遼寧省鐵嶺市六校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（教師版）

2022~2023學(xué)年下學(xué)期高二期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版選擇性必修第三冊．集合、邏輯、函數(shù)、不等式.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定求解作答.【詳解】命題“，”是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以命題“，”的否定是：，.故選：B2.已知數(shù)列，則該數(shù)列的第2024項(xiàng)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得出結(jié)果.【詳解】該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以.故選：D.3.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式可得.詳解】由知故選：B4.若公比為的等比數(shù)列的前2項(xiàng)和為10，則該等比數(shù)列的第3項(xiàng)為（）A.15 B.－15 C.45 D.－45【答案】D【解析】【分析】先設(shè)等比數(shù)列為，根據(jù)前兩項(xiàng)和求出首項(xiàng)，從而找到等比數(shù)列的第3項(xiàng).【詳解】設(shè)該等比數(shù)列為，則，所以．故選：D.5.已知函數(shù)，，則下圖對應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，借助對勾函數(shù)的單調(diào)性、取特值判斷AB；利用奇偶函數(shù)性質(zhì)判斷C；推理判斷D作答.【詳解】對于A，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意，A不是；對于B，因?yàn)椋虼耸呛瘮?shù)的零點(diǎn)，不符合題意，B不是；對于C，，顯然函數(shù)是偶函數(shù)，而函數(shù)是偶函數(shù)，因此函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，不符合題意，C不是；對于D，，因此，定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，并且是奇函數(shù)，圖象在第一、三象限，符合題意，D是.故選：D6.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)積，則“”是“是等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由求出的表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列的定義可判斷充分條件；舉特例可判斷必要條件，綜合可得結(jié)論.【詳解】若，則；當(dāng)時，.所以，對任意的，，則，此時，數(shù)列是等差數(shù)列，故“”能得出“是等差數(shù)列”；若“是等差數(shù)列”，不妨設(shè)，則，即“是等差數(shù)列”不能得出“”.所以“”是“是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.7.若存在直線，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足，則稱此直線為和的“隔離直線”.已知函數(shù)，，若和存在唯一的“隔離直線”，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，由公切線列出等量關(guān)系，求解即可.【詳解】當(dāng)與相切時，只有唯一的“隔離直線”，且“隔離直線”公切線.設(shè)切點(diǎn)為，則即所以.故選：D.8.已知數(shù)列滿足，．設(shè)，若對于任意的，．恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列，的通項(xiàng)，再求出數(shù)列的最大項(xiàng)作答.【詳解】由數(shù)列滿足，，得是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，，于是，，當(dāng)，時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，因此當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，則當(dāng)或時，，而任意的，恒成立，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及求數(shù)列最大項(xiàng)問題，探討數(shù)列的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，可以借助作差或作商的方法判斷單調(diào)性作答.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.設(shè)數(shù)列、都是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】取，，可判斷A選項(xiàng)；利用等比數(shù)列的定義可判斷BD選項(xiàng)；取可判斷C選項(xiàng).【詳解】設(shè)等比數(shù)列、的公比分別為、，其中，，對任意的，，，對于A選項(xiàng)，不妨取，，則數(shù)列、都是等比數(shù)列，但對任意的，，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A不滿足條件；對于B選項(xiàng)，，即數(shù)列為等邊數(shù)列，B滿足條件；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時，，此時，不是等比數(shù)列，C不滿足條件；對于D選項(xiàng)，，故為等比數(shù)列，D滿足條件.故選：BD.10.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用三角函數(shù)的符號法則判斷的正負(fù)，利用對數(shù)運(yùn)算法則及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較與1的大小，再比較正數(shù)與1的大小作答.【詳解】顯然，則，，，所以，A正確，B錯誤，C正確，D錯誤.故選：AC11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，為增函數(shù) B.C.當(dāng)時，的極值點(diǎn)為0 D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，對函數(shù)求導(dǎo)后判斷，對于BD，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最值，對于C，直接求解函數(shù)的極值點(diǎn)即可.【詳解】當(dāng)時，由，得，所以為增函數(shù)，所以A正確．當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的極小值點(diǎn)為0，所以C正確．當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，所以B錯誤，D正確．故選：ACD12.已知函數(shù)，的定義域均為，為偶函數(shù)，，且當(dāng)時，，則（）A.為偶函數(shù)B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.D.8是函數(shù)的一個周期【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定等式推理可得，結(jié)合為偶函數(shù)，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】依題意，，，即有，兩式相加整理得，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，B正確；由為偶函數(shù)，得，于是，有，因此函數(shù)的周期為4，8是函數(shù)的一個周期，D正確；由，得，而，因此，為偶函數(shù)，A正確；由當(dāng)時，，得，而，，，即有，，C錯誤.故選：ABD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，(1)存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.(2)存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知集合，，則________．【答案】【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合N，再利用交集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得，即，而，所以故答案為：14.若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則__________．【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】依題意可得，則，即．故答案為：15.已知函數(shù)若，則________．【答案】3【解析】【分析】利用，求得值.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則，故有，又由，則，故答案為：3.16.已知，，且，則的最小值為________．【答案】9【解析】【分析】變形給定等式，再利用均值不等式求解作答.【詳解】由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，解得，即，由，而，解得，所以當(dāng)時，取得最小值9.故答案為：9四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求以及的最小值．【答案】（1）；（2），的最小值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出公差，再求出通項(xiàng)作答.（2）由（1）結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解作答.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，于是，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.【小問2詳解】由（1）知，，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，的最小值為.18.已知函數(shù).（1）若是的極值點(diǎn)，求；（2）當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)，求，再回代函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)行驗(yàn)證；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，確定函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得.當(dāng)時，.令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故是的極小值點(diǎn).綜上，.【小問2詳解】因?yàn)椋?令，得，令，得或，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以解得.又因?yàn)椋?，故的取值范圍?19.已知函數(shù)，滿足．（1）求的值；（2）若，求的解析式與最小值．【答案】（1）11；（2），.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，取代入計(jì)算作答.（2）求出的解析式，再利用配湊法求出的解析式，并求出最小值作答.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，滿足，所以當(dāng)時，.【小問2詳解】由，得，于是，即，因此，當(dāng)時，，所以的解析式是，最小值為.20.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．（1）求；（2）解不等式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性和部分解析式即可求出，，則得到最后答案；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性函數(shù)奇偶性即可得到在上的單調(diào)性，則得到不等式，解出即可.【小問1詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，則，，則.【小問2詳解】當(dāng)時，，因?yàn)闉閱握{(diào)增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知為單調(diào)減函數(shù)，又因?yàn)闉閱握{(diào)減函數(shù)，所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以是在為單調(diào)減函數(shù)，因?yàn)?，所以，解得，所以不等式的解集?21.已知公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.（1）求的通項(xiàng)公式;（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出,再用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出即可;（2）根據(jù)（1）知,利用裂項(xiàng)相消法求出即可證明.【小問1詳解】由題意得,解得,故.【小問2詳解】因?yàn)?設(shè),所以,所以,即為定值.22.已知函數(shù)．（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）要證，由，可得，令，證明即可，然后利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性可知，即可求證.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，所以切線