四川省2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期強(qiáng)基班第三次月考試題含解析

2024級(jí)強(qiáng)基班高一（下）第三次學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.若，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用商關(guān)系和平方關(guān)系建立方程組可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，解得；因?yàn)椋?，所?故選：A.2.在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD確定是（）A.正方形 B.平行四邊形 C.矩形 D.菱形【答案】D【解析】【分析】由向量的運(yùn)算可得，四邊形為平行四邊形；利用，說(shuō)明四邊形對(duì)角線相互垂直，然后得到結(jié)果．【詳解】解：由,得可知，四邊形為平行四邊形；又由可知，四邊形對(duì)角線相互垂直，故四邊形為菱形．故選：D．3.若a，b為兩條異面直線，，為兩個(gè)平面，，，，則下列結(jié)論中正確的是()A.l至少與a，b中一條相交B.l至多與a，b中一條相交C.l至少與a，b中一條平行D.l必與a，b中一條相交，與另一條平行【答案】A【解析】【分析】此種類型的題可以通過(guò)舉反例推斷正誤.【詳解】因?yàn)閍，b為兩條異面直線且，，，所以a與l共面，b與l共面.若l與a、b都不相交，則a∥l，b∥l，a∥b，與a、b異面沖突，故A對(duì)；當(dāng)a、b為如圖所示的位置時(shí)，可知l與a、b都相交，故B、C、D錯(cuò).故選：A.4.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可【詳解】因?yàn)?，明顯，故，故選：A5.已知，，設(shè)，的夾角為，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)投影向量的求法求得正確答案.【詳解】在上的投影向量是：.故選：A6.已知A、B、C是直線上三個(gè)相異的點(diǎn)，平面內(nèi)的點(diǎn)O不在此直線上，若正實(shí)數(shù)x、y滿意，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】首先依據(jù)平面對(duì)量線性運(yùn)算得到，再利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)橐阎狝、B、C是直線上三個(gè)相異的點(diǎn)，平面內(nèi)的點(diǎn)O不在此直線上，所以.所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：D7.已知菱形的邊長(zhǎng)為3，，沿對(duì)角線折成一個(gè)四面體，使平面垂直平面，則經(jīng)過(guò)這個(gè)四面體全部頂點(diǎn)的球的體積為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)球心為，，則，，可得，求出，可得，即可求出球的體積．【詳解】是的中點(diǎn)，由題意可知：平面,如圖所示，設(shè)球心為，在平面中的射影為，是的中點(diǎn)，，則，,所以，球的體積為．故選：A．8.如圖，屋頂?shù)臄嗝鎴D是等腰三角形，其中，橫梁的長(zhǎng)為8米，，為了使雨水從屋頂（設(shè)屋頂頂面為光滑斜面）上盡快流下，則的值應(yīng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)物體受力分析，利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)后，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出雨水流下時(shí)間的最小值對(duì)應(yīng)的值.【詳解】設(shè)雨水的質(zhì)量為，下滑加速度為，，取的中點(diǎn)，連接.則,且.因?yàn)椋?；在直角三角形中，所以?dāng),即時(shí)等號(hào)成立，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.一組數(shù)據(jù)2，6，8，3，3，3，7，8，則（）A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5 B.這組數(shù)據(jù)的方差是C.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是8 D.這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是6【答案】AB【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，依據(jù)數(shù)據(jù)特征，逐項(xiàng)推斷即可.【詳解】解：數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，3，3，3，6，7，8，8，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A項(xiàng)正確；這組數(shù)據(jù)的方差為：，故B項(xiàng)正確；這組數(shù)據(jù)中有3個(gè)3，2個(gè)8，1個(gè)2，1個(gè)6，1個(gè)7，所以眾數(shù)為3，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是7，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.10.在等腰直角三角形中，斜邊，向量，滿意，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先由，結(jié)合等腰直角三角形，可求出對(duì)應(yīng)的模及其夾角，即可推斷A，由可推斷B；由可推斷C；由是否等于0可推斷D【詳解】由題意，等腰直角三角形，，，，又對(duì)A，，故A對(duì)；對(duì)B，，故B錯(cuò)；對(duì)C，，故C對(duì)；對(duì)D，，故D對(duì)；故選：ACD11.已知函數(shù)的部分圖像如圖，下列結(jié)論正確的有（）A.是函數(shù)的一條對(duì)稱軸B.函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)在為增函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】由圖分別計(jì)算值，從而得，代入點(diǎn)計(jì)算可得值，從而得函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一計(jì)算分析即可得答案.【詳解】由圖可知，，，得，所以，，得，因?yàn)?，所以，所以得，則，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故A正確；函數(shù)，所以函數(shù)偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，故C正確；當(dāng)時(shí)，即，得，因?yàn)?，可得的取值是，函?shù)在區(qū)間上有個(gè)零點(diǎn)，故D正確；故選：ACD12.在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，點(diǎn)M在線段PC上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），則（）A.存在點(diǎn)M使得B.四棱錐外接球的表面積為C.直線PC與直線AD所成角為D.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線BD的距離最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，D，M作截面交PB于點(diǎn)N，則四棱錐的體積是【答案】BCD【解析】【分析】取AD的中點(diǎn)G，證明平面PGC，然后由線面垂直的性質(zhì)定理推斷A，把四棱錐補(bǔ)形成一個(gè)如圖2的正方體，依據(jù)正方體的性質(zhì)推斷BC，由平面PGC，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線BD的距離最小時(shí)，從而得為PC的中點(diǎn)，N為QA的中點(diǎn)，再由體積公式計(jì)算后推斷D．【詳解】如圖1，取AD的中點(diǎn)G，連接GC，PG，BD，,則，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，平面，則．又因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面PGC．因?yàn)槠矫鍼GC，平面PGC，所以不成立，A錯(cuò)誤．因?yàn)椤鰽PD為等腰直角三角形，將四棱錐的側(cè)面APD作為底面一部分，補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體．如圖2，則四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其半徑，即四棱錐外接球的表面積為，B正確．如圖2，直線PC與直線AD所成角即為直線PC與直線BC所成角，為，C正確．如圖1，因?yàn)槠矫鍼GC，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線BD的距離最小時(shí)，由上推導(dǎo)知，，，，，，，因此M為PC的中點(diǎn)．如圖3，由M為PC的中點(diǎn)，即為中點(diǎn),平面即平面與的交點(diǎn)也即為與的交點(diǎn),可知N為QA的中點(diǎn)，故，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何體外接球問(wèn)題，（1）干脆找尋球心位置，球心都在過(guò)各面外心用與該面垂直的直線上，（2）對(duì)特別的幾何體，經(jīng)常通過(guò)補(bǔ)形（例如把棱錐）補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體，它們的外接球相同，而長(zhǎng)方體（或正方體）的對(duì)角線即為外接球的直徑，由此易得球的半徑或球心位置．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知是銳角，，則的值是_________．【答案】##【解析】【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角差的余弦公式求得正確答案.【詳解】由于是銳角，，所以，所以.故答案為：14.已知圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為，，分別為圓、圓上的點(diǎn)，若，則異面直線，所成的角為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】利用異面直線所成角的定義、勾股定理、余弦定理運(yùn)算即可得解.【詳解】解：如上圖，過(guò)點(diǎn)作圓所在平面的垂線，垂足為，即是母線，連接，∵圓所在平面，∴，，所以四邊形是平行四邊形，，與所成的角就是或其補(bǔ)角；由題意可知，，，在直角中，，在等腰中，由余弦定理可得：，∴，又因異面直線夾角的范圍是，∴與所成的角是的補(bǔ)角，即.故答案為：.15.曲柄連桿機(jī)構(gòu)的示意圖如圖所示，當(dāng)曲柄在水平位置時(shí)，連桿端點(diǎn)在的位置，當(dāng)自按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角時(shí)，和之間的距離是，若，，，則的值是_________．【答案】5【解析】【分析】依據(jù)余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題，干脆計(jì)算即可.【詳解】如下圖，在中，由余弦定理可知，另外，由圖可知，在點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，,故答案為：516.在中，有，則的最大值是_______【答案】##【解析】【分析】依據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)，結(jié)合數(shù)量積定義以及余弦定理可得，再利用余弦定理以及基本不等式即可求得答案.【詳解】在中，因?yàn)?，所以，又，，所以，又中，，則，，，所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，結(jié)合即，明顯為銳角，要使取最大值，則取最小值，此時(shí)，所以，即的最大值是．故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知向量，滿意，，．求：（1）；（2）與的夾角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)向量模的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的基本運(yùn)算可以干脆求得；（2）依據(jù)向量數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由，得，故，代入，，得，由，得【小問(wèn)2詳解】由,由于，故與的夾角為.18.如圖，在三棱錐中，平面分別是的中點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）平面．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由線面平行判定定理可得答案；（2）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得答案.【小問(wèn)1詳解】如圖所示，在中，分別為的中點(diǎn)，．又平面平面，平面；【小問(wèn)2詳解】在中，，，平面平面，又平面平面，平面．平面，在中，為的中點(diǎn)，，又平面平面，平面．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值，并寫(xiě)出當(dāng)取最小值時(shí)x的取值集合；（2）若，，求的值．【答案】（1）最小值，（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再依據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由，即可求出，再依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再依據(jù)二倍角公式求出、，最終利用兩角和的正弦公式計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：．當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．此時(shí)的取值集合為．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，又，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，，所以?0.某探討小組經(jīng)過(guò)探討發(fā)覺(jué)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，須要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)勻整分布，以事務(wù)發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事務(wù)發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏診率％時(shí)，求臨界值c和誤診率；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．【答案】（1），；（2），最小值為．【解析】【分析】（1）依據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出，再依據(jù)其次個(gè)圖求出的矩形面積即可解出；（2）依據(jù)題意確定分段點(diǎn)，即可得出的解析式，再依據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出．【小問(wèn)1詳解】依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,故，所以在區(qū)間的最小值為．21.如圖，四棱錐的底面為菱形，，，，平面，點(diǎn)在棱上.（1）證明：；（2）若三棱錐的體積為，求直線與平面所成角的余弦.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明平面可得(線面垂直得線線垂直)；（2）先由已知得點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，再通過(guò)構(gòu)造點(diǎn)到面的垂線段，結(jié)合線面角的定義作出線面角，在直角三角形中計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積，解得.因?yàn)槠矫?，，所以，即是棱的中點(diǎn).設(shè)，如圖，連接，則平面，所以，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，由（1）知，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，則為直線與平面的所成角，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，在中，，所以直線與平面所成角的余弦值為.22.已知函數(shù)的最大值為，與直線的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為.將的圖象先向右平移個(gè)單位，保持縱坐標(biāo)不變，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù).（1）求的解析式.（2）若，且方程在上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的相關(guān)學(xué)問(wèn)與