備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第六章平面向量復(fù)數(shù)第6講復(fù)數(shù)

第6講復(fù)數(shù)課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)料1.通過(guò)方程的解，相識(shí)復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.3.駕馭復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.復(fù)數(shù)的概念2024全國(guó)卷乙T1；2024全國(guó)卷甲T2；2024全國(guó)卷乙T2；2024全國(guó)卷甲T1；2024新高考卷ⅠT2；2024浙江T2；2024全國(guó)卷甲T3；2024新高考卷ⅡT1；2024全國(guó)卷ⅠT1；2024全國(guó)卷ⅢT2；2024全國(guó)卷ⅡT2本講每年必考，主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，屬于送分題.預(yù)料2025年高考命題穩(wěn)定，常規(guī)備考的同時(shí)要留意對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解和應(yīng)用.復(fù)數(shù)的運(yùn)算2024新高考卷ⅠT2；2024全國(guó)卷甲T1；2024新高考卷ⅠT2；2024新高考卷ⅡT2；2024新高考卷ⅠT2；2024新高考卷ⅡT1；2024全國(guó)卷乙T1；2024全國(guó)卷甲T3；2024新高考卷ⅡT2；2024全國(guó)卷ⅢT2復(fù)數(shù)的幾何意義2024新高考卷ⅡT1；2024新高考卷ⅡT1；2024全國(guó)卷ⅡT15；2024北京T2；2024全國(guó)卷ⅠT2；2024全國(guó)卷ⅡT21.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念名稱(chēng)含義復(fù)數(shù)的定義形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部為①a，虛部為②b，i為虛數(shù)單位且i2＝③－1.復(fù)數(shù)分類(lèi)a＋bi為實(shí)數(shù)?b＝0；a＋bi為虛數(shù)?b≠0；a＋bi為純虛數(shù)?④a＝0且b≠0（a，b∈R）.復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）.留意實(shí)數(shù)能比較大小，虛數(shù)不能比較大小.共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?⑤a＝c且b＝－d（a，b，c，d∈R）.復(fù)平面建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做⑥實(shí)軸，y軸叫做⑦虛軸.說(shuō)明實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示虛數(shù).復(fù)數(shù)的模設(shè)OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝a＋bi，則向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；虼_定值，記作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝⑧a2＋2.復(fù)數(shù)的幾何意義思維拓展（1）r1≤｜z｜≤r2表示以原點(diǎn)O為圓心，以r1和r2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；（2）｜z－（a＋bi）｜＝r（r＞0）表示以（a，b）為圓心，r為半徑的圓.3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）.運(yùn)算法則運(yùn)算形式加法z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝⑨（a＋c）＋（b＋d）i.減法z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝⑩（a－c）＋（b－d）i.乘法z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝?（ac－bd）＋（ad＋bc）i.除法z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi（2）復(fù)數(shù)的運(yùn)算律對(duì)隨意的z1，z2，z3∈C：加法運(yùn)算律交換律：z1＋z2＝?z2＋z1.結(jié)合律：（z1＋z2）＋z3＝?z1＋（z2＋z3）.乘法運(yùn)算律交換律：z1z2＝z2z1.結(jié)合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）.支配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.（3）復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義：復(fù)數(shù)的加、減法可以依據(jù)向量的加、減法來(lái)進(jìn)行若復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量OZ1，OZ2不共線，則復(fù)數(shù)z1＋z2是以O(shè)Z1，OZ2為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線OZ所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)z1－z2是OZ1－1.下列說(shuō)法正確的是（D）A.復(fù)數(shù)z＝a－bi（a，b∈R）中，虛部為bB.復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小C.已知z＝a＋bi（a，b∈R），當(dāng)a＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)D.復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模2.[2024南京市六校聯(lián)考]復(fù)數(shù)z＝1+i1+2i（i為虛數(shù)單位），則｜z｜＝（DA.25 B.23 C.103 解析解法一z＝1+i1+2i＝（1+i)(1－2i）（1+2i)(1－2i）＝解法二｜z｜＝｜1+i1+2i｜＝｜1+i｜｜1+2i｜＝13.[2024新高考卷Ⅰ]已知z＝2－i，則z（z＋i）＝（C）A.6－2i B.4－2i C.6＋2i D.4＋2i解析因?yàn)閦＝2－i，所以z（z＋i）＝（2－i）（2＋2i）＝6＋2i，故選C.4.[2024合肥市二檢]設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝2i1－i，則在復(fù)平面內(nèi)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析因?yàn)閦＝2i1－i＝2i（1+i）（1－i)(1+i）＝－1研透高考明確方向命題點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念例1（1）[全國(guó)卷Ⅲ]復(fù)數(shù)11－3i的虛部是（A.－310 B.－110 C.110 解析11－3i＝1+3i（1+3i)(1－3i）（2）[2024全國(guó)卷甲]設(shè)a∈R，（a＋i）（1－ai）＝2，則a＝（C）A.－2 B.－1C.1 D.2解析∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故選C.（3）[2024全國(guó)卷甲]若z＝1＋i，則｜iz＋3z｜＝（D）A.45 B.42C.25 D.22解析因?yàn)閦＝1＋i，所以iz＋3z＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3z｜＝｜2－2i｜＝22＋（－2）2方法技巧1.求解與復(fù)數(shù)有關(guān)概念問(wèn)題的技巧：將復(fù)數(shù)化為z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，然后依據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念求解即可.2.若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等.3.復(fù)數(shù)的概念中的常用性質(zhì)（1）z1±z2＝z1±z2；z1·z2＝z1·z（2）｜z｜＝｜z｜，｜z2｜＝｜z｜2＝z·z，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，｜z1z2｜訓(xùn)練1（1）[2024全國(guó)卷乙]設(shè)z＝2+i1+i2＋i5，則A.1－2i B.1＋2iC.2－i D.2＋i解析z＝2+i1+i2＋i5＝2+i1－1+i＝－i（2+i（2）[2024全國(guó)卷乙]已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（A）A.a＝1，b＝－2 B.a＝－1，b＝2C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2解析由題意知z－＝1＋2i，所以z＋az－＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以a＋b（3）[2024武漢市5月模擬]設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意z－1z+1為純虛數(shù)，則｜z｜＝（A.1 B.2 C.3 D.2解析因?yàn)閦－1z+1為純虛數(shù)，所以可設(shè)z－1z+1＝bi（解法一因?yàn)閦＝（1+bi）2（1－bi)(1+bi）＝1解法二｜z｜＝｜1+bi1－bi｜＝｜命題點(diǎn)2復(fù)數(shù)的運(yùn)算例2（1）[2024新高考卷Ⅰ]已知z＝1－i2+2i，則z－z＝（A.－i B.iC.0 D.1解析因?yàn)閦＝1－i2+2i＝（1所以z＝12i，所以z－z＝－12i－12故選A.（2）[2024全國(guó)卷甲]若z＝－1＋3i，則zzz－1＝（A.－1＋3i B.－1－3iC.－13＋33i D.－13解析zzz－1＝－1+3i（－1+方法技巧1.復(fù)數(shù)運(yùn)算的解題策略（1）復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算類(lèi)比多項(xiàng)式的運(yùn)算.（2）復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，即分母實(shí)數(shù)化.2.復(fù)數(shù)運(yùn)算中的常用結(jié)論（1）（1±i）2＝±2i，1+i1－i＝i，1（2）a＋bii＝（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N）.訓(xùn)練2（1）[2024新高考卷Ⅰ]若i（1－z）＝1，則z＋z＝（D）A.－2 B.－1C.1 D.2解析因?yàn)閕（1－z）＝1，所以z＝1－1i＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故選（2）[2024重慶二調(diào)]已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意z＋3＝4z＋5i，i是虛數(shù)單位，則z2＝（B）A.－2i B.2iC.1＋i D.1－i解析令z＝a＋bi（a，b∈R），則a＋bi＋3＝4a－4bi＋5i，即3a－3＋（5－5b）i＝0，∴3a－3＝0，5－5b＝0，解得a＝1，b＝1，∴z＝1＋i，∴z2＝2i.故選B.命題點(diǎn)3復(fù)數(shù)的幾何意義例3（1）[2024新高考卷Ⅱ]在復(fù)平面內(nèi)，（1＋3i）·（3－i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析因?yàn)椋?＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（6，8），位于第一象限，故選A.（2）[全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿(mǎn)意｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝3＋i，則｜z1－z2｜＝23.解析如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1，z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，O為原點(diǎn)，則OP＝OZ1＋由題知｜OP｜＝3+1＝2＝｜OZ1｜＝｜OZ2｜，所以平行四邊形OZ1PZ2為菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，所以∠OZ2Z1＝30°，｜Z1Z2｜＝2｜OZ2｜·cos30°＝23，所以｜z1－z2｜＝｜Z1Z2｜＝23.方法技巧1.依據(jù)復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，可以更加直觀地解決問(wèn)題.2.思維拓展｜z－z0｜表示在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；｜z－z0｜＝r（r＞0）表示在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以復(fù)數(shù)z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心、r為半徑的圓上；｜z－z1｜＝｜z－z2｜表示在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線上.訓(xùn)練3（1）[2024湖北十一校聯(lián)考]復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，則｜z｜＝（C）A.10 B.13C.32 D.5解析解法一由｜z－5｜＝｜z－1｜，得復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)（5，0）和到點(diǎn)（1，0）的距離相等，所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＝3上；由｜z－1｜＝｜z＋i｜，得復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)（1，0）和到點(diǎn)（0，－1）的距離相等，所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y＝－x上.因?yàn)橹本€x＝3和直線y＝－x的交點(diǎn)為（3，－3），所以z＝3－3i，所以｜z｜＝32＋（－3）2解法二設(shè)z＝a＋bi（a，b∈R），由｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，得｜a－5＋bi｜＝｜a－1＋bi｜＝｜a＋（b＋1）i｜，得（a－5）2＋b2＝（a－（2）[多選/2024石家莊市三檢]已知復(fù)數(shù)z1＝1＋2i，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意｜z－z1｜＝2，則下列說(shuō)法正確的有（AD）A.z1·z1＝B.5－2＜｜z｜＜5＋2C.復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（－1，2D.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z（x，y），則（x－1）2＋（y－2）2＝4解析因?yàn)閺?fù)數(shù)z1＝1＋2i，所以z1＝1－2i，其在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（