福建省龍巖二中2025屆數學高一下期末聯考試題含解析

福建省龍巖二中2025屆數學高一下期末聯考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知是第三象限的角，若，則A． B． C． D．2．經過平面外一點和平面內一點與平面垂直的平面有()A．1個 B．2個 C．無數個 D．1個或無數個3．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．4．某實驗中學共有職工150人，其中高級職稱的職工15人，中級職稱的職工45人，一般職員90人，現采用分層抽樣抽取容量為30的樣本，則抽取的高級職稱、中級職稱、一般職員的人數分別為A．5、10、15 B．3、9、18 C．3、10、17 D．5、9、165．若直線：與直線：平行，則的值為()A．-1 B．0 C．1 D．-1或16．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，且，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．最大角為銳角的等腰三角形 D．最大角為鈍角的等腰三角形7．若一個正四棱錐的側棱和底面邊長相等，則該正四棱錐的側棱和底面所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的的值為（）A． B． C． D．9．在中，角所對的邊分別為，若.且，則的值為（）A． B．C． D．或10．某校有高一學生450人，高二學生480人.為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校高一高二學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高一學生中抽取15人，則n為（）A．15 B．16 C．30 D．31二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設，若用含的形式表示，則________.12．設函數（是常數，）.若在區(qū)間上具有單調性，且，則的最小正周期為_________.13．計算：=_______________.14．不等式的解集為________.15．若，則實數的值為_______.16．已知,，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是_____;三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某菜農有兩段總長度為米的籬笆及，現打算用它們和兩面成直角的墻、圍成一個如圖所示的四邊形菜園（假設、這兩面墻都足夠長）已知（米），，，設，四邊形的面積為.（1）將表示為的函數，并寫出自變量的取值范圍；（2）求出的最大值，并指出此時所對應的值.18．某校舉行漢字聽寫比賽，為了了解本次比賽成績情況，從得分不低于50分的試卷中隨機抽取100名學生的成績(得分均為整數，滿分100分)進行統計，請根據頻率分布表中所提供的數據，解答下列問題：組號分組頻數頻率第1組[50，60)50.05第2組[60，70)0.35第3組[70，80)30第4組[80，90)200.20第5組[90，100]100.10合計1001.00（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若從成績較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽寫比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率．19．已知函數.（1）求的最小正周期及單調遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．20．如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂平面內，已知飛機的高度為海拔，速度為，飛行員在處先看到山頂的俯角為18°30′，經過后又在處看到山頂的俯角為81°（1）求飛機在處與山頂的距離（精確到）；（2）求山頂的海拔高度（精確到）參考數據：，21．在平面直角坐標系xOy中，已知點P是直線與直線的交點.（1）求點P的坐標；（2）若直線l過點P，且與直線垂直，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

根據是第三象限的角得，利用同角三角函數的基本關系，求得的值.【詳解】因為是第三象限的角，所以，因為，所以解得：，故選D.【點睛】本題考查余弦函數在第三象限的符號及同角三角函數的基本關系，即已知值，求的值.2、D【解析】

討論平面外一點和平面內一點連線，與平面垂直和不垂直兩種情況.【詳解】（1）設平面為平面，點為平面外一點，點為平面內一點，此時，直線垂直底面，過直線的平面有無數多個與底面垂直；（2）設平面為平面，點為平面外一點，點為平面內一點，此時，直線與底面不垂直，過直線的平面，只有平面垂直底面.綜上，過平面外一點和平面內一點與平面垂直的平面有1個或無數個，故選D.【點睛】借助長方體研究空間中線、面位置關系問題，能使問題直觀化，降低問題的抽象性.3、B【解析】

∵，∴.∴，即，∴,，故選B.【考點定位】向量的坐標運算4、B【解析】試題分析：高級職稱應抽??；中級職稱應抽??；一般職員應抽?。键c：分層抽樣點評：本題主要考查分層抽樣的定義與步驟．分層抽樣：當總體是由差異明顯的幾個部分組成的，可將總體按差異分成幾個部分（層），再按各部分在總體中所占比例進行抽樣．5、C【解析】

兩直線平行表示兩直線斜率相等，寫出斜率即可算出答案．【詳解】顯然，，．所以，解得，又時兩直線重合，所以．故選C【點睛】此題考查直線平行表示直線斜率相等，屬于簡單題．6、D【解析】

先由余弦定理，結合題中條件，求出，再由，求出，進而可得出三角形的形狀.【詳解】因為，所以，，所以.又，所以，則的形狀為最大角為鈍角的等腰三角形.故選D【點睛】本題主要考查三角形的形狀的判定，熟記余弦定理即可，屬于常考題型.7、B【解析】

正四棱錐，連接底面對角線，在中，為側棱與地面所成角，通過邊的關系得到答案.【詳解】正四棱錐，連接底面對角線，，易知為等腰直角三角形.中點為，又正四棱錐知：底面即為所求角為，答案為B【點睛】本題考查了線面夾角的計算，意在考察學生的計算能力和空間想象力.8、D【解析】由題意，當輸入，則；；；，終止循環(huán)，則輸出，所以，故選D.9、D【解析】

首先根據余弦定理，得到或.再分別計算即可.【詳解】因為，所以，即：，解得：或.當時，.當時，.所以或.故選：D【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，熟記公式為解題的關鍵，屬于中檔題.10、D【解析】

根據分層抽樣的定義和性質進行求解即可．【詳解】根據分層抽樣原理，列方程如下，n450+480解得n＝1．故選：D．【點睛】本題主要考查分層抽樣的應用，根據條件建立比例關系是解決本題的關鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

兩邊取以5為底的對數，可得，化簡可得，根據對數運算即可求出結果.【詳解】因為所以兩邊取以5為底的對數，可得，即，所以，，故填.【點睛】本題主要考查了對數的運算法則，屬于中檔題.12、【解析】

由在區(qū)間上具有單調性，且知，函數的對稱中心為，由知函數的對稱軸為直線，設函數的最小正周期為，所以，，即，所以，解得，故答案為.考點：函數的對稱性、周期性，屬于中檔題.13、【解析】試題分析：考點：兩角和的正切公式點評：本題主要考查兩角和的正切公式變形的運用，抓住和角是特殊角，是解題的關鍵.14、【解析】

將三階矩陣化為普通運算，利用指數函數的性質即可求出不等式的解集.【詳解】不等式化為，整理得，，，即，，即不等式的解集為故答案為：【點睛】此題考查了其他不等式的解法，指數函數的性質，以及三階矩陣，是一道中檔題.15、【解析】

由得，代入方程即可求解.【詳解】,.,,,即，故填.【點睛】本題主要考查了反三角函數的定義及運算性質，屬于中檔題.16、【解析】

與的夾角為鈍角，即數量積小于0.【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以與的數量積小于0且不平行.且所以【點睛】本題考查兩向量的夾角為鈍角的坐標表示，一定注意數量積小于0包括平角．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），其中；（2）當時，取得最大值.【解析】

（1）在中，利用正弦定理將、用表示，然后利用三角形的面積公式可求出關于的表達式，結合實際問題求出的取值范圍；（2）利用（1）中的關于的表達式得出的最大值，并求出對應的的值.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，，則的面積為，因此，，其中；（2）由（1）知，.，，當時，即當時，四邊形的面積取得最大值.【點睛】本題考查了正弦定理、三角形的面積公式、兩角和與差的正弦公式、二倍角公式以及三角函數的基本性質，在利用三角函數進行求解時，要利用三角恒等變換思想將三角函數解析式化簡，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.18、(1)35，0.30;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）直接利用頻率和等于1求出b，用樣本容量乘以頻率求a的值；（Ⅱ）由分層抽樣方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五組的學生數，利用列舉法寫出從中任意抽取2人的所有方法種數，查出2人至少1人來自第四組的事件個數，然后利用古典概型的概率計算公式求解．試題解析：（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30（Ⅱ）因為第3、4、5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組分別為，第3組：×30＝3人，第4組：×20＝2人，第5組：×10＝1人，所以第3、4、5組應分別抽取3人、2人、1人設第3組的3位同學為A1、A2、A3，第4組的2位同學為B1、B2，第5組的1位同學為C1，則從6位同學中抽2位同學有15種可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4組被入選的有9種，所以其中第4組的2位同學至少有1位同學入選的概率為＝點睛：古典概型中基本事件數的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目.19、（1）；單調遞增區(qū)間為：；（2）最大值；最小值.【解析】

（1）先將函數化簡整理，得到，由得到最小正周期；根據正弦函數的對稱軸，即可列式，求出對稱軸；（2）先由，得到，根據正弦函數的性質，即可得出結果.【詳解】（1）因為，所以最小正周期為：；由得，即單調遞增區(qū)間是：；（2）因為，所以，因此，當即時，取最小值；當即時，取最大值；【點睛】本題主要考查正弦型三角函數的周期、對稱軸，以及給定區(qū)間的最值問題，熟記正弦函數的性質，以及輔助角公式即可，屬于?？碱}型.20、（1）14981m（2）【解析】

（1）先求出飛機在150秒內飛行的距離，然后由正弦定理可得；（2）飛機，山頂的海拔的差為，則山頂的海拔高度為．【詳解】解：（1）飛機在150秒內飛行的距離為，在中，由正弦定理，有，