乙組樣本數(shù)據(jù)，則乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)5，乙組樣本數(shù)據(jù)的方差．【分析】根據(jù)題意，求出乙組數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)和方差定義計(jì)算，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，乙組樣本數(shù)據(jù)如下表所示：133599則乙組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，乙組樣本數(shù)據(jù)的方差．故答案為：5；．【點(diǎn)評】本題考查樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)、方差的計(jì)算，注意平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．13．從1，2，3，4，7，9六個(gè)數(shù)中任取不相同的兩個(gè)數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可得到17個(gè)不同的對數(shù)值．【分析】分所取得兩個(gè)數(shù)中是否含有1分為兩類，再利用排列的計(jì)算公式、對數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)即可得出．【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①當(dāng)取得兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)是1時(shí)，則1只能作真數(shù)，此時(shí)，或3或4或7或9．②所取的兩個(gè)數(shù)不含有1時(shí)，即從2，3，4，7，9中任取兩個(gè)，分別作為底數(shù)與真數(shù)可有個(gè)對數(shù)，其中，，，，綜上可知：共可以得到個(gè)不同的對數(shù)值．故答案為：17．【點(diǎn)評】本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，熟練掌握對數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)、排列的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．14．已知拋物線與圓交于，兩點(diǎn)，且，直線過的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，則的最小值為．【分析】由已知可求得拋物線方程，設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立方程組可求得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式求最小值即可．【解答】解：由拋物線與圓交于，兩點(diǎn)，且，得到第一象限交點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以，則，設(shè)直線，與聯(lián)立得，設(shè)，，，，所以，，所以，由拋物線的定義，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查求拋物線的方程，考查基本不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知函數(shù)的最小正周期為，且圖象關(guān)于直線對稱．（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)增區(qū)間．【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性及對稱性即可得解；（2）先利用降冪公式及輔助角公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．【解答】解：（1）已知，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，故，又因圖象關(guān)于直線對稱，所以，，則，又，所以，所以；（2）由（1）得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了三角恒等變換，屬中檔題．16．華容道是古老的中國民間益智游戲，以其變化多端、百玩不厭的特點(diǎn)與魔方、獨(dú)立鉆石一起被國外智力專家并稱為“智力游戲界的三個(gè)不可思議”．據(jù)《資治通鑒》注釋中說“從此道可至華容也”．通過移動(dòng)各個(gè)棋子，幫助曹操從初始位置移到棋盤最下方中部，從出口逃走．不允許跨越棋子，還要設(shè)法用最少的步數(shù)把曹操移到出口．2021年12月23日，在廈門蓮坂外圖書城四樓佳希魔方，廈門市新翔小學(xué)六年級學(xué)生胡宇帆現(xiàn)場挑戰(zhàn)“最快時(shí)間解數(shù)字華容道”世界紀(jì)錄，并以4.877秒打破了“最快時(shí)間解數(shù)字華容道”世界紀(jì)錄，成為了該項(xiàng)目新的世界紀(jì)錄保持者．（1）小明一周訓(xùn)練成績?nèi)绫硭?，現(xiàn)用作為經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型，求出該回歸方程；第（天1234567用時(shí)（秒105844939352315（2）小明和小華比賽破解華容道，首局比賽小明獲得勝利的概率是0.6，在后面的比賽中，若小明前一局勝利，則他贏下后一局的概率是0.7，若小明前一局失利，則他贏下后一局比賽的概率為0.5，比賽實(shí)行“五局三勝”，求小明最終贏下比賽的概率是多少．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，參考數(shù)據(jù)：，【分析】（1）先求出，套公式求出和，得到回歸方程；（2）記小明獲勝時(shí)比賽的局?jǐn)?shù)為，則的可能取值為3，4，5，分別求出其對應(yīng)的概率，利用概率的加法公式即可求解．【解答】解：（1）由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，可得，所以，因此關(guān)于的回歸方程為：；（2）記小明獲勝時(shí)比賽的局?jǐn)?shù)為，則的可能取值為3，4，5，，，，．【點(diǎn)評】本題考查了線性回歸方程的計(jì)算以及互斥事件的概率加法計(jì)算，屬于中檔題．17．如圖，在多面體中，四邊形為平行四邊形，且，．平面，且，．點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，滿足．（1）證明：直線平面；（2）是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為？請說明理由．【分析】（1）法過點(diǎn)作的垂線，由題意可得平面，且平面，進(jìn)而可證得平面平面，再證得線面的平行；法由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積為0，可得向量垂直，再證得線面的平行；（2）由空間向量求出直線與平面的法向量的夾角的余弦值，進(jìn)而可得線面所成的角的正弦值，由題意可得的值．【解答】（1）證明：法過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，則，連接，則，且由，所以，，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，且平面，又，所以平面平面，又因?yàn)?，所以平面；法因?yàn)椋?，如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)?，，軸建立坐標(biāo)系，由題意可得，0，，，1，，，1，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，解得，因?yàn)?，，所以，，解得?，，，，所以，且平面，所以平面；（2）設(shè)平面的法向量為，則由，即，令，解得，，，所以，，，所以，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，，解得．【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證法及空間向量的方法求線面所成角的正弦值，屬于中檔題．18．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為，（1）求橢圓的方程；（2）若直線，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線與的斜率之和為1，求與之間距離的取值范圍．【分析】（1）聯(lián)立方程組，根據(jù)，利用韋達(dá)定理可求，從而得解；（2）設(shè)直線，，聯(lián)立方程組，根據(jù)，利用韋達(dá)定理可得，由兩平行直線間的距離公式，并利用導(dǎo)數(shù)求最值．【解答】解：（1）設(shè)，，，，由題意，可知，則橢圓，聯(lián)立方程組，整理可得：，顯然△，且，，因?yàn)?，即，化簡得，所以，解得，所以橢圓；（2）由直線，設(shè)直線，，設(shè)，，，，聯(lián)立方程組，整理可得：，則△，可得，①且，，又因?yàn)椋?，化簡得，則，化簡得，因?yàn)?，所以，結(jié)合①可知，與之間距離，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)，，則單調(diào)遞增，所以，又，，所以，所以．【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，平行線間的距離公式的應(yīng)用，用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)