新教材人教A版高中數(shù)學 選擇性必修第三冊 同步試題 7

7.4二項分布與超幾何分布

一、單選題

1,已知隨機變量X服從二項分布8（6,；）,則P（X=2）（

)

3

243B'243C'243D.

16

【答案】A

【分析】由二項分布的概率公式運算即可得解.

【解析】因為隨機變量X服從二項分布X:8（6,；）,

所以P（X=2）=C；.

故選：A.

2.已知隨機變量X?8(〃,p),若。(X)=3,￡(X)=4,則〃，〃分別為()

11

A.w=8,p=—B.〃=8,p=一

24

,3/1

C.H=16,p=—D.n=16,P=—

44

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項分布的期望與方差公式，即可求解.

【解析】???隨機變量x?以%p）,o（x）=3,E（x）=4,

.,.￡＞（%）=wp（l-p）=3,E（X）=〃p=4,

,,1

:.n=16,p=—.

4

故選：D.

3.下列例子中隨機變量服從二項分布的個數(shù)為（）

①某同學投籃的命中率為06他10次投籃中命中的次數(shù)J；

②某射手擊中目標的概率為0.9,從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數(shù)4；

③從裝有5個紅球，5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，摸到白球時的摸球次數(shù)4；

④有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法，自表示〃次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)二項分布的特征即可判斷.

【解析】①滿足獨立重復(fù)試驗的條件，是二項分布;

②《的取值是1,2,3…,〃，尸d)=0.9x0.1"|=，顯然不符合二項分布的定義，因此自

不服從二項分布；

③雖然是有放回地摸球，但隨機變量4的定義是直到摸出白球為止，也就是說前面摸出的一定是紅球，最后

一次是白球，不符合二項分布的定義：

④〃次試驗是不獨立的，因此。不服從二項分布.

所以只有1個服從二項分布.

故選：B.

4.某批零件的尺寸X服從正態(tài)分布且滿足尸(x<9)=［,零件的尺寸與10的誤差不超過1即

合格,從這批產(chǎn)品中抽取〃件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9,則n的最小值為()

A.7B.6C.5D.4

【答案】C

9171

【分析】由正態(tài)分布解得每個零件合格的概率為g,由對立事件得

即(2〃+1)-(；)"<0.1,令/(〃)=(2〃+1)?(；)"(〃eN*),由/(?)的單調(diào)性可解得結(jié)果.

【解析】?.?萬服從正態(tài)分布"(10,，)，且P(X<9)=,，

6

.?.P(94X411)=彳2，即每個零件合格的概率為2:

DJ

合格零件不少于2件的對立事件是合格零件個數(shù)為零個或一個.

101

合格零件個數(shù)為零個或一個的概率為d?(?"+c：??,

由c：-(1-r+c：01<o.1,得(2〃+i)-(11r<0.1,

令/(〃)=(2〃+l)g)"(〃eN*),

=，?,?〃”)單調(diào)遞減，又/(5)<0］，/(4)>0.1,

J(n)6〃+3

不等式伽+1)?《)”<0.1的解集為{川〃…5,〃eN*}.〃的最小值為5.

故選：C.

1211

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是：由對立事件得C>(3)〃+C3,(P〃T<0］，即

5.12人的興趣小組中有5人是“三好學生”，現(xiàn)從中任選6人參加競賽.若隨機變量X表示參加競賽的“三好

學生”的人數(shù)，則筆2■為()

A.P(X=6)

B.P(X=5)

C.P(X=3)

D.P(X=7)

【答案】C

【分析】根據(jù)X服從超幾何分布直接得到答案.

【解析】由題意可知：隨機變量X服從參數(shù)為N=12,M=5,〃=6的超幾何分布.

由公式P(X=k)=Cf,易知等?表示的是X=3的取值概率.

CN。12

故選：C

C,WC,V-A/

【點睛】隨機變量X服從參數(shù)為MM,n的超幾何分布，則P(X=k)

￡

6.在15個村莊中，有7個村莊交通不方便，若用隨機變量X表示任選10個村莊中交通不方便的村莊的個

數(shù)，則X服從超幾何分布，其參數(shù)為()

A.N=15,M=7,n=10

B.N=15,M=10,n=7

C.N=22,M=10,〃=7

D.N=22,M=7,〃=10

【答案】A

【分析】根據(jù)超幾何分布概率模型可得選項.

【解析】根據(jù)超幾何分布概率模型得N=15,M=7,〃=10,

故選：A.

7.盒中有10個螺絲釘，其中3個是壞的.現(xiàn)從盒中隨機抽取4個，則概率是三的事件為()

A.恰有1個是壞的B.4個全是好的

C.恰有2個是好的D.至多有2個是壞的

【答案】C

【分析】利用超幾何分布的概率公式，對四個選項一一求概率，進行驗證即可.

clc3

【解析】對于A,事件的概率為看

2

對于B,事件的概率為:§-=）；

CIO6

C2C23

對于c,事件的概率為■=?；；；；

go1U

對于D,事件的概率為.上—抹匕C；=].

Jo5u

故選C.

8.已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其中次品數(shù)為儕已知尸修=1）=或，且該產(chǎn)品

45

的次品率不超過40%,則這10件產(chǎn)品的次品率為（）

A.10%B.20%

C.30%D.40%

【答案】B

r1.r1

【解析】先根據(jù)P&=1）=二產(chǎn)*列式求出X,進而可求出次品率.

C|o

【解析】設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品,

則p（g=l）=隼屋_x（10-x）_16

-

a。一—45-45

所以x=2或8.

因為次品率不超過40%,所以x=2,

2

所以次品率為—=20%.

故選:B.

9.某貧困縣轄有15個小鎮(zhèn)中有9個小鎮(zhèn)交通比較方便，有6個不太方便?現(xiàn)從中任意選取10個小鎮(zhèn)，其中

C4c6

有X個小鎮(zhèn)交通不太方便，下列概率中等于號的是

^15

A.P（X=4）B.P（X<4）

C.P（X=6）D.P（XW6）

【答案】A

【分析】X服從超幾何分布，根據(jù)古典概型的概率公式計算即可.

【解析】X服從超幾何分布，

因為有6個小鎮(zhèn)不太方便，

所以從6個不方便小鎮(zhèn)中取4個，

P(X=4)=泠

C15

故選A.

【點睛】此題考查古典概型的概率公式和超幾何分布，屬于基礎(chǔ)題.

10.在一個箱子中裝有大小形狀完全相同的有4個白球和3個黑球，現(xiàn)從中有放回地摸取5次，每次隨機

摸取一球，設(shè)摸得的白球個數(shù)為X,黑球個數(shù)匕則()

A.E(x)>E(y),D(x)>z)(y)B.E(x)=E(y),z)(x)>D(y)

C.E(X)>E(y),D(X)=D(Y)D.E(X)=E(y),O(X)=O(y)

【答案】c

【解析】有放回地摸出一個球，它是白球的概率是:它是黑球的概率是:，因此X~8(59,r-5(5,1),

由二項分布的均值與方差公式計算后可得結(jié)論.

【解析】有放回地摸出一個球，它是白球的概率是:，它是黑球的概率是李，因此X~5(5,},y~5(5,1),

??E1VE(V<、X)=<5x4—2=0,EE(VYV)、=_5<x—3=15,

=4360…、u3460

=5x—x一=—,D(/)=5x—x一=—,

77497749

故選：C

【點睛】結(jié)論點睛：本題考查二項分布，掌握二項分布的概念是解題關(guān)鍵.變量則E(X)=〃0,

D(X)=np(l-p).

11.某人射擊一發(fā)子彈的命中率為0.8,現(xiàn)他射擊19發(fā)子彈，理論和實踐都表明，這19發(fā)子彈中命中目標

的子彈數(shù)〃的概率/(〃)如下表，那么在他射擊完19發(fā)子彈后，其中擊中目標的子彈數(shù)最大可能是()

n01k19

1819

/(?)0.2”q'90.8'0.2￡；0.8*0.2巾"0.8

A.14發(fā)B.15發(fā)C16發(fā)D.15或16發(fā)

【答案】D

【分析】設(shè)第左發(fā)子彈擊中目標的概率最大，根據(jù)題意，可以表示第左-1、晨左+1發(fā)子彈擊中目標的概率,

進而可得/住+且/（左）2/（"1）,即可得關(guān)于A的不等式組，求解可得答案.

【解析】根據(jù)題意，設(shè)第A發(fā)子彈擊中目標的概率最大，而19發(fā)子彈中命中目標的子彈數(shù)”的概率

A,9

P（?=A：）=C19<0.8.0.2-*（%=0,1,2,L,19）,

則有/⑻”（％+1）且/㈤

19A+I8

ar,[C*-0.8*-0.2-*>C,V'-0.8-0.2'^妨

BP[C*.0,8t.0,2,9-*>C*-1-0.84-'.O.220-4,解可得匕女",

即第15或16發(fā)子彈擊中目標的可能性最大，

則他射完19發(fā)子彈后，擊中目標的子彈最可能是第15或16發(fā).

故選：D.

【點睛】本題考查〃次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生人次的概率問題，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于常

考題.

12.有甲、乙兩個盒子，甲盒子里有1個紅球，乙盒子里有3個紅球和3個黑球，現(xiàn)從乙盒子里隨機取出

個球放入甲盒子后，再從甲盒子里隨機取一球，記取到的紅球個數(shù)為J個，則隨著

的增加，下列說法正確的是（）

A.垮增加，增加B.帶增加，減小

C.E&減小,增加D.減小，減小

【答案】C

【分析】由題意可知，從乙盒子里隨機取出〃個球，含有紅球個數(shù)X服從超幾何分布，即萬~“（6,3,〃）,

11

可得出EX=W，再從甲盒子里隨機取一球，則J服從兩點分布，所以EJ=P（J=l）=；+w土，

=1-尸傳=1）=（-丁二，從而可判斷出和。J的增減性.

【解析】由題意可知，從乙盒子里隨機取出〃個球，含有紅球個數(shù)X服從超幾何分布，即X?”（6,3,〃）,

其中P（X=攵）=七一，其中左EN,k<3^k<nfEX

c662

故從甲盒中取球，相當于從含有］+1個紅球的〃+1個球中取一球，取到紅球個數(shù)為

n]

故尸*

n

隨機變量J服從兩點分布，所以七］二,代二1)=4+J?］，隨著〃的增大，E&減小;

〃+122〃+2

小口-尸(9)］%=|)］-人，隨著〃的增大，州增大.

故選：C.

【點睛】本題考查超幾何分布、兩點分布，分布列與數(shù)學期望，考查推理能力與計算能力，屬于難題.

二、多選題

13.若隨機變量X服從參數(shù)為4,(的二項分布，則()

A.P(X=1)=P(X=3)B,尸(X=2)=3尸(X=l)

C.P(X=4)=2P(X=0)D.P(X=3)=4P(X=1)

【答案】BD

【分析1根據(jù)二項分布中概率的計算公式P(X=%)=C：p*(l-p)"-?,左=0』,…/逐項驗證即可。

【解析】由題意，根據(jù)二項分布中概率的計算公式尸(X=幻=C：(|),%=0,1,2,3,4,

8

則尸(X=0)=C；￡,P(X=1)=C；

o181

尸-2)=嘯作一步*p-3)=C(|)[.|J32

8?

16

尸(X=4)=C：

8?

因此P(X=2)=3P(X=1),P(X=3)=4P(X=1),因X=4)=16尸(3=0).

故選:BD.

14.某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個五位二進制數(shù)"=3aM5(例如10100)其中/的各位數(shù)中

19

4(&=2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為g,出現(xiàn)1的概率為彳，記丫二的+%+為+生，則當程序運行一次時()

3°

Q

A.X服從二項分布B.P(X=\)=—

81

OQ

c.X的期望E(x)=]D.X的方差/(X)=§

【答案】ABC

【分析】推導出X~8(4,令，由此利用二項分布的性質(zhì)能求出結(jié)果.

【解析】解：由于二進制數(shù)A的特點知每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0,1,

且每個數(shù)位上的數(shù)字再填時互不影響，故以后的5位數(shù)中后4位的所有結(jié)果有4類：

①后4個數(shù)出現(xiàn)0,X=0,記其概率為P(X=0)=(S=M

3o1

71Q

②后4個數(shù)位只出現(xiàn)1個1,X=l,記其概率為尸(X=l)=C(T)q)，=￡；

33o1

7174

③后4位數(shù)位出現(xiàn)2個1,X=2,記其概率為

33o1

71D

④后4個數(shù)為上出現(xiàn)3個1,記其概率為尸(X=3)=《(：)"；)=氤，

33o1

7D

⑤后4個數(shù)為都出現(xiàn)1,X=4,記其概率為尸(X=4)=(：)，=3，

3o1

2

故X~B(4,p,故A正確；

71Q

又P(X=1)=《(§)(?;而，故B正確;

EW=4x|=|,故C正確；

???X~8(45,的方差，(X)=4x|xgJ,故。錯誤.

故選：ABC.

【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查二項分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題.

15.為了增強學生的冬奧會知識，弘揚奧林匹克精神，北京市多所中小學開展了冬奧會項目科普活動.為了

了解學生對冰壺這個項目的了解情況，在北京市中小學中隨機抽取了10所學校，10所學校中了解這個項

目的人數(shù)如圖所示：

0_________________________________________________________________

ABCDEFGHMN學校

若從這10所學校中隨機選取2所學校進行這個項目的科普活動，記X為被選中的學校中了解冰壺的人數(shù)在

30以上的學校個數(shù)，則（）

A.X的取值范圍為{0,1,2,3}B.尸（X=0）=:

C.D.E（X）=-

【答案】BC

【分析】首先理解概率類型為超幾何概率，結(jié)合組合數(shù)公式，即可計算，并判斷選項.

「0「21

【解析】X的取值范圍為{0,1,2},了解冰壺的人數(shù)在30以上的學校有4所.，P（X=0）=三于=鼻,

A。J

尸（X=l）=警=2,尸（X=2）=等=2，所以E（X）=0xg+lx2+2x2=g

v?tQIJlx］。

故選：BC.

16.為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進入市場前必須進行兩輪核輻射檢測，

只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售.已知某產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為L，第二輪檢測不合

格的概率為"，兩輪檢測是否合格相互沒有影響?若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷售,

則每件產(chǎn)品虧損80元.己知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則下列說法正確的是（）

A.該產(chǎn)品能銷售的概率為:

B.若《表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，則自?

O

C.若g表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，則P4=3）=支

81

Q

D.P（X=-80）=—

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意先求出該產(chǎn)品能銷售的概率，從而選項A可判斷，由題意可得4?可判斷選項B,

根據(jù)獨立重復(fù)事件的概率問題可判斷C,D選項.

【解析】選項A.該產(chǎn)品能銷售的概率為故選項A正確.

選項B.由A可得每件產(chǎn)品能銷售的概率為；

一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，故選項B正確.

選項C.由題意P值=3)=C；x(g)x；嗤，不選項C不正確.

選項D.由題意X=-80,即4件產(chǎn)品中有2件能銷售，有2件產(chǎn)品不能銷售.

所以尸(X=-80)=C：圖,J=2.，故選項口正確.

故選：ABD

三、填空題

17.設(shè)隨機變量M艮從二項分布則函數(shù)次x)=N+4x+4存在零點的概率是.

【答案】三31

32

【分析】由存在零點結(jié)合判別式即可求出處4,由已知二項分布可求出尸仔44).

【解析】由函數(shù)外尸:自由+^存在零點，得/=16*420,即公4.又因為變量^?8(5,g),

所以所求概率尸=1-尸管=5)=1-C；x［；］=..

故答案為:蘇31.

【點睛】關(guān)鍵點睛：

本題關(guān)鍵是由存在零點求出4的取值范圍，結(jié)合二項分布即可求出所求.

18.一臺儀器每啟動一次都隨機地出現(xiàn)一個4位的二進制數(shù)/=%，%，%，％，其中A的各位數(shù)字中，6=1,

19

《"=2,3,4)出現(xiàn)0的概率為：，出現(xiàn)1的概率為若啟動一次出現(xiàn)的數(shù)字為4=1010,則稱這次試驗成

功.若成功一次得2分，失敗一次得-1分，則54次這樣的重復(fù)試驗的總得分X的方差為

【答案】岑

【分析】由題可求出試驗成功的概率，再利用二項分布及其方差的性質(zhì)即求.

【解析】啟動一次出現(xiàn)數(shù)字為/=1010的概率P=圖詒，

設(shè)試驗成功的次數(shù)為y,則丫~8（54，卷｝

225100

所以y的方差為D（y）=54xhbk

272727

易得總得分X=2丫-1x（54-丫）=3丫一54,所以￡＞（X）=。（3丫-54）=9D（Y）=與.

故答案為：~~.

19.盒中有2個白球，3個黑球，從中任取3個球，以X表示取到白球的個數(shù)，〃表示取到黑球的個數(shù).給

出下列各項：

A9/\/Q

①E（x）=],￡（7）=1;②E（X2）=E（〃）；③E（"2、）=E（X）；④D（X）=Q⑺=4.

其中正確的是.（填上所有正確項的序號）

【答案】①②④

【分析】根據(jù)數(shù)學期望、方差和超幾何分布的概念運算即可求解.

【解析】由題意可知X服從超幾何分布，〃也服從超幾何分布.

.2x363x39

??七（才）=飛一=1，￡（//）=—^―=-

又X的分布列

X012

133

P

lo510

1339

—+px-+22x—=

105105

。⑶=頤曉）一囪切2=|一令2=總

〃的分布列為

n123

331

P

10510

3311R

:.E(7)=l2x—+22x-+32x—=—,

s105105

1899

。(〃)=鳳〃2)—囪〃)]2=不一(《)2=石.

2

：.E(X)=E(n),O(X)=D(〃)，.,.①②④正確.

故答案為：①②④.

Cr-C"~r

20.若一個隨機變量的分布列為尸&=廠）=、二"其中r=0,1,2,-,/,/=min（〃,M）則稱4服從超幾何分

CN

C“＜，口

布，記為N）并將PC=r)=記為則”(1;3,2/0)=

禺

7

【答案】-

【分析】根據(jù)題中的計算公式代入數(shù)據(jù)求解即可.

【解析】根據(jù)題意，尸=1,〃=3,M=2,N=\0

.?.4（l;3,2,10）=P（"l）=爸之（

7

故答案為：—.

四、解答題

21.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲4次，隨機變量X表示“正面朝上”出現(xiàn)的次數(shù).求：

（1）求X的分布列；

（2）求E（X）.

【答案】（1）答案見解析

⑵雙子=2

【分析】（1）根據(jù)二項分布即可求解概率以及分布列.（2）由二項分布的期望公式即可求解.

【解析】（1）由題意，拋一枚均勻的硬幣，正反面朝上的概率均為

所以將一枚均勻的硬幣重復(fù)拋擲4次，正面朝上的次數(shù)X:故

1iq

即尸(x=0)=而，p(x=i)=a，P(x=2)=w，

尸(X=3)=；,P(X=4)=2；

410

X的分布列如下:

X01234

1J_31

P

"16484l6

(2)QX：8(43,...E(X)=4x；=2

22.分別指出下列隨機變量服從什么分布：

(1)即將出生的100個新生嬰兒中,男嬰的個數(shù)X；

(2)已知某幼兒園有125個孩子，其中男孩有62個，從這些孩子中隨機抽取10個，設(shè)抽到男孩的個數(shù)為X.

【答案】(1)二項分布

(2)超幾何分布

【分析】(1)利用二項分布的特征求解，(2)利用超幾何分布特點求解

(1)

(1)X的可能取值為0,1,2,…100，且每個新生兒的性別相互獨立，故男嬰的個數(shù)X服從二項分布

(2)

(2)X的可能取值為0,1,2,L10,且是不放回抽樣，故抽到男孩的個數(shù)為X服從超幾何分布

23.某公司為招聘新員工設(shè)計了一個面試方案：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照題目要

求獨立完成.規(guī)定：至少正確完成其中2道題便可通過.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2

道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是且每題正確完成與否互不影響.

(1)求甲恰好正確完成兩個面試題的概率；

(2)求乙正確完成面試題數(shù)〃的分布列及其期望.

【答案】(1《3

(2)分布列見解析,E⑺=2

【分析】⑴設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為則。的取值范圍是{1,2,3}.然后求出尸(J=2)即可；

(2)設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為，7,則〃取值范圍是{0」,2,3},求出〃取每個值時的概率，即可得分布列,

然后根據(jù)二項分布期望的求法求解即可.

【解析】(1)解：由題意得：

設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為則g的取值范圍是{1,2,3}.p(g=2)=*=：；

(2)設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為〃，則〃取值范圍是{0,1,2,3}.

「(”。)=。%J。何=1)=。陪卜[I]'=*

尸5=2)心(|卜口巖,P.=3)=C嗚|吟.

應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù)〃的分布列為

70123

16128

P

27272727

2

,-.￡(7)=3xy=2

24.在某校舉辦“青春獻禮二十大，強國有我新征程”的知識能力測評中，隨機抽查了100名學生，其中共有

4名女生和3名男生的成績在90分以上，從這7名同學中每次隨機抽1人在全校作經(jīng)驗分享，每位同學最

多分享一次，記第一次抽到女生為事件4第二次抽到男生為事件反

⑴求戶⑻,P(B\A),

(2)若把抽取學生的方式更改為：從這7名學生中隨機抽取3人進行經(jīng)驗分享，記被抽取的3人中女生的人

數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

a1

【答案】（l）P（8）=i,P{B\A）=-

12

（2）分布列見解析；期望為與

【分析】（1）法一：根據(jù)古典概型結(jié)合條件概率運算求解；法二：根據(jù)獨立事件概率乘法公式結(jié)合條件概

率運算求解;

（2）根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.

【解析】（1）方法一：

由題意可得：尸（/）=：4

“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件“第一次抽到男生且第二次抽到男生''就是事件，8，從7

個同學中每次不放回地隨機抽取2人，試驗的樣本空間。包含〃（Q）=A；=7x6=42個等可能的樣本點，

因為〃(48)=A；xA；=4x3=12,“(48)=A；xA；=6,

n(AB}+n{AB12+63”,八n(AB\122

所以?-------=-,AAS)=\/-=-，

427、，10427

2

尸(/8)=r1

故P（川Z）=

P(Z)42

7

43323

方法二:-x-H--x—

76767

“在第…次抽到女生的條件下，第二次抽到男生”的概率就是事件4發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的概率，則

P(z)=g,P(4B)=H=g

2

P(4B)71

故尸（引4）=

叫)=交5

7

（2）被抽取的3人中女生人數(shù)X的取值為0,1,2,3,

c*c212

p(x=o)=cl=1「。=|)=罟=

C；3535

「。=2）=籌T，P（X=3）咯=',

X的分布列:

X0123

112184

P

35353535

X的數(shù)學期望E（X）=Ox/lx導2x導3x,爭.

25.某中學舉辦了詩詞大會選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令.第一輪給每位

選手提供5個詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內(nèi)正確回

答出下句可得10分，若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分.

（1）已知某位選手會5個詩詞接龍題目中的3個，求該選手在第一輪得分的數(shù)學期望；

（2）己知恰有甲、乙、丙、丁四個團隊參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個團隊中的一個回答問題，無論

答題對錯，該團隊回答后由其他團隊搶答下一問題，且其他團隊有相同的機會搶答下一問題.記第〃次回

答的是甲的概率為七，若不=1.

①求尸2,Pa;

②證明：數(shù)列［匕為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.

【答案】（1）12

（2）①鳥=0,②證明過程見詳解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大

【分析】（1）設(shè)該選手答對的題目個數(shù)為已該選手在第一輪的得分為〃，可得〃=104，再寫出J的所有

可能取值，分別求出其對應(yīng)的概率，進而得到自的分布列，并求出4的數(shù)學期望，從而可求得〃的數(shù)學期望;

（2）①直接根據(jù)題意可得第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以第二次甲回答的概率為g；

②先根據(jù)題意建立《與。-的關(guān)系式，即可證明數(shù)列｛5-；）為等比數(shù)列，進而可得到陀,｝的通項公式，從

而可比較27,尸8.

【解析】（1）設(shè)該選手答對的題目個數(shù)為3該選手在第一輪的得分為〃，則〃=

易知4的所有可能取值為0,1,2,

則尸（八0）=**，

3

尸(4=1)=

5

噂=2）吟得，

故4的分布列為

012

133

P

10510

貝舊劣」'0+，1+2*2=9,

''105105

所以/〃）=10川3=12.

（2）①由題意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，.?.鳥=0,則〃=；.

②由第"次回答的是甲的概率為月，得當〃N2時，第n-l次回答的是甲的概率為七一第n-1次回答的不

是甲的概率為1-

貝1E,=與一「0+（1—與-）；=；（1一Ei），

?..3-；｝是以《為首項，T為公比的等比數(shù)歹。，

.?.第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大.

26.某企業(yè)因技術(shù)升級，決定從2023年起實現(xiàn)新的績效方案.方案起草后，為了解員工對新績效方案是否

滿意，決定采取如下“隨機化回答技術(shù)''進行問卷調(diào)查：

一個袋子中裝有三個大小相同的小球，其中1個黑球，2個白球.企業(yè)所有員工從袋子中有放回的隨機摸兩

次球，每次摸出一球.約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式I回答問卷，否則按方式H回答問卷”.

方式I：若第一次摸到的是白球，則在問卷中畫“?！?，否則畫“X”；

方式II：若你對新績效方案滿意，則在問卷中畫“?！?，否則畫“x”.

當所有員工完成問卷調(diào)查后，統(tǒng)計畫。，畫X的比例.用頻率估計概率，由所學概率知識即可求得該企業(yè)員

企業(yè)所有對新績效方案滿意的員工人數(shù),lnno/

工對新績效方案的滿意度的估計值.其中滿意度=企業(yè)所有員工人數(shù)K0

（1）若該企業(yè)某部門有9名員工，用X表示其中按方式I回答問卷的人數(shù)，求X的數(shù)學期望;

（2）若該企業(yè)的所有調(diào)查問卷中，畫“?！迸c畫“X，，的比例為4：5,試估計該企業(yè)員工對新績效方案的滿意度.

【答案】（1）4

(2)40%.

【分析】（1）根據(jù)題意分析可得方式I回答問卷的人數(shù)X?利用二項分布的期望的公式運算求

解；

（2）根據(jù)題意結(jié)合條件概率公式和全概率公式運算求解

【解析】（1）每次摸到白球的概率!，摸到黑球的概率為:，

JJ

714

每名員工兩次摸到的球的顏色不同的概率p=c；X：X；=],

由題意可得：該部門9名員工中按方式I回答問卷的人數(shù)丫~8（91}

4

所以X的數(shù)學期望￡（x）=9x§=4.

（2）記事件A為“按方式I回答問卷”，事件B為“按方式II回答問卷”，事件C為“在問卷中畫?！?

由（1）知尸（/）=[,P⑻=1-尸⑷Pp）P（Cp）=P（/IC）=|xl=1.

44

???Pc）=3=3,

''4+59

由全概率公式產(chǎn)仁）=尸（/）尸94+尸（8）尸（。忸），則[=￡+沐平），解得尸仁忸）=1=0.4,

故根據(jù)調(diào)查問卷估計，該企業(yè)員工對新績效方案的滿意度為40%.

27.北京時間2022年4月16日09時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，神舟十

三號載人飛行任務(wù)取得圓滿成功，全體中華兒女深感無比榮光.半年“出差”，神舟十三號航天員順利完成全

部既定任務(wù)，創(chuàng)造了實施徑向交會對接、實施快速返回流程、利用空間站機械臂操作大型在軌飛行器進行

轉(zhuǎn)位試驗等多項“首次為了回顧“感覺良好”三人組太空“出差亮點”，進一步宣傳航空科普知識，某校組織了

航空知識競賽活動.活動規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機抽取4道題目進行作答.假設(shè)在8道備選題中，小

明正確完成每道題的概率都是:且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道

4

題不能完成.

(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；

(2)設(shè)隨機變量X表示小宇正確完成題目的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望；

(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進入決賽，請你根據(jù)所學概率知識，判斷小明和小宇兩人中選擇誰去參

加市級比賽(活動規(guī)則不變)會更好，并說明理由.

【答案】(1)^^;

(2)分布列見解析；期望為3；

(3)小宇；理由見解析.

【分析】(1)求出小明完成3道題和4道題的概率之和；

(2)列出分布列，根據(jù)分布列計算概率；

(3)比較小明和小宇分別至少完成3道題的概率，根據(jù)概率大小決定誰去參加比賽.

(1)

記“小明至少正確完成其中3道題”為事件4貝U尸(N)=C：

(2)

X的可能取值為2,3,4.

P(X=2)C=2*c215_3

570

尸(丫=3)=青=404

707

Pd年r°C4153

J7014

X的分布列為:

X234

343

P

14714

343

數(shù)學期望E(X)=2X2+3X—+4X2=3.

14714

(3)

189

由(1)知，小明進入決賽的概率為P(4)==

256

記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B,則尸(8)=々4+三3="11；

因為尸(8)＞尸(/),故小宇進決賽的可能性更大，所以應(yīng)選擇小宇去參加比賽.

28.中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽(CA4)始于1995年，至今己有28個賽季，根據(jù)傳統(tǒng)，在每個賽季總決賽之后,

要舉辦一場南北對抗的全明星比賽，其中三分王的投球環(huán)節(jié)最為吸引眼球，三分王投球的比賽規(guī)則如下：

一共有五個不同角度的三分點位，每個三分點位有5個球(前四個是普通球，最后一個球是花球)，前四

個球每投中一個得1分，投不中的得0分，最后一個花球投中得2分，投不中得0分.全明星參賽球員甲在

第一個角度的三分點開始投球，已知球員甲投球的命中率為。，且每次投籃是否命中相互獨立.

(1)記球員甲投完1個普通球的得分為X,求X的方差D(X)；

(2)若球員甲投完第一個三分點位的5個球后共得到了2分，求他是投