高中數(shù)學(xué) 概率統(tǒng)計(jì)

高三數(shù)學(xué)百所名校好題分項(xiàng)解析匯編之衡水中學(xué)專版（2020版）

專題09概率統(tǒng)計(jì)

一、選擇題

1.[2020屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期五調(diào)考試】

現(xiàn)有四名高三學(xué)生準(zhǔn)備高考后到長三角城市群（包括：上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市,

簡稱“三省一市”）旅游，假設(shè)每名學(xué)生均從上海市、江蘇省、浙江省、安徽省這四個(gè)地方中隨機(jī)選取一個(gè)去

旅游，則恰有一個(gè)地方未被選中的概率為（）

279817

A.—B.—C.D.—

641625616

【答案】B

【解析】四名學(xué)生從四個(gè)地方任選一個(gè)共有4x4x4x4=256種選法，

恰有一個(gè)地方未被選中，即有兩位學(xué)生選J'同一個(gè)地方，另外兩名學(xué)生各去一個(gè)地方，

考慮先分堆在排序共有C；x^=6x4x3x2=144種,

所以恰有一個(gè)地方未被選中的概率為1罷44=29.

25616

故選：B

2.【河北省衡水中學(xué)2018屆高::畢業(yè)班模擬演練一】

如圖的折線圖是某公司2017年1月至12月份的收入與支出數(shù)據(jù).若從這12個(gè)月份中任意選3個(gè)月的數(shù)據(jù)進(jìn)

行分析，則這3個(gè)月中至少有一個(gè)月利潤（利潤=收入-支出）不低于40萬的概率為（）

2202205555

【答案】D

C934

【解析】由圖知,7月,8月,11月的利潤不低于40萬元,故所求概率為P=1——=一，故選D.

C355

v12

3.【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測評(píng)數(shù)學(xué)（理）試題】

如圖所示，分別以正方形ABCD兩鄰邊AB、AD為直徑向正方形內(nèi)做兩個(gè)半圓，交于點(diǎn)O.若向正方形內(nèi)

投擲一顆質(zhì)地均勻的小球（小球落到每點(diǎn)的可能性均相同），則該球落在陰影部分的概率為

n+26-n

C.D.

88

【答案】C

>/n1\n

【解析】法一：設(shè)正方形的邊長為2.則這兩個(gè)半圓的并集所在區(qū)域的面積為K12_2X_一=-+1,所以該

U212

n

—+1

質(zhì)點(diǎn)落入這兩個(gè)半圓的并集所在區(qū)城內(nèi)的概率為2n+2.故選C.

4-8

法二：設(shè)正方形的邊長為2.過。作OF垂直于A8,0E垂直于AD則這兩個(gè)半圓的并集所在區(qū)域的面積為

n

）1071—+1

l2+2x-nxl2=l+-,所以該質(zhì)點(diǎn)落入這兩個(gè)半圓的并集所在區(qū)域的概率為2n+2.故選C.

42----=----

48

4.【河北省衡水中學(xué)2018—2019學(xué)年高三年級(jí)上學(xué)期四調(diào)考試數(shù)學(xué)（理）試題】

如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著水平面的線條爬行到點(diǎn)C,再由點(diǎn)C沿著置于水平面的長方體的棱爬行至頂點(diǎn)

B,則它可以爬行的不同的最短路徑有（）條

【答案】B

【解析】

試題分析：螞蟻從A到C需要走五段路，其中三縱二豎，共有C；=10條路徑，從C到B共有3x2=6條路徑，根

據(jù)分步計(jì)數(shù)乘法原理可知，螞蟻從A5IJBUJ■以爬行的不同的最短路徑有10x6=60條，故選B.

5.【河北省衡水中學(xué)2018-2019學(xué)年高三年級(jí)上學(xué)期四調(diào)考試數(shù)學(xué)（理）試題】

某縣教育局招聘了8名小學(xué)教師，其中3名語文教師，3名數(shù)學(xué)教師，2名全科教師，需要分配到AB兩個(gè)學(xué)

校任教，其中每個(gè)學(xué)校都需要2名語文教師和2名數(shù)學(xué)教師，則分配方案種數(shù)為（）

A.72B.56C.57D.63

【答案】A

【解析】先將兩個(gè)全科老師分給語文和數(shù)學(xué)各一個(gè)，有C；種，然后將新的4個(gè)語文老師分給兩個(gè)學(xué)校C；A；種,

同樣的方法將新的4個(gè)數(shù)學(xué)老師分給兩個(gè)學(xué)校C次種，所以共有C；C；A；C；A；=72種分配方法。

6.【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題】

設(shè)A={（乂），）|0<%（加,0<y<l},S為（e+1）”的展開式的第一項(xiàng)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），〃?=必，

若任取（a,0）eA,則滿足必>1的概率是（）

22e-2e-l

A.-B.-C.----D.---

eeee

【答案】C

【解析】由題意，s=C>"=e",

/.m=Vs-e,則A={（x,y）|0<x<m,0<y<l}={（x,y）|0<x<e,0<y<l},畫出A={（x,

y）|0<x<e,0<y<l}表示的平面區(qū)域，

任?。╝,b）GA,則滿足ab>l的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，

如圖所示：

計(jì)算陰影部分的面積為

Sjfl--Jdx=(x-Inx)§=e-1-lne+lnl=e-2.

所求的概率為p=m匿=土工,

,矩形e

故選：C.

7.【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十六次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題】

己知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(a,4),且P(X>l)=0.5,P(X>2)=0.3,P(X<0)等于()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【答案】B

【解析】分析：畫正態(tài)曲線圖，由對(duì)稱性得圖象關(guān)于x=a對(duì)稱，且P(X>a)=0.5,結(jié)合題意得到a的值.

詳解：

隨機(jī)變量砌艮從正態(tài)分布N(a,4),

二曲線關(guān)于x=a對(duì)稱，且P(X>a)=0.5,

由P(X>l)=0.5,可知u=a=l,故選B.

8.【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十七次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題】

若XiA，…，X2018的平均數(shù)為3,方差為4,且％=-2(、-2),i=1,2,…,2018,則新數(shù)據(jù)、死，…，丫2018的平均數(shù)和標(biāo)

準(zhǔn)差分別為()

A.-4-4B.-416C.28D.-24

【答案】D

【解析】,也,…,X2018的平均數(shù)為3,方差為4,

1

.??嬴(X1+X2+…+*2。18)=3'

1222

記盛x1-3)+(X2-3)+-+(X2018-3)]=4.

又y產(chǎn)-2(x-2)=-2x.+4,i=1,2,…,2018,

11

；?y=-------[-2(x+x+???+x)+4x2018]=-2[-------(x+x+???+x)]+4=-2,

20181220182018

21?77z

s=——K-2X]+4+2)'+(-2x.+4+2r+-+(-2x?018+4+2)]

201822018

17?7

=2018l4(X1~3)+4(X2~3)+'"+4(X2018-3H

1222

=4X2018[(X1-3)+(X2-3)+'"+(X20i8-3)]

=16,

...新數(shù)據(jù)丫/2，“42。18的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為-2,4.

故選D.

9.【河北省衡水中學(xué)2018屆高三上學(xué)期七調(diào)考試數(shù)學(xué)(理)試題】

如圖所示的5個(gè)數(shù)據(jù)，去掉D(3,10)后，下列說法錯(cuò)誤的是()

y?￡(10,12)

,0(3.10)

?C(4.5)

/?(2,4)

4(1.3)

A.相關(guān)系數(shù)r變大B.殘差平和變大

C.R2變大D.解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)

【答案】B

【解析】由散點(diǎn)圖知，去掉D(3,10)后，y與x的線性相關(guān)加強(qiáng)，且為正相關(guān),

所以rr變大，R2變大，殘差平方和變小.故選B.

10.【河北省衡水中學(xué)2018屆高三十六?！?/p>

已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(a,4),且P(X>l)=0.5,P(X>2)=0.3,P(X<0)等于()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【答案】B

【解析】

隨機(jī)變量胡艮從正態(tài)分布N(a,4),

二曲線關(guān)于x=a對(duì)稱，且P(X>a)=0.5,

由P(X>l)=0.5,可知u=a=l,故選B.

11.【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題(三)】

在如圖所示的正方向中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N（-1,1）的密度曲線）

的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（附：X?,則P(〃一b<XK〃+b)=().6827,

一2cr<XV〃+2b）=0.9545.

【答案】B

【解析】由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，圖中陰影部分的面積若竺竺=0」359，

則落入陰影部分（曲線。為正態(tài)分布N（-1J的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為

N=10008V013"5913.

1

本題選擇B選項(xiàng).

12.【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題（三）】

己知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測的次數(shù)為4，則（）

-718

A.3B.—C.—D.4

25

【答案】B

421

【解析】由題意知，J的可能取值為2,3,4,其概率分別為P（^=2）=-^=—,

A；10

%=3）="/=6，P傳=4）=與32.戶32=，所以

13

EJ--2--x03Kj—,故選B,

13.【河北省衡水中學(xué)2019屆高三第一次摸底考試】

趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周碑算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓

方圖”，亦稱"趙爽弦圖'‘（以弦為邊長得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形

組成的）.類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊

三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)DF=2AF=2,若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三

角形的概率是

4

42J139D.亞

A.—B.-y―C.——

13132626

【答案】A

【解析】在AABD中,AD=3,BD=1,4ADB=120°,由余弦定理，得AB=JAD?+BD?-2AD?BDcosl20。=\后，

DF2

所以——=-/=.

ABJ13

S74

所以所求概率為修制2=_

故選A.

14.【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期六調(diào)考試】

如圖1為某省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計(jì)圖，圖2是該省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計(jì)圖，下列對(duì)

統(tǒng)計(jì)圖理解錯(cuò)誤的是（）

A.2018年卜4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬件

B.2018年1~4月的業(yè)務(wù)量同比增長率均超過50%,在3月底最高

C.從兩圖來看，2018年1~4月中的同一個(gè)月的快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長率并不完全一致

D.從卜4月來看，該省在2018年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長率逐月增長

【答案】D

【解析】對(duì)于選項(xiàng)4：2018年I?4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低,

差值為4397-2411=1986,接近2000萬件，所以A是正確的；

對(duì)于選項(xiàng)8：2018年1?4月的業(yè)務(wù)量同比增長率分別為55%,53%,62%,58%,均超過50%,在3月最高，所

以B是正確的；

對(duì)于選項(xiàng)C：2月份業(yè)務(wù)量同比增長率為53%,而收入的同比增長率為30%,所以C是正確的；

對(duì)于選項(xiàng)力，1,2,3,4月收入的同比增長率分別為55%,30%,60%,42%,并不是逐月增長，。錯(cuò)誤.

本題選擇。選項(xiàng).

二、填空題

1.【河北省衡水中學(xué)2018屆高三上學(xué)期七調(diào)考試數(shù)學(xué)（理）試題】

若從區(qū)間[0,e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828-）內(nèi)隨機(jī)選取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之積不小于e的概率

為.

【答案】2

【解析】設(shè)x,y6（0,e],Ulxy2e,得y「，所以所求概率x）（ex-elnx）Le?-2e2'

xp_________=___________=_____=]

222p

eee9

三、解答題

1.【2020屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期五調(diào)考試】

在2018、2019每高考數(shù)學(xué)全國I卷中，第22題考查坐標(biāo)系和參數(shù)方程，第23題考查不等式選講.2018年

高考結(jié)束后，某校經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn):選擇第22題的考生較多并且得分率也較高.為研究2019年選做題得分情況，

該校高三質(zhì)量檢測的命題完全采用2019年高考選做題模式，在測試結(jié)束后，該校數(shù)學(xué)教師對(duì)全校高三學(xué)生

的選做題得分進(jìn)行抽樣統(tǒng)計(jì)，得到兩題得分的統(tǒng)計(jì)表如下（已知每名學(xué)生只選做一道題）：

第22題的得分統(tǒng)計(jì)表

得分035810

理科人數(shù)505075125200

文科人數(shù)2525125025

第23題的得分統(tǒng)計(jì)表

得分035810

理科人數(shù)30525860200

文科人數(shù)51010570

(1)完成如下2x2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為“選做題的選擇”與“文、理科的科類”有關(guān);

選做22題選做23題總計(jì)

理科人數(shù)

文科人數(shù)

總計(jì)

(2)若以全體高三學(xué)生選題的平均得分作為決策依據(jù)，如果你是考生，根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，你會(huì)選做哪道題,

并說明理由.

附:片=7—一:

P（K2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)列聯(lián)表見解析；有99%的把握認(rèn)為“選做題的選擇‘'與''文、理科的科類”有關(guān)；(2)選做第23題,

理由見解析

【解析】(1)由數(shù)據(jù)表可得2x2列聯(lián)表如下：

選做22題選做23題總計(jì)

理科人數(shù)500400900

文科人數(shù)200100300

總計(jì)7005001200

則犬的觀測值k=1200x(200x4。。-500xl00『衛(wèi)。][42>I。828

700x500x300x9007

???有99%的把握認(rèn)為“選做題的選擇''與"文、理科的科類”有關(guān).

(2)全體高三學(xué)生第22,23題的平均得分分別為：

I4475

工=—(75x0+75x3+200x5+125x8+225x10)=-----?6.4；

1700v)700

&=^（35xO+62x3+68x5+65x8+27OxlO）=鬻“5；

司〉用二以全體高三學(xué)生選題的平均得分作為決策依據(jù)，應(yīng)選做第23題.

2.【河北省衡水市2019屆高三下學(xué)期第三次質(zhì)量檢測】

某次數(shù)學(xué)知識(shí)比賽中共有6個(gè)不同的題目，每位同學(xué)從中隨機(jī)抽取3個(gè)題目進(jìn)行作答，已知這6個(gè)題目中，

甲只能正確作答其中的4個(gè)，而乙正確作答每個(gè)題目的概率均為：，且甲、乙兩位同學(xué)對(duì)每個(gè)題目的作答

都是相互獨(dú)立、互不影響的.

（1）求甲、乙兩位同學(xué)總共正確作答3個(gè)題目的概率（兩人同時(shí)答對(duì)同一個(gè)題目視為答對(duì)兩個(gè)）；

（2）若甲、乙兩位同學(xué)答對(duì)題目個(gè)數(shù)分別是機(jī)，n,由于甲所在班級(jí)少一名學(xué)生參賽，故甲答對(duì)一題得15

分，乙答對(duì)一題得10分，求甲乙兩人得分之和X的期望.

31

【答案】（1）二；（2）50.

135

【解析】（1）由題意可知共答對(duì)3題可以分為3種情況：甲答對(duì)1題乙答對(duì)2題；甲答對(duì)2題乙答對(duì)1題;

甲答對(duì)3題乙答對(duì)0題.故所求的概率

C：晨⑴C：3[3）135

（2）根的所有取值有1,2,3.

P（加=1）=,P（m=2）=孰f2-2,尸=3）=鼻=」，故=lx—42x-2=.

q5q5q5555

由題意可知〃~,故E（〃）=3xg=2.而X=15/〃+10〃，所以E（X）=15E（m）+10E（n）=50.

3.【河北省衡水中學(xué)2018屆高三畢業(yè)班模擬演練一】

春節(jié)過后，某市教育局從全市高中生中抽去了100人，調(diào)查了他們的壓歲錢收入情況，按照金額（單位:

百元）分成了以下幾組：[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100].統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示:

am[40.50）（50.60）[60.70）[70.80）[80.90）[90.100]

s203030103

該市高中生壓歲錢收入Z可以認(rèn)為服從正態(tài)分布N（U，14.42）,用樣本平均數(shù)I（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值）作

為U的估計(jì)值.

（1）求樣本平均數(shù)k

(2)求P(54.1<Z<97.3);

(3)某文化公司贊助了市教育局的這次社會(huì)調(diào)查活動(dòng)，并針對(duì)該市的高中生制定了贈(zèng)送“讀書卡”的活動(dòng)，

贈(zèng)送方式為：壓歲錢低于”的獲贈(zèng)兩次讀書卡，壓歲錢不低于”的獲贈(zèng)一次讀書卡.已知每次贈(zèng)送的讀書卡張

數(shù)及對(duì)應(yīng)的概率如下表所示:

濾書卡(艙位：集)12

41

假率

TT

現(xiàn)從該市高中生中隨機(jī)抽取一人，記Y(單位：張)為該名高中生獲贈(zèng)的讀書卡的張數(shù)，求Y的分布列及數(shù)

學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：若Z?N(H,O2)>則P(U-O<Z<n+o)=0.6826,P(n-2o<Z<n+2o)=0.9544.

9

【答案】(1)68.5(2)0.8185(3)E(Y)=-

_1

【解析】(1)x=―(45x5+55x20+65x30+75x30+85x10+95x5)=68.5,

100

(2)由(1)得u=68.5,o=14.4.

P(54.1<Z<97.3)=P(68.5-14.4<Z<68.5+28.8)=P(n-G<Z<n+2o)

1

=PQi-a<Z<|i+o)+-[P(p-2a<Z<n+2o)-P(p-o<Z<p+o)]=0.8185.

2

1

(3)易知P(Z<N=p(z2ri)=—.

2

??.Y的所有可能取值為1,2,34

142

p(Y=l)=-x-=-；

255

1114421

P(Y=2)=-x-+-x-x-=——；

2525550

1144

P(Y=3)=2x-x-x-=——：

25525

1111

P(Y=4)=—x—x—=—.

25550

???f(x)的分布列為

Y1234

22141

P

T502550

221419

E(Y)=lx-+2x—+3x—+4x—=-.

55025505

4.【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測評(píng)數(shù)學(xué)（理）試題】

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個(gè)人收入的提高.自2018年10月1日起，個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整.調(diào)整如下:

納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額.依照個(gè)人所得稅稅率

表，調(diào)整前后的計(jì)算方法如下表：

個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整前）個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整后）

免征額3500元山東中，不聯(lián)園免征旗5000元

級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得領(lǐng)稅率（％）級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（%）

1不超過1500元的部分31不超過3000元的部分3

2超過1500元至4500元的部分102超過3000元至12000元的部分10

3超過4500元至9000元的茄分203超過12000元至25000元的部分20

???

???…??????

（1）假如小李某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記核示總收入，y表示應(yīng)納的稅，試寫

出調(diào)整前后y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）某稅務(wù)部門在小李所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入，并制成下面的

頻數(shù)分布表：

收入（元）[3000.5000)[5000,7000)[7000,9000):9000?11000)[11000,13000)[13000,15000)

人數(shù)304010875

①先從收入在［3000,5000）及［5000,7000）的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選4人作為新納稅法知識(shí)

宣講員，用a表示抽到作為宣講員的收入在［3000,5000）元的人數(shù)，b表示抽到作為宣講員的收入在［5000,

7000）元的人數(shù)，隨機(jī)變量Z=|a-H，求Z的分布列與數(shù)學(xué)期望；

②小李該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時(shí)，請(qǐng)你幫小李算一下調(diào)整后小李的實(shí)際收入比調(diào)整前增加

了多少？

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

0,x<3500

（I）調(diào)整前y關(guān)于x的表達(dá)式為y=.（x-3500）X0.03,xe（3500,5000］.

45+（x-5000）x0.1,xe（5000,8000］

調(diào)整后y關(guān)于尤的表達(dá)式為y=Lsi上隱呷

11（x-5000）x0.03,xe（5000,8000］

（2）①由頻數(shù)分布表可知從［3000,5000）及［5000,7000）的人群中抽取7人，其中［3000,5000）中占3

人，［5000,7000）的人中占4人，再從這7人中選4人，所以Z的取值可能為0,2,4,（5分）

女18

P(Z=0)=P(a=2,b=2)=------=—

435

r5

c；c：+c七16

P(Z=2)=P(a=l,b=3)+P(a=3,b=1)=----------------=——.

V35

04

C3c41

P(Z=4)P(a=0zb=4)=------=―,

C435

所以其分布列為

Z024

18161

P

353535

1816136

所以E(Z)=0x—+2x—+4x—=—

35353535

②由于小李的工資、薪金等收入為7500元，按調(diào)整前起征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅為1500x3%+2500xl0%=295元;

按調(diào)整后起征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅為2500x3%=75元，

比較兩個(gè)納稅方案可知，按調(diào)整后起征點(diǎn)應(yīng)納個(gè)稅少交220元，

即個(gè)人的實(shí)際收入增加了220元，所以小李的實(shí)際收入增加了220元。

5.【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題】

為了解學(xué)生寒假期間學(xué)習(xí)情況，學(xué)校對(duì)某班男、女學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，學(xué)習(xí)時(shí)間按整小時(shí)統(tǒng)計(jì)，調(diào)查

結(jié)果繪成折線圖如下：

（1）已知該校有400名學(xué)生，試估計(jì)全校學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)不足4小時(shí)的人數(shù).

（2）若從學(xué)習(xí)時(shí)間不少于4小時(shí)的學(xué)生中選取4人，設(shè)選到的男生人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.

（3）試比較男生學(xué)習(xí)時(shí)間的方差與女生學(xué)習(xí)時(shí)間方差用的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）

【答案】（1）240人⑵見解析（3）

【解析】

（1）由折線圖可得共抽取了20人，其中男生中學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)的有8人，女生中學(xué)習(xí)時(shí)間不足4小時(shí)

的有4人.

...可估計(jì)全校中每天學(xué)習(xí)不足4小時(shí)的人數(shù)為：400x—=240A.

20

（2）學(xué)習(xí)時(shí)間不少于4本的學(xué)生共8人，其中男學(xué)生人數(shù)為4人，故X的所有可能取值為0,1,2,

3,4.

r41

由題意可得P（X=0）=#

70

clc326_

P(X=1)=中

70-35

c2c23618

*X=2)=中=J

70-35

C3cl

*X=3)令

70-35

P（X=4）哈1

70

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

181881

P

7035353570

11636161

均值EX=0x—+1X—+2x—+3x—+4x—=2

7070707070

（3）由折線圖可得s；＞s；.

6.【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十六次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題】

作為加班拍檔、創(chuàng)業(yè)伴侶、春運(yùn)神器，曾幾何時(shí)，方便面是我們生活中重要的“朋友”，然而這種景象卻在近

5年出現(xiàn)了戲劇性的逆轉(zhuǎn).統(tǒng)計(jì)顯示.2011年之前，方便面銷量在中國連續(xù)1蚱保持兩位數(shù)增長,2013年的年銷

量更是創(chuàng)下462億包的輝煌戰(zhàn)績；但2013年以來，方便面銷量卻連續(xù)3年下跌，只剩385億包，具體如下表.相較

于方便面，網(wǎng)絡(luò)訂餐成為大家更加青睞的消費(fèi)選擇.近年來,網(wǎng)絡(luò)訂餐市場規(guī)模的“井噴式”增長，也充分反映了

人們消費(fèi)方式的變化.

全國方便面銷量情況（單位“億包/桶）（數(shù)據(jù)來源：世界方便面協(xié)會(huì)）

年份2013201420152016

時(shí)間代號(hào)t1234

年銷量y(億包/桶)462444404385

⑴根據(jù)上表，求y關(guān)于t的線性回歸方程。=6t+3.用所求回歸方程預(yù)測2017年(t=5)方便面在中國的年銷量；

(2)方便面銷量遭遇滑鐵盧受到哪些因素影響？中國的消費(fèi)業(yè)態(tài)發(fā)生了怎樣的轉(zhuǎn)變？某媒體記者隨機(jī)對(duì)身邊

的14立朋友做了一次調(diào)查，其中5位受訪者表示超過1年未吃過方便面,3位受訪者認(rèn)為方便面是健康食品；而9

位受訪者有過網(wǎng)絡(luò)訂餐的經(jīng)歷，現(xiàn)從這10人中抽取3人進(jìn)行深度訪談，記［表示隨機(jī)抽取的3人認(rèn)為方便面是

健康食品的人數(shù)，求隨機(jī)變量￡的分布列及數(shù)學(xué)期望E(“

n

參考公式：回歸方程：y=bt+a,其中6:-------------,a=y-bt-

士可

1=1

4

參考數(shù)據(jù)：y(t-t)(y-y)=-135.5.

i=l

【答案】(1)356;⑵見解析.

【解析】

(1)t=2.5,y=423.75,

4

V--2，-135.5,

>(t.-1)=5-b=----------=-27.1,a=423.75-(-27.1)x2.5=491.5-

i=l

所以±=-27.lt+491.5

當(dāng)t=5時(shí);y=-27.1x5+491.5=356

(2)依題意，10人中認(rèn)為方便面是健康食品的有3人，￡的可能值為0,1,2,3.

312213

LL-C77C3c721C3c77C31

所以P(S=0)二—=一；P(^=1)=------=——;P(^=2)=-------=——；P(^=3)=—=------,

c32413401340「3120

^10^10^10110

0123

72171

P

244040120

721719

E（§=0x——+1x——+2x——+3x---=——.

24404012010

7.【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十七次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題】

在測試中，客觀題難題的計(jì)算公式為P=，其中P］為第i題的難度，*為答對(duì)該題的人數(shù)，N為參加測試的總?cè)?/p>

1N

數(shù).現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)120名學(xué)生進(jìn)行一次測試，共5道客觀題.測試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的

難度，如下表所示：

題號(hào)12345

考前預(yù)估難度Pi0.90.80.70.60.4

測試后，從中隨機(jī)抽取了10名學(xué)生，將他們編號(hào)后統(tǒng)計(jì)各題的作答情況，如下表所示（"Y”表示答對(duì),“X”表

示答錯(cuò)）：

學(xué)生編號(hào)

12345

題號(hào)

1XTNqq

27TdqX

3TqqX

4XX

5(

6XXqX

7XNqqX

87XXXX

9T7XXX

107qdqX

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，將抽樣的10名學(xué)生每道題實(shí)測的答對(duì)人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測難度填入下表，并估計(jì)這120

名學(xué)生中第5題的實(shí)測答對(duì)人數(shù)；

題號(hào)12345

實(shí)測答對(duì)人數(shù)

實(shí)測難度

(2)從編號(hào)為1到5的5人中隨機(jī)抽取2人，求恰好有1人答對(duì)第5題的概率；

(3)定義統(tǒng)計(jì)量S=3(P；-P])2+(p；_p2)2+...+(p'n_pj2],其中p：為第題的實(shí)測難度，Pj為第i題的預(yù)估難度

(i=1,2,…,n).規(guī)定：若S=0.05,則稱該次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理.判斷本次測試的難度預(yù)估是否

合理.

3

【答案】⑴見解析;(2)-；(3)見解析.

5

【解析】

(1)每道題實(shí)測的答對(duì)人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測難度如下表:

題號(hào)12345

實(shí)測答對(duì)人數(shù)88772

實(shí)測難度0.80.80.70.70.2

所以，估計(jì)120人中有120x0.2=24人答對(duì)第5題.

(2)記編號(hào)為i的學(xué)生為A#=123,4,5),從這5人中隨機(jī)抽取2人，不同的抽取方法有10種.其中恰好有1

人答對(duì)第5題的抽取方法為(A”AJ,(A],AJ,%人)，(ApAJ,(A^AJ,A,AJ,共6種.

63

所以，從抽樣的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名答對(duì)至少4道題的學(xué)生,恰好有1人答對(duì)第5題的概率為P=—=-.

105

(3)Pi為抽樣的10名學(xué)生中第i題的實(shí)測難度，用Pj作為這120名學(xué)生第i題的實(shí)測難度.

222

S=#0.8-0.9產(chǎn)+@8-O.8)2+Q7.0.7)+(0.7-0.6)+(0.2-0.4)]=0.012

因?yàn)镾=0.012<0.05,所以，該次測試的難度預(yù)估是合理的.

8.【河北省衡水中學(xué)2018屆高三高考押題(一)理數(shù)試題試卷】

2017年春節(jié)期間，某服裝超市舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，消費(fèi)每超過600元(含600元)，均可抽獎(jiǎng)一次，

抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.

方案一：從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出3個(gè)

球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到3個(gè)紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球則打6折，若摸出1個(gè)紅球，則打7折;

若沒摸出紅球，則不打折.

方案二：從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸

取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.

（1）若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；

（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿1000元，試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？

【答案】（1）尸=一工（2）顧客選擇第一種抽獎(jiǎng)方案更合算.

14400

【解析】

（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出三個(gè)紅球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件A,則

C311

P（A）=才=而-所以兩位顧客均享受到免單的概率為P=P（A>P（A）=.

C31

（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為X元，則X可能的取值為0,600,700,1000.P（X=0）=T=——,

\）C：o120

7強(qiáng)_21c[_2_

P（X=600）產(chǎn)（X=700）=P（X=1000）

而40礫=五

故X的分布列為,

X06007001000

17217

P

120404024