2024屆重慶市縉云教育聯(lián)盟高三第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題及答案

2024CEE-01數(shù)學(xué)重慶縉云教育聯(lián)盟2024年高考第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷考生須知：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，在試卷上作答無(wú)效；3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷共6頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1211．“a”是“2”的（）aA．充分不必要條件C．充要條件B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件2．z12i，則z的共軛復(fù)數(shù)z等于（）A．3B．3C．4D．43f(x)x，yZf(xy)f(x)f(y)2xy1，f(2)1f2nnN*（）A．4n6B．8n1C．4n22n1D．8n22n5m,n,,4．已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，則下列說法正確的是（）A．m//,mn,則nB．D．m,mn,則n//C．//,m,則m/m,,m//則431325．已知ae，，則（）beB．2xeA．a(chǎn)2babC．a(chǎn)b2ba2D．6．已知函數(shù)fxx2cosx1在區(qū)間2xcoscosx，則方程fx2,4上的所有實(shí)根之和為（）A．0B．3C．6D．12數(shù)學(xué)試卷第1頁(yè)共6頁(yè)cd4bd30，則的最大值為（7．已知a3，b1，ab0，caca4，d2）2213421331A．1B．4C．2D．33小題，每小題5分，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的，少選擇1個(gè)正確選項(xiàng)得3分，少選擇2個(gè)正確選項(xiàng)得1分，否則得0分。501xa2x258．已知12xLax，則下列說法正確的是（）5A．a(chǎn)01B．1a23a452C．a(chǎn)480D．a(chǎn)aa122135E．?5=169Oy則（）24x的焦點(diǎn)為FAB是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，為線段AB的中點(diǎn)，MA．若AB6，則M到準(zhǔn)線距離的最小值為3121252B．若OAOB，且AFBF，則M到準(zhǔn)線的距離為7C．若OAOB，且AFBF，則M到準(zhǔn)線的距離為2D．若AB過焦點(diǎn)F，AB8，C為直線AB左側(cè)拋物線上一點(diǎn)，則△???面積的最大值為42E．a(chǎn)480若OAOB，則O到直線AB距離的最大值為4xQ10fx被稱為狄利克雷函xeQRfx數(shù)，其中R為實(shí)數(shù)集，Q為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A．函數(shù)fx為偶函數(shù)B．函數(shù)fx的值域是1f1fxC．對(duì)于任意的xR，都有D．在fx圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn),B,C，使得△???為等邊三角形E．在fx圖象存在不同的三個(gè)點(diǎn),B,C，使得△???為等邊三角形三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。數(shù)學(xué)試卷第2頁(yè)共6頁(yè)11．已知Px,y為圓C：xy4x50上一點(diǎn)，則x22y的取值范圍是22.n12x12．已知二項(xiàng)式x的展開式中第二、三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于45，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為．x2y213．橢圓1上的點(diǎn)P到直線x2y20的最大距離是；距離最大時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為.16414“鱉（biēnào）”的幾何體，它指的是由四個(gè)直角三角形圍成的四面體，那么在一個(gè)長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)，所組成的四面體中“鱉臑”的個(gè)數(shù)是四、解答題：本題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（10分）.bba22cc22ab22,B,Ca,b,c.記△???的內(nèi)角(1)求A；的對(duì)邊分別為已知．2cb(2)若D為AB的中點(diǎn)，且CD13AB，求cosACB．16．（10分）92Sn1anS的前項(xiàng)和為，且S2na2n已知正項(xiàng)數(shù)列．nn4111134(1)求證：1S2S3Sndd(2)在an與an1間插入n個(gè)數(shù)，使這n2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)nnd,d,d，（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列?若存在，求出這樣的3項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．mkp數(shù)學(xué)試卷第3頁(yè)共6頁(yè)17．（15分）fxxax（為常數(shù)）.a已知函數(shù)(1)求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；2f2，求證：12(2)若存在兩個(gè)不相等的正數(shù)x，x滿足fx.121a112.(3)若fx有兩個(gè)零點(diǎn)x，x，證明：121218．（15分）A，B((0,和ABM在平面直角坐標(biāo)系的面積為Sr，S當(dāng)3時(shí)，記頂點(diǎn)M的軌跡為曲線C．r(1)求C的方程；(2)已知點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q在C上，且直線EF與PQ相交于點(diǎn)A，記EF，PQ的斜率分別為k，k．12(i)設(shè)EF的中點(diǎn)為G，PQ的中點(diǎn)為H，證明：存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)1k2時(shí)，；k43(ii)若1，當(dāng)||EF||PQ||最大時(shí)，求四邊形EPFQ的面積．k219．（15分）某工廠引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備M，為對(duì)其進(jìn)行評(píng)估，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：直徑/mm5859616263646566676869707173合計(jì)件數(shù)11356193318442121100數(shù)學(xué)試卷第4頁(yè)共6頁(yè)652.2，以頻率值作為概率的估計(jì)值.經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差yx(1)為評(píng)估設(shè)備M和原料中的該材料含量之間的相關(guān)yx關(guān)系，現(xiàn)取了8對(duì)觀測(cè)值，求與的線性回歸方程.(2)為評(píng)判設(shè)備M生產(chǎn)零件的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（P表示相應(yīng)事件的概率）；P(X)0.6826P(X)0.9544P(X)0.9974.；③①；②評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部不滿足，則等級(jí)為丁，試判斷設(shè)備M的性能等級(jí).或直徑大于2M(3)將直徑小于等于EY.的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計(jì)算其中次品總數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望??的斜率和截距的最小二乘法x,y,x,y,x,y,,x,y?bxa附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線112233nnnxynii????bx；bi1估計(jì)公式分別為，ni2nx2i18888i52i228i2478xy1849.ii②參考數(shù)據(jù)：，，，i1i1i1i120．（15分）本題分為Ⅰ、Ⅱ兩部分，考生選其中一部分作答.若多選，則按照第Ⅰ部分積分.Ⅰ.把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”．如圖，橢圓柱中，短軸長(zhǎng)23,F,F為下底面橢圓的左右焦點(diǎn)，為上4底面長(zhǎng)軸ABAB212上的動(dòng)點(diǎn)，為AB上的動(dòng)點(diǎn)，AAPBB為EMN為過底面橢圓的右焦點(diǎn)，F(xiàn)2AB重合）．點(diǎn)的下底面的一條動(dòng)弦（不與(1)求證：當(dāng)P為BB的中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)F//平面12(2)若點(diǎn)Q是下底面橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q是點(diǎn)Q在上底面的投影，且QF,QF與下底面所成的角分別為,，12tan試求出的取值范圍．(3)求三棱錐EPMN的體積的最大值．?dāng)?shù)學(xué)試卷第5頁(yè)共6頁(yè)(0)B(，D0)EF(.，，Ⅱ.如圖1，已知，C，(1)求將六邊形ABCDEF繞軸旋轉(zhuǎn)半周（等同于四邊形xx繞DECCD(2)將平面ABF繞旋轉(zhuǎn)到平面ABF，使得平面ABF平面，求異面直線AF與所成的角；(3)“”1中的線段、EF2y軸旋轉(zhuǎn)半周所得的幾何體，試求所得幾何體的體積.數(shù)學(xué)試卷第6頁(yè)共6頁(yè)2024CEE-01數(shù)學(xué)重慶縉云教育聯(lián)盟2024年高考第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1．A2．D6．C3．C7．A4．C5．A二、多項(xiàng)選擇題8．BCD9．ACDE10．ACE三、填空題217,1111．12．222,213．1014．24四、解答題15．解：（1）由余弦定理形式b2c2a2bccosA和a2c2b2accosB，2bab2cc2ab2bccosAbcosA因此．2222accosBacosBb2cca22ab2bbcosAacosAcosB，即，又2cba222cbacosB2cbasinAcosAbc得：，由正弦定理sinAsinBsinC2cb2sinCsinBcosB整理得：sinAcosB2sinCcosAcosAsinB，sin(AB)sin(πC)sinC2sinCcosA．1πA(0,π)A，sinC0，A，．23c（2）由CD13AB，得CDc，得CD．6數(shù)學(xué)答案第1頁(yè)共10頁(yè)π在△???中，由余弦定理得CD2AD2AC22ADACcos，3111214121336DCD為AB的中點(diǎn)，2c2b22cbc2b2bcc2，42(cb)(2cb)00，（其中cb0），2cb．即2c由正弦定理得2sinACB3sinBBπ(AACB)2bcb2，π3323322sinACB3sin(AACB)3sinACBsinACBcosACB，即sinACB33cosACB．sin2ACBcos2ACB28cos2ACB1，17由sinACB33cosACB，可得cosACB0；cos2ACB，cosACB．281416．解：993a0n2n2Sn12nSn22n1（1）因?yàn)椋琒a，所以a即Snan，①4423當(dāng)n2時(shí)，S1an1②n123233②①得：ananan1即aa，當(dāng)n1時(shí)，S11a1，所以a21，nn1223為公比的等比數(shù)列，a是以為首項(xiàng)，2q所以na1qn213n111,n2所以Sn13n1，又因?yàn)椋琒n312n1n1q131123所以當(dāng)n1時(shí)，；141111n1111112112311121331341134當(dāng)n2時(shí)，，綜上所323n124n-11S2S3Sn311113述：.1S2S3Sn4a2n1，an123nn2d，，由題意知：an1an（2）因?yàn)閚n4n1n1所以dnd中是否存在3項(xiàng)d,d,d，，pmkpnmk24k14m143p12ddmdp，即kk1m1p12mp232k3化簡(jiǎn)得：，2mpk1數(shù)學(xué)答案第2頁(yè)共10頁(yè)mp2k又因?yàn)閙，k，p成等差數(shù)列，所以，p2m所以k12m1p1即mpk2，又mp2kmp，所以22mpk0，所以，這與題設(shè)矛盾.即mpd3d,d,dp，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.mkp所以在數(shù)列中不存在項(xiàng)nmk17．解：，得函數(shù)的定義域?yàn)椋?）由又fxfxxax，11axa，xxfx在當(dāng)a0時(shí)，fx0恒成立，所以上單調(diào)遞增；1ax11ax1當(dāng)a0時(shí)，令fx0，得0x；令fx0x，得；xaxa11afx，單調(diào)遞增區(qū)間為,所以，的單調(diào)遞減區(qū)間為a；12x21xaxxax1（2）由fxxax，得，1122a21x211x22x211x2故欲證12，只需證：，即證1，alnx2ln122a2212x211xx12x21x1xxx>0x0xxt又，，，不妨設(shè)，，等價(jià)于2，令121221212112t1t1（t1），等價(jià)于gtt0（t1），214t1gt2gt在g10單調(diào)遞增，而，0，所以tt12tt12t1t1所以，當(dāng)t1時(shí)，gtt0恒成立.2121122xx所以，所以.212afx0（3）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x，x，所以2110，2ax2，1xxx21ax，21不妨設(shè)，122x111a2,，即，要證：21ln1lnx2數(shù)學(xué)答案第3頁(yè)共10頁(yè)11112a2a需證：1ax2121x221x21221212只需證：，只需證：，211x2x22122121只需證：，只需證：，21x212x2121112tt1tt，令令，只需證：11t21112mttt，mt10，t2t2t2tt11tmtmtm10所以故在上單調(diào)遞減，所以，即，2t112.12ababababba也可由對(duì)數(shù)均值不等式ab（ab0），即，111at（t1），則2lntt0tt令，即，bt2t112.所以1218．解：12(|AB||MA||MB|)rr，易知|MA||MB4|AB|（1）由題意得，由橢圓定義可知，動(dòng)點(diǎn)M在以A，B為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，y2x21(x0)．又M不能在直線AB上，∴C的方程為：43（2）（2）(i)（法一）設(shè)E(x,y)F(x,y)G(x,y)，，，011220y1x1易知直線EF的方程為，22yx161，得24)x26kx90，∴xx，聯(lián)立43112124y1x11x221414xykx1，即G(,)，∴，0124010124124k421k249kk16H(,)OGOH12同理可得，，∴，k224k224(3124)(3k24)2169欲使，則OGOH0，即9kk290，∴第4頁(yè)，1數(shù)學(xué)答案共10頁(yè)1616∴存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)kk時(shí)，．9129E(x,y)F(x,y)G(x,y)，0（法二）設(shè)，，11220kG易知EF的斜率不為零，否則與A重合，1xPQPQx軸，這與PQ過A矛盾，欲使，則H將在軸上，又H為的中點(diǎn)，則214213yx111y1x21x21y4k01k0222故，同理有，則，可得，224x2233y1y21x221y22yyy21y21x2k1易知0=∴1kOG，y0=，且kOG021，，x2011x224344kkOH，即，同理可得，，OG1k24416欲使，則OGOH1，∴()()1，∴1k2，1k291616∴存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)kk時(shí)，．9129619(ii)由(i)易知1x2，且xx12，124k224361236(3124)4∴|EF112(xx)24xx1k214，121212414244即|EF4，同理可得，|PQ4，124k2241k2434434，∴||EF||PQ||=||=|44k2|t0，∵，記k22124k2223k224347t771∴||EF||PQ|||t3t4(4tt4)12122257，12t25t4當(dāng)且僅當(dāng)t1，即k12時(shí)取等，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)此時(shí)k1k，，213411723且直線EF和PQ的夾角為，則tan，不難求得sin，41011342474257此時(shí)，易知|PQ4，且|EF4，k22412411224252302∴四邊形EPFQ的面積為|PQ||EF|sin．2771049數(shù)學(xué)答案第5頁(yè)共10頁(yè)19．解：885282288i52y228ix，y，（1），，i1i1852228xy8xy18498ii367140228367523209?88?bi1?ybx，，2522881408280i8x247888以與的線性回歸方程為?yxx；14062.867.260.669.4（2），，，，58.471.6，，8094P(62.8X67.2)0.80.68260.940.9544，，P(60.6X69.4)10010098P(58.4X71.6)0.980.9974，100設(shè)備M的性能等級(jí)為丙級(jí).的零件共有4件，（3）樣本中直徑小于等于的共有2件，直徑大于所以樣本中次品共6件，可估計(jì)設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06.由題意可知從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，610063其中次品數(shù)設(shè)為Y1，則，于是EY；Y~B21110025從樣本中隨意抽取2件零件其次品數(shù)設(shè)為Y2，由題意可知Y2的分布列為：Y2P012C2942100C16CC9421C262CC100100數(shù)學(xué)答案第6頁(yè)共10頁(yè)C2942100C16CC194C263E2120.故C2C2100251006則次品總數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望EY)EY2EYEY2.112520.Ⅰ.解：OFOFOF1，2'（1）由題設(shè)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)|AB||AB|4，短軸長(zhǎng)23，則12OB,OB為矩形，連接OB，ABBA所以F,F分別是中點(diǎn)，而柱體中22由BF//OF,|BF||OF|1，故四邊形FOBF為平行四邊形，則，OB//FF21211212當(dāng)P為BB的中點(diǎn)時(shí)，則2FFPMN2//OB，故PF//FF，212面PMN，面//，故12平面PMN.12|QFm,|QFnmn4|QQ|4，（2）由題設(shè)，令，則，又12tan1tantantan4(mn)mn16mn161644所以tan，tan，則)，mn16(m2)41613))[,所以，根據(jù)橢圓性質(zhì)知1m3，故].2123（3）數(shù)學(xué)答案第7頁(yè)共10頁(yè)VEPMNMPEFNPEFEPMN，要使三棱錐由的體積最大，22只需△2面積和M,NPEF到面距離之和都最大，2S2S2EBSPBFSPEBEBa,PBba,b[0,4]且PB4b，，令，則，212121b(a所以S24a)1ba(4b)222顯然ab4時(shí)，有最大S8；2y2x2B(0,2)1，構(gòu)建如上圖直角坐標(biāo)系且MN:ytx1，橢圓方程為43設(shè)，聯(lián)立橢圓得t24)x2tx90，且144(t0，2t9所以xMxN，xx，而|xMx|(xMx)24xx，MN24NNMNt24tl12|xx12t21所以|xx，令lt211，則MNl211，lMNt24l1124由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知yl在)上遞增，故|xx|MNmax3；l1綜上，EPMNmax838.3Ⅱ.解：△△EDCx（1）ABF和繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體可以得到兩個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，體積14V2π122π；之和為133正方形FECB繞軸旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為一個(gè)底面半徑為12xVπ122π.2210所以，總的體積VV12π.3ODBF.，則（2）如圖3，取BF中點(diǎn)為O，連接OA,ODF，BF中點(diǎn)為O因?yàn)锳BOBF.，所以DECDECBF平面，又平面ABF平面，平面所以，AO平面DEC，即AO平面BCDEF.以點(diǎn)O為