2024年高中數(shù)學(xué)專題9-3重難點(diǎn)題型培優(yōu)精講用樣本估計(jì)總體教師版新人教A版必修第二冊(cè)

專題9.3用樣本估計(jì)總體1．頻率分布直方圖(1)頻率分布表與頻率分布直方圖的意義

為了探究一組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，一般先要用表格對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，或者用圖將數(shù)據(jù)直觀表示出來(lái).在初中，我們?cè)妙l數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來(lái)整理和表示這種數(shù)值型數(shù)據(jù)，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù).

有時(shí)，我們更關(guān)切各個(gè)小組的數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例的大小，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖來(lái)整理和表示數(shù)據(jù).

(2)頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟

與畫(huà)頻數(shù)分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫(huà)頻率分布直方圖.

第一步，求極差

極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.

其次步，確定組距與組數(shù)第三步，將數(shù)據(jù)分組

通常對(duì)組內(nèi)數(shù)據(jù)取左閉右開(kāi)區(qū)間，最終一組數(shù)據(jù)取閉區(qū)間.

第四步，列頻率分布表

計(jì)算各小組的頻率，作出頻率分布表.

第五步，畫(huà)頻率分布直方圖

畫(huà)圖時(shí)，以橫軸表示分組，縱軸（小長(zhǎng)方形的高度）表示.2．其他幾類常用統(tǒng)計(jì)圖——條形圖、折線圖、扇形圖條形圖折線圖扇形圖特點(diǎn)一般地，條形圖中，一條軸上顯示的是所關(guān)注的數(shù)據(jù)類型，另一條軸上對(duì)應(yīng)的是數(shù)量、個(gè)數(shù)或者比例，條形圖中每一長(zhǎng)方形都是等寬的.用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示確定的數(shù)量，用折線的起伏表示數(shù)量的增減變更.用整個(gè)圓表示總體，扇形圖中，每一個(gè)扇形的圓心角以及弧長(zhǎng)，都與這一部分表示的數(shù)據(jù)大小成正比.作用及選用情景能清楚地表示每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)量，便于相互比較大小.能清楚地看出數(shù)量增減變更的狀況及各部分?jǐn)?shù)量的多少.常用來(lái)表示隨時(shí)間變更的數(shù)據(jù)，當(dāng)然，也可以用在其他合適的情形中.可以形象地表示出各部分?jǐn)?shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中所占的比例狀況.圖例3．總體百分位數(shù)的估計(jì)(1)概念

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.(2)求解步驟

可以通過(guò)下面的步驟計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計(jì)算i=n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).4．總體集中趨勢(shì)的估計(jì)在初中的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)了解到，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫(huà)“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫(huà)了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).具體概念回顧如下：名稱概念平均數(shù)假如有n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么（x1+x2+…+xn）就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用表示，即=（x1+x2+…+xn）.中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的依次排列，處在最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)）或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)）稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)）稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).5．總體離散程度的估計(jì)(1)方差和標(biāo)準(zhǔn)差

假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則我們稱為這組數(shù)據(jù)的方差.有時(shí)為了計(jì)算方差的便利，我們還把方差寫(xiě)成的形式.

我們對(duì)方差開(kāi)平方，取它的算數(shù)平方根，稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.(2)總體（樣本）方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差①一般式：假如總體中全部個(gè)體的變量值分別為，，，，總體平均數(shù)為，則總體方差=.

②加權(quán)式：假如總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(kN)個(gè)，不妨記為，，，，其中出現(xiàn)的頻數(shù)為(i=1，2，，k)，則總體方差為=.

總體標(biāo)準(zhǔn)差：S=.(3)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的統(tǒng)計(jì)意義①標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

②在刻畫(huà)數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多接受標(biāo)準(zhǔn)差.③標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的取值范圍為[0,+).若樣本數(shù)據(jù)都相等，表明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒(méi)有離散性，則標(biāo)準(zhǔn)差為0.反之，標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本，其中的數(shù)據(jù)都相等.6．頻率分布直方圖中的統(tǒng)計(jì)參數(shù)(1)頻率分布直方圖中的“眾數(shù)”

依據(jù)眾數(shù)的意義可知，在頻率分布直方圖中最高矩形中的某個(gè)(些)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).一般用中點(diǎn)近似代替.

(2)頻率分布直方圖中的“中位數(shù)”

依據(jù)中位數(shù)的意義，在樣本中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù).因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)當(dāng)相等，由此可估計(jì)中位數(shù)的值.

(3)頻率分布直方圖中的“平均數(shù)”

平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.因?yàn)槠骄鶖?shù)可以表示為數(shù)據(jù)與它的頻率的乘積之和，所以在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.【題型1頻率分布直方圖的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需駕馭下列關(guān)系式：(1)小長(zhǎng)方形的面積=組距×=頻率；(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1；(3)=頻率，此關(guān)系式的變形為=樣本容量，樣本容量×頻率=頻數(shù).【例1】（2024春·天津?yàn)I海新·高三開(kāi)學(xué)考試）隨著若卡塔爾世界杯的舉辦，全民對(duì)足球的酷愛(ài)程度有所提高，組委會(huì)在某場(chǎng)競(jìng)賽結(jié)束后，隨機(jī)抽取了若干名球迷對(duì)足球“寵愛(ài)度”進(jìn)行調(diào)查評(píng)分，把寵愛(ài)程度較高的按年齡分成5組，其中第一組：[20,25)，其次組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組與其次組共有32人，第三組中女性球迷有4人，則第三組中男性球迷人數(shù)為（

）A．16 B．18 C．20 D．24【解題思路】由已知可求出第一組與其次組的頻率之和0.4，進(jìn)而得到樣本容量.然后依據(jù)第三小組的頻率，即可求出第三小組的人數(shù)，得出答案.【解答過(guò)程】由題意結(jié)合頻率分布直方圖可得，第一組與其次組的頻率之和為0.01+0.07×5=0.4，第三組頻率為因?yàn)榈谝唤M與其次組共有32人，所以樣本容量n=所以，第三組人數(shù)為80×0.3=24，所以第三組中男性球迷人數(shù)為故選：C.【變式1-1】（2024春·天津和平·高三開(kāi)學(xué)考試）某單位組織全體員工登錄某網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)平臺(tái)進(jìn)行學(xué)習(xí)并統(tǒng)計(jì)積分，得到頻率分布直方圖如圖所示，已知學(xué)習(xí)積分在1,1.5（單位：萬(wàn)分）的人數(shù)是60人，并且學(xué)習(xí)積分超過(guò)2萬(wàn)分的員工可獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人”稱號(hào)，則該單位可以獲得該稱號(hào)的員工人數(shù)為（

）A．15 B．16 C．30 D．32【解題思路】依據(jù)學(xué)習(xí)積分在1,1.5的頻率及人數(shù)，故可得全體員工的人數(shù)，再依據(jù)在2,2.5的頻率即可求解.【解答過(guò)程】學(xué)習(xí)積分在1,1.5的頻率為0.8×0.5=0.4，學(xué)習(xí)積分在2,2.5的頻率為因?yàn)閷W(xué)習(xí)積分在1,1.5（單位：萬(wàn)分）的人數(shù)是60人，所以全體員工的人數(shù)為600.4所以該單位可以獲得該稱號(hào)的員工人數(shù)為150×故選:A.【變式1-2】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖是一學(xué)校期末考試中某班物理成果的頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)的分組依次為40,50、50,60、60,70、70,80、80,90、90,100，若成果不低于70分的人數(shù)比成果低于70分的人數(shù)多4人，則該班的學(xué)生人數(shù)為（

）A．45 B．50 C．55 D．60【解題思路】依據(jù)頻率分布直方圖求出a的值，即得解.【解答過(guò)程】解：由題得10(0.004+由題得低于70分的頻率為10(0.004+0.02+0.022)=0.46所以不低于70分的頻率為1-設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為n，則n×所以n=50故選：B.【變式1-3】（2024春·天津·高三期末）為提倡“節(jié)能減排，低碳生活”的理念，某社區(qū)對(duì)家庭的人均月用電量狀況進(jìn)行了調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得了某社區(qū)100個(gè)家庭的人均月用電量（單位：千瓦時(shí)），將數(shù)據(jù)依據(jù)[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140),140,160分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.若該社區(qū)有3000個(gè)家庭，估計(jì)全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時(shí)的家庭數(shù)為（

A．300 B．450 C．480 D．600【解題思路】依據(jù)給定的頻率分布直方圖，求出人均月用電量低于80千瓦時(shí)的頻率即可計(jì)算作答.【解答過(guò)程】由頻率分布直方圖知，人均月用電量低于80千瓦時(shí)的頻率為(0.002+0.008)×而該社區(qū)有3000個(gè)家庭，所以全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時(shí)的家庭數(shù)約為0.2×故選：D.【題型2統(tǒng)計(jì)圖的綜合應(yīng)用問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】條形圖可以直觀地表示各個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)量，扇形圖能夠清楚地顯示各個(gè)項(xiàng)目占總體的百分比，折線圖可以清楚地看到數(shù)據(jù)變動(dòng)趨勢(shì)，解決統(tǒng)計(jì)類問(wèn)題時(shí)常需將若干種統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合，不能孤立分開(kāi).【例2】（2024春·四川成都·高三開(kāi)學(xué)考試）某保險(xiǎn)公司為客戶定制了A，B，C，D，E共5個(gè)險(xiǎn)種，并對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖：用該樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）．A．57周歲以上參保人數(shù)最少B．18～30周歲人群參?？傎M(fèi)用最少C．C險(xiǎn)種更受參保人青睞D．31周歲以上的人群約占參保人群80％【解題思路】依據(jù)扇形圖、散點(diǎn)圖、頻率圖對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【解答過(guò)程】A選項(xiàng)，57周歲以上參保人數(shù)所占比例是10%B選項(xiàng)，“18～30周歲人群參保平均費(fèi)用”比“57周歲以上人群參保平均費(fèi)用”的一半還多，而18～30周歲人群參保人數(shù)所占比例是57周歲以上參保人數(shù)所占比例的兩倍，所以57周歲以上參保人群參保總費(fèi)用最少，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，C險(xiǎn)種參保比例0.358，是最多的，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，31周歲以上的人群約占參保人群30%故選：B.【變式2-1】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）世界人口變更狀況的三幅統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加B．2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多C．1957年到2050年各洲中北美洲人口增長(zhǎng)速度最慢D．2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平【解題思路】結(jié)合圖像逐一辨析即可.【解答過(guò)程】由折線圖可以看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加，故A正確：由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故B正確：由條形統(tǒng)計(jì)圖可知2050年歐洲人口與南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正確：三幅統(tǒng)計(jì)圖并不能得到各個(gè)洲人口增長(zhǎng)速度的快慢，故C錯(cuò)誤．故選：C．【變式2-2】2024年，我國(guó)各地落實(shí)糧食生產(chǎn)責(zé)任和耕地疼惜制度，加大糧食生產(chǎn)扶持力度，支持復(fù)墾撂荒地，連續(xù)兩年實(shí)現(xiàn)增長(zhǎng).我國(guó)2024年與2024年糧食產(chǎn)量種類分布及占比統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．我國(guó)2024年的糧食總產(chǎn)量約為13390億斤B．我國(guó)2024年豆類產(chǎn)量比2024年減產(chǎn)明顯，下降了約14.2%C．我國(guó)2024年的各類糧食產(chǎn)量中，增長(zhǎng)量最大的是玉米D．我國(guó)2024年的各類糧食產(chǎn)量中，同2024年相比，所占比例下降的只有豆類【解題思路】對(duì)于A：只須要將4237+2685+5213+597+458+200即可推斷；對(duì)于B：2024年豆類產(chǎn)量比2024年削減458-393=65（億斤），下降率為【解答過(guò)程】由題得我國(guó)2024年的糧食總產(chǎn)量為4237+2685+5213+597+458+200=13390（億斤）.A正確；我國(guó)2024年豆類產(chǎn)量比2024年豆類產(chǎn)量下降了458-我國(guó)2024年類糧食產(chǎn)量中，只有豆類產(chǎn)量下降，而稻谷增長(zhǎng)了4257-4237=20（億斤），小麥增長(zhǎng)了2739-2685=54（億斤），玉米增長(zhǎng)了5451-小麥，玉米，其他所長(zhǎng)比例均是上升，薯類所占比例不變，豆類，稻谷所占比例均下降，所以D錯(cuò)誤，故選：D.【變式2-3】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某保險(xiǎn)公司推出了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn).現(xiàn)對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖：用樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．30~41周歲參保人數(shù)最多B．隨著年齡的增長(zhǎng)，人均參保費(fèi)用越來(lái)越多C．54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的8%D．定期壽險(xiǎn)最受參保人青睞【解題思路】依據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可【解答過(guò)程】由扇形圖可知，31~41周歲的參保人數(shù)最多，故選項(xiàng)A正確；由折線圖可知，隨著年齡的增長(zhǎng)人均參保費(fèi)用越來(lái)越多，故選項(xiàng)B正確；由扇形圖可知，54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的92%，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由柱狀圖可知，丁險(xiǎn)種參保比例最高，故選項(xiàng)D正確.故選：C.【題型3百分位數(shù)的求解】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟，結(jié)合具體問(wèn)題，進(jìn)行求解即可.【例3】（2024·山東臨沂·統(tǒng)考一模）某工廠隨機(jī)抽取20名工人,對(duì)他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),數(shù)據(jù)如下表,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）件數(shù)7891011人數(shù)37541A．8.5 B．9 C．9.5 D．10【解題思路】依據(jù)百分位數(shù)的求法求解即可.【解答過(guò)程】抽取的工人總數(shù)為20,20×那么第75百分位數(shù)是全部數(shù)據(jù)從小到大排序的第15項(xiàng)與第16項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù),第15項(xiàng)與第16項(xiàng)數(shù)據(jù)分別為9,10,所以第75百分位數(shù)是9+102故選:C.【變式3-1】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為10的身高樣本，數(shù)據(jù)（單位：cm）從小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若樣本數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是170，則x=（

）A．169 B．170 C．171 D．172【解題思路】依據(jù)百分位數(shù)的定義求第60百分位數(shù)，由條件列方程可得.【解答過(guò)程】因?yàn)闃颖救萘繛?0，且樣本數(shù)據(jù)從小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，又10×所以第60百分位數(shù)為169+x2，由已知169+x所以x=171故選：C.【變式3-2】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）一組數(shù)據(jù)如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，則該組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是（

）A．12 B．12.5 C．13 D．13.5【解題思路】依據(jù)百分位數(shù)的定義，干脆計(jì)算可得答案.【解答過(guò)程】依據(jù)題意得，該組數(shù)據(jù)有11個(gè)數(shù)，且已經(jīng)從小到大排列，則該組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是0.3×故選：C.【變式3-3】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）《中國(guó)居民膳食指南（2024）》數(shù)據(jù)顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)19.0%．為了解某地中學(xué)生的體重狀況，某機(jī)構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)量他們的體重（單位：千克），依據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，按[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]分成六組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．依據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計(jì)該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)是（

）A．55 B．57.25 C．58.75 D．60【解題思路】確定第75百分位數(shù)在[55,60)內(nèi)，干脆依據(jù)百分位數(shù)的概念計(jì)算得到答案.【解答過(guò)程】因?yàn)?0.01+0.03+0.08)×所以該地中學(xué)生體重的第75百分位數(shù)在[55,60)內(nèi)，設(shè)第75百分位數(shù)為m，則(m-55)故選：C.【題型4眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”、“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實(shí)際須要選擇運(yùn)用.【例4】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某企業(yè)有1000名職工，現(xiàn)依據(jù)總體的10%抽取樣本，通過(guò)分層抽樣得到如下年收入表：年收入（元）50萬(wàn)15萬(wàn)8萬(wàn)4萬(wàn)3萬(wàn)1.2萬(wàn)人數(shù)161555203某次工資上調(diào)中，只提高了最低收入，即從年收入1.2萬(wàn)元提高到2萬(wàn)元，其他職工的收入不變，則下列關(guān)于本企業(yè)職工年收入的說(shuō)法中正確的是（

）A．平均數(shù)和眾數(shù)都提高了 B．平均數(shù)和中位數(shù)都提高了C．平均數(shù)不變，中位數(shù)提高了 D．中位數(shù)和眾數(shù)不變，平均數(shù)提高了【解題思路】首先說(shuō)明平均數(shù)提高了，再說(shuō)明中位數(shù)和眾數(shù)沒(méi)有變更.【解答過(guò)程】解：由于提高了最低收入，即從年收入1.2萬(wàn)元提高到2萬(wàn)元，其他職工的收入不變，所以平均數(shù)提高了.提高最低收入后，有1人年收入50萬(wàn)，6個(gè)人年收入15萬(wàn)，15個(gè)人年收入8萬(wàn)，55個(gè)人年收入4萬(wàn)，20個(gè)人年收入3萬(wàn)，3個(gè)人年收入2萬(wàn)，所以眾數(shù)還是4萬(wàn)，中位數(shù)還是4萬(wàn)，眾數(shù)和中位數(shù)沒(méi)有變更.故選：D.【變式4-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某籃球運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰籃，共20組，每組50次，每組命中球數(shù)如下表：命中球數(shù)4647484950頻數(shù)24464則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（

）A．48，4 B．48.5，4 C．48，49 D．48.5，49【解題思路】依據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求解.【解答過(guò)程】數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)為20個(gè)，因此中位數(shù)是第10個(gè)與第11個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)，即48+492眾數(shù)為出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)，即數(shù)據(jù)49（出現(xiàn)6次），故選：D.【變式4-2】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）經(jīng)團(tuán)委統(tǒng)計(jì)，某校申請(qǐng)“志愿服務(wù)之星”的10名同學(xué)在本學(xué)期的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)）分別為26、25、23、24、29、25、32、25、24、23，記這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，上四分位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則（

）A．c<a<b B．b【解題思路】干脆算出中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)即可.【解答過(guò)程】將10個(gè)數(shù)據(jù)由小到大排列：23，23，24，24，25，25，25，26，29，32，則平均數(shù)a=上四分位數(shù)為第75百分位數(shù)，因?yàn)?0×75%25出現(xiàn)3次，最多，眾數(shù)c=25所以c<故選：A.【變式4-3】（2024·青海海東·統(tǒng)考一模）某電子廠質(zhì)檢員從A、B兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽取7件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)檢，測(cè)得該產(chǎn)品的某一質(zhì)量指數(shù)如下：A1.46,1.50,1.41,1.42,1.43,1.48,1.52；B1.46,1.51,1.46,1.43,1.49,1.41,1.53.若該產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)在1.43,1.49內(nèi)，則該產(chǎn)品質(zhì)量為優(yōu)等品，則（A．樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的優(yōu)等品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量相同B．樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的平均值相同C．樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的極差相同D．樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品和B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的這一質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)相同【解題思路】利用優(yōu)等品對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)的要求可推斷A選項(xiàng)；利用平均數(shù)的定義可推斷B選項(xiàng)；利用極差的定義可推斷C選項(xiàng)；利用中位數(shù)的定義可推斷D選項(xiàng).【解答過(guò)程】對(duì)于A選項(xiàng)，樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中，優(yōu)等品有3件，B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中，優(yōu)等品有4件，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為1.46+1.5+1.41+1.42+1.43+1.48+1.527B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)為1.46+1.51+1.46+1.43+1.49+1.41+1.537對(duì)于C選項(xiàng)，樣本中A生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的極差為1.52-B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的極差為1.53-對(duì)于D選項(xiàng)，樣本中A、B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中的質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)均為1.46，D對(duì).故選：D.【題型5方差、標(biāo)準(zhǔn)差的求解及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念和計(jì)算公式，進(jìn)行求解即可.【例5】（2024春·山西·高三階段練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個(gè)數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3．若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（

）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【解題思路】利用平均數(shù)和方差公式可求得新數(shù)據(jù)的方差.【解答過(guò)程】設(shè)甲組數(shù)據(jù)分別為x1、x2、?、x6，乙組數(shù)據(jù)分別為x7、x8甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16i=16xi=3，可得乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16i=712xi=5，可得混合后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為112方差為1==1故選：D.【變式5-1】期末考試后，高二某班50名學(xué)生物理成果的平均分為85，方差為8.2，則下列四個(gè)數(shù)中不行能是該班物理成果的是（

）A．60 B．78 C．85 D．100【解題思路】利用方差的定義、計(jì)算公式進(jìn)行推斷.【解答過(guò)程】依據(jù)題意，平均數(shù)x=85，方差s2=150i=150xi-852=8.2故選：A．【變式5-2】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)有n個(gè)樣本x1，x2，…，xn，其標(biāo)準(zhǔn)差是sx，另有n個(gè)樣本y1，y2，…，ynA．sy=3C．sy=【解題思路】依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式分別表示sx【解答過(guò)程】設(shè)樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，樣本y1，y2x=y=sxsy所以sy2=9故選：B.【變式5-3】（2024·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)料）某校實(shí)行校內(nèi)歌手大賽，5名參賽選手的得分分別是9，8.7，9.3，x，y.已知這5名參賽選手的得分的平均數(shù)為9，方差為0.1，則x-y=A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【解題思路】先由平均數(shù)和方差分別得到x+y和x2【解答過(guò)程】因?yàn)槠骄鶖?shù)為9+8.7+9.3+x+y5所以x+因?yàn)榉讲顬?9所以(x-所以x2又因?yàn)?x+y)2所以2xy所以(x-所以x-故選：D.【題型6頻率分布直方圖中集中趨勢(shì)參數(shù)的計(jì)算】【方法點(diǎn)撥】(1)平均數(shù)：用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積(即該小組的頻率)的乘積之和近似代替平均數(shù).(2)中位數(shù)：依據(jù)中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等列式求中位數(shù).(3)眾數(shù)：可以用最高小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)來(lái)近似代替眾數(shù).【例6】“天宮課堂”是為發(fā)揮中國(guó)空間站的綜合效益，推出的首個(gè)太空科普教化品牌．”天宮課堂”是結(jié)合載人飛行任務(wù)，貫穿中國(guó)空間站建立和在軌運(yùn)營(yíng)系列化推出的，將由中國(guó)航天員擔(dān)當(dāng)“太空老師”，以青少年為主要對(duì)象，實(shí)行天地協(xié)同互動(dòng)方式開(kāi)展．2024年10月12日15時(shí)40分，“天宮課堂”第三課在中國(guó)空間站開(kāi)講．學(xué)校針對(duì)這次直播課，舉辦了”天宮課堂”學(xué)問(wèn)競(jìng)賽，有100名學(xué)生代表參加了競(jìng)賽，競(jìng)賽后對(duì)這100名學(xué)生的成果（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)分為［60，70），［70，80），［80，90），［90，100]這4組，畫(huà)出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中m的值；(2)估計(jì)這100名學(xué)生競(jìng)賽成果的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；(3)若該校準(zhǔn)備對(duì)本次學(xué)問(wèn)競(jìng)賽成果較好的40%的學(xué)生進(jìn)行嘉獎(jiǎng)，試問(wèn)被嘉獎(jiǎng)的學(xué)生的分?jǐn)?shù)不低于多少？【解題思路】（1）利用頻率組距直方圖各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和為1進(jìn)行計(jì)算；（2）依據(jù)直方圖數(shù)據(jù)和平均數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算求解；（3）依據(jù)題意，從高分往低分統(tǒng)計(jì)，計(jì)算出小長(zhǎng)方形的面積之和為0.4時(shí)即可.【解答過(guò)程】（1）由圖可得(m+5（2）估計(jì)這100名學(xué)生競(jìng)賽成果的平均數(shù)x=65（3）設(shè)被嘉獎(jiǎng)的學(xué)生的分?jǐn)?shù)不低于x，因?yàn)榈谒慕M的頻率為0.03×10=0.3，第三組的頻率為所以x∈80,90，所以0.04×【變式6-1】某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書(shū)愛(ài)好，準(zhǔn)備舉辦讀書(shū)活動(dòng)，并購(gòu)買(mǎi)確定數(shù)量的書(shū)籍豐富小區(qū)圖書(shū)站.由于不同年齡段的人看不同類型的書(shū)籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)看書(shū)人員進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了40名讀書(shū)者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡（單位：歲）分成6段：20,30,30,40,(1)求在這40名讀書(shū)者中年齡分布在40,70的人數(shù)；(2)求這40名讀書(shū)者的年齡的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）.【解題思路】（1）由圖計(jì)算得年齡在40,70的頻率為（2）干脆利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出平均數(shù)，設(shè)中位數(shù)為x，得到關(guān)于x的方程，解出即可.【解答過(guò)程】（1）由頻率分布直方圖知，年齡在40,(0.020+0.030+0.025)×故這40名讀書(shū)者中年齡分布在40,70的人數(shù)為（2）這40名讀書(shū)者年齡的平均數(shù)為25×設(shè)中位數(shù)為x，則0.005×解得x=55【變式6-2】2024年依據(jù)移動(dòng)通信協(xié)會(huì)監(jiān)測(cè)，某校全體老師通訊費(fèi)用（單位：元）如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為[20，40），[40