四川省眉山市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

Page17一?單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可得所求結(jié)果.【詳解】.故選：C.2.函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（）A.和3 B.和2 C.和3 D.和2【答案】D【解析】【分析】由正弦型函數(shù)的周期公式求解最小正周期，求最值即可【詳解】因為函數(shù)，所以最小正周期為：，當(dāng)時，有最大值2.故選：D.3.已知是兩個不共線的向量，，.若與是共線向量，則實數(shù)（）.A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)平面對量的共線的充要條件列出等式計算即可.【詳解】由已知，∵與是共線向量，∴存在，使，又，，即，∴，∴，所以，故選：D.4.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】轉(zhuǎn)化，再利用兩角和的余弦公式即得解【詳解】由題意，故選：A【點睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式綜合，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運算實力，屬于基礎(chǔ)題5.已知向量，且，則實數(shù)=A. B.0 C.3 D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由題意得，，因為，所以，解得，故選C.考點：向量的坐標(biāo)運算.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將已知等式平方，利用二倍角公式得出的值，由同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡求值即可．【詳解】，兩邊平方得，即則故選:D7.如圖，在△中,,是上的一點,若,則實數(shù)的值為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)共線關(guān)系用基底表示，再依據(jù)平面對量基本定理得方程組解得實數(shù)的值.【詳解】如下圖，∵三點共線，∴，∴，即,∴①,又∵，∴，∴②，對比①，②，由平面對量基本定理可得：．【點睛】本題考查向量表示以及平面對量基本定理，考查基本分析求解實力.8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由周期大于等于單調(diào)區(qū)間的長度的2倍，求得的初步范圍，然后結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性進一步確定的范圍，得到答案.【詳解】由題意有，可得，又由，必有，可得.故選：A二?多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）9.下列兩個向量，能作為基底向量的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)向量是否共線即可推斷其能否作為基底向量，一一推斷即可.【詳解】A選項，零向量和隨意向量平行，所以不能作為基底.B選項，因為，所以不平行，可以作為基底.C選項，，所以平行，不能作為基底.D選項，因為，則不平行，可以作為基底.故選：BD.10.計算下列各式，結(jié)果為的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】運用幫助角公式、誘導(dǎo)公式、和差角公式的逆用、特別角的三角函數(shù)值、三角恒等變換中“1”的代換化簡即可.【詳解】對于選項A，由幫助角公式得.故選項A正確；對于選項B，，故選項B錯誤；對于選項C，，故選項C錯誤；對于選項D，，故選項D正確.故選：AD.11.下列關(guān)于平面對量的說法中正確的是（）A.已知，均為非零向量，若，則存在唯一實數(shù)，使得B.在中，若，則點為邊上的中點C.已知，均為非零向量，若，則D.若且，則【答案】ABC【解析】【分析】利用向量共線、向量加法、向量垂直、向量運算等學(xué)問對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】A選項，依據(jù)向量共線的學(xué)問可知，A選項正確，B選項，，依據(jù)向量加法的運算可知點為邊上的中點，B選項正確.C選項，由兩邊平方并化簡得，所以，C選項正確.D選項，是一個數(shù)量，無法得到兩個向量相等，D選項錯誤.故選：ABC12.已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，其中圖象最高點、最低點的橫坐標(biāo)分別為、，圖象在軸上的交點為.則下列結(jié)論正確的是（）A.最小正周期為B.的最大值為2C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.為偶函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】A選項，依據(jù)圖象得到，A錯誤；B選項，先依據(jù)最小正周期求出，代入特別點坐標(biāo)，求出，，得到B正確；C選項，代入檢驗得到在區(qū)間上單調(diào)遞增；D選項，求出，利用函數(shù)奇偶性定義推斷.【詳解】A選項，設(shè)的最小正周期為，由圖象可知，解得，A錯誤；B選項，因為，所以，解得，故，將代入解析式得，因，所以解得，因為函數(shù)經(jīng)過點，所以，故，的最大值為2，B正確；C選項，，當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；D選項，，由于與不愿定相等，故不是偶函數(shù)，D錯誤.故選：BC三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知扇形的半徑為6，圓心角為，則扇形的面積為_____．【答案】【解析】【分析】先計算扇形的弧長，再利用扇形的面積公式可求扇形的面積．【詳解】依據(jù)扇形的弧長公式可得，依據(jù)扇形的面積公式可得．故答案為：．14.已知點，點，若，則點的坐標(biāo)是________．【答案】P（3,4）【解析】【詳解】試題分析：設(shè)，代入得考點：向量的坐標(biāo)運算15.已知，分別是與方向相同的單位向量，在上的投影向量為，在上的投影向量為，則與的夾角為__________________.【答案】.【解析】【分析】依據(jù)向量的投影定義，列出方程，求解，再依據(jù)夾角公式，即可求解.【詳解】由題意，得解得∴.∵，∴.故答案為：【點睛】本題考查向量投影公式、夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.16.在中，若，則__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)正切和差公式和倍角公式計算即可.【詳解】因為，所以，所以，.故答案為：.四?解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.已知向量，滿意：，，.（1）求與的夾角；（2）若，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合向量的數(shù)量積運算化簡已知條件，由此求得，進而求得.（2）利用向量垂直列方程，化簡求得的值.【小問1詳解】由得，，由于，所以.【小問2詳解】，由于，所以.18.如圖為函數(shù)的部分圖象．（1）求函數(shù)解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若將的圖像向右平移個單位，然后再將橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍得到圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1），，（2）最大值，最小值【解析】【分析】（1）由圖象，先求，再求出，然后代入最值點求即可得的解析式，最終整體代入法解出遞增區(qū)間即可；（2）由題意圖象變換得到，求出整體角的范圍，轉(zhuǎn)化為求正弦函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】由圖象知，，又則，則，將代入得，，得，解得，由，得當(dāng)時，，所以.令，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】將的圖像向右平移個單位得，然后再將橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍得到的圖像.已知，則，則.故當(dāng)時，最小值為；當(dāng)時，的最大值為.19.已知函數(shù)f(x)＝4sinxcos(x+)+m(x∈R，m為常數(shù))，其最大值為2．（Ⅰ）求實數(shù)m的值；（Ⅱ）若f(α)＝(＜α＜0)，求cos2α的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用二倍角和兩角和與差及幫助角公式將函數(shù)化為y＝Asin(ωx+φ)的形式，求出最大值，令其等于2，可得實數(shù)m的值．（Ⅱ）由題設(shè)可得cos(2α+)＝，由2α＝[(2α+)]，利用二倍角余弦公式求解即可．【詳解】（Ⅰ）由題設(shè)，f(x)＝4sinxcosxcos4sin2xsin+m＝sin2x2sin2x+m=sin2x+cos2x+m＝2sin(2x+)+m.由最大值為2,即2+m＝2，得m＝．（Ⅱ）由f(α)＝，即2sin(2α+)＝．∴sin(2α+)＝，又＜α＜0，∴＜2α+＜．∴cos(2α+)＝；那么cos2α＝cos[(2α+)]＝cos(2α+)cos+sin(2α+)sin＝．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與單位圓的交點為，角終邊與單位圓的交點為.（1）若，求的取值范圍；（2）若點的坐標(biāo)為，求點的坐標(biāo).【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)定義求點的坐標(biāo)，依據(jù)三角恒等變換用表示，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求其取值范圍；（2）由三角函數(shù)定義可得，依據(jù)兩角差正弦和余弦公式求可得點的坐標(biāo).【小問1詳解】由題意，所以，由，可得，所以，所以的取值范圍是.【小問2詳解】由，得，，，，所以點的坐標(biāo)為.21.如圖，在邊長為4的正三角形中，為的中點，為中點，，令，.（1）試用表示向量；（2）求的值.（3）延長線段交于，設(shè)，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)平面對量線性運算法則計算可得；（2）首先用、表示向量，再依據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得；（3）首先用、表示向量，由于與共線，則，依據(jù)平面對量基本定理得到方程組，解得【小問1詳解】.【小問2詳解】因為，所以.【小問3詳解】設(shè)，，由于與共線，則，即，即，解得，即.22.從秦朝統(tǒng)一全國幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡稱“孔方兄”）是我國運用時間長達兩千多年的貨幣.如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內(nèi)部刻有四個字“同治重寶”.某模具廠支配仿制這樣的銅錢作為紀念品，其小圓內(nèi)部圖紙設(shè)計如圖2所示，小圓直徑1厘米，內(nèi)嵌一個大正方形孔，四周是四個全等的小正方形（邊長比孔的邊長小），每個正方形有兩個頂點在圓周上，另兩個頂點在孔邊上，四個小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字.設(shè)，五個正方形的面積和為.（1）求面積關(guān)于的函數(shù)表達式，并求的范圍；（2）求面積最小值，并求出此時的值.【答案】（1）；的取值范圍為，；（2）；.【解析】分析】（1）由題意可知小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，所以五個正方形的面積和為，又，所以，所以的取值范圍為，，；(2)其中，，所以，此時，所以