高考數(shù)學(xué)（文）：02 函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用（教學(xué)案）含解析

專題2函數(shù)與方程及遨的應(yīng)用

【高考考綱解讀】

高考對本內(nèi)容考查主要有：

(1)①確定函數(shù)零點(diǎn)；

②確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

③根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在情況求參數(shù)值或取值范圍。

⑵函數(shù)簡單性質(zhì)綜合考查、函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題。

(3)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等知識綜合考查。

利用函數(shù)性質(zhì)解決相關(guān)最值、題型既有選擇題、填空題，又有解答題，客觀題主

要考查相應(yīng)函數(shù)圖象和性質(zhì)，主觀題考查較為綜合，在考查函數(shù)零點(diǎn)、方程根基

礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想方法。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】

1、函數(shù)零點(diǎn)與方程根

(1)函數(shù)零點(diǎn)

對于函數(shù)f(公,我們把使F(x)=0實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f{x)零點(diǎn)。

⑵函數(shù)零點(diǎn)與方程根關(guān)系

函數(shù)/(上)=f(x)—g(x)零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)根，即函數(shù)尸/'(X)圖象與函數(shù)

y=g(x)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)。

(3)零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,5］上圖象是連續(xù)不斷一條曲線，且有f(a)?

那么，函數(shù)尸f(x)在區(qū)間(a,5)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在(a,5)使得f(c)=0,這

個(gè)。也就是方程*才)=0根。

注意以下兩點(diǎn)：

①滿足條件零點(diǎn)可能不唯一；

②不滿足條件時(shí)，也可能有零點(diǎn)。

(4)二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值，二分法求方程近似解。

2、應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題一般程序

讀題建模求解反饋

文字語言臺數(shù)學(xué)語言=數(shù)學(xué)應(yīng)用今檢驗(yàn)作答

與函數(shù)有關(guān)應(yīng)用題，經(jīng)常涉及到物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問題，也可涉及

角度、面積、體積、造價(jià)最優(yōu)化問題、解答這類問題關(guān)鍵是確切建立相關(guān)函數(shù)解

析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)有關(guān)知識加以綜合解答。

3、在求方程解個(gè)數(shù)或者根據(jù)解個(gè)數(shù)求方程中字母參數(shù)范圍問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合是

基本解題方法，即把方程分拆為一個(gè)等式，使兩端都轉(zhuǎn)化為我們所熟悉函數(shù)解析

式，然后構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)f(x),g(x),即把方程寫成f(x)=g(x)形式，這時(shí)方程

根個(gè)數(shù)就是兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以根據(jù)圖象變化趨勢找到方程中字母參數(shù)

所滿足各種關(guān)系.

【題型示例】

題型1、函數(shù)與方程問題

【例1】【2017江蘇，14】設(shè)f(x)是定義在R且周期為1函數(shù)，在區(qū)間[0,1)上,

/(%)=<''其中集合￡)=Jv\x=--9則方程/(x)-lgx=0解個(gè)數(shù)是

x,x走。，[n)

【答案】8

【解析】由于〃x)c［OJ),賺I考慮lWx<10的情況,

在此范圍內(nèi)，XC0目xeD時(shí)，設(shè)％=烏,口4七加*,9之2,且p，4互質(zhì)，

P

若Igxc。，則由Igxe(OJ),可設(shè)lgx=3叫"Cjv*=a\2,且風(fēng)亞互質(zhì)，

m

因此10：=、，貝也伊=(、)，此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此Igx星Q,

因此Igx不可能與每個(gè)周期內(nèi)x&D對應(yīng)的部分相等，

只需考慮Igx與每個(gè)周期xiD的部分的交點(diǎn)，

畫出函數(shù)圖象，圖中交點(diǎn)除外(L0)其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無文數(shù)，屬于每個(gè)周期工史D的部分,

且x=1處(lex)'=二==上<1,則在x=1附近僅有一個(gè)交點(diǎn)，

janlOInlO

因此方程〃x)-1gx=0的解的個(gè)數(shù)為8.

iy

【變式探究】【2016高考新課標(biāo)1卷】函數(shù)、=2/-那在［—2,2］圖像大致為

(C)(D)

【答案】D

【解析】函數(shù)f&)=2--e用在L2,2］上是偶函數(shù),其圖像關(guān)于了軸對稱，因?yàn)椤?2)=8-e2,0<8-e2<1,

所以排除A、B選項(xiàng)；當(dāng)xc［0,2］時(shí)，/(x)=4x—ex有一零點(diǎn)，設(shè)為W,當(dāng)xe(O,/)時(shí)，/(力為減函

數(shù)，當(dāng)xc(4,2)時(shí)，/S)為增函數(shù).故選D。

【舉一反三】已知函數(shù)/1(?=?2、若存在實(shí)數(shù)6,使函數(shù)g(x)=F(x)

一力有兩個(gè)零點(diǎn)，則a取值范圍是o

答案：(一8,0)U(1,+8)

解析：函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)—6=0有兩個(gè)不等實(shí)根，則函數(shù)y=

f(x)和y=b圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)。

①若a<0,則當(dāng)xWa時(shí)，f{x)=x,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>a時(shí)，f\x)=x,函數(shù)

先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)圖象如圖①實(shí)線部分所示，其圖象與直線y=b可

能有兩個(gè)公共點(diǎn).

②若0W&W1,則成函數(shù)/'(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)圖象如圖②實(shí)線部分

所示，其圖象與直線尸6至多有一個(gè)公共點(diǎn).

③若a>l,則才>才，函數(shù)/'(X)在R上不單調(diào)，Ax)圖象如圖③實(shí)線部分所示，

其圖象與直線y=6可能有兩個(gè)公共點(diǎn)。

綜上知，水0或力1.

圖①圖②圖③

「⑴,

2—TxWO,

I》

【變式探究】已知直線尸/X與函數(shù)=<]圖象恰好有

+1,x>0

3個(gè)不同公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加取值范圍是—

【答案】(餡，+8)

如圖所示.直線尸神的圖象是繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)直線.當(dāng)斜率百。時(shí)，屋戔尸,與匣徽f(x)的圖象

只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)對>0時(shí)，直線產(chǎn)皿始終與函數(shù)戶2-E)(xSO)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，故要使直線產(chǎn)

與函數(shù)f(X)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，必須有直線產(chǎn)M與幽+1(x>0)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，即

方程JSX=^X+1,在K〉o時(shí)有兩個(gè)

不相等實(shí)數(shù)根，即方程*一2"x+2=0判別式zl=W-4X2>0,且辦0,解得加

隹.故所求實(shí)數(shù)加取值范圍是(斕，+-).

【特別提醒】解決由函數(shù)零點(diǎn)存在情況求參數(shù)值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函

數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)方程或不等式求解。

題型二函數(shù)零點(diǎn)

例2、(1)已知函數(shù)/'(x)=lnx—U2零點(diǎn)為吊，則X。所在區(qū)間是()

A、(0,1)B、(1,2)

C、(2,3)D、(3,4)

(2)[x]表示不超過x最大整數(shù)，例如[2.9]=2,[―4.1]=-5.已知f(x)=x—

[x](x￡R),g(x)=log4(x—1),則函數(shù)力(x)=F(x)—g(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A、1B、2C、3D、4

(1)答案：C

解析：../*>=%在(o,+B)上是增函數(shù)，

二又加尸lnL?r=lnl-2<0，

12)=ln2-?<0,

劇=ln3-?M,

「.々￡(2,3),故選C.

(2搭案：B

解析：函數(shù)力g⑻的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)/M與g⑶圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)也)=*-岡=

/???>

I*+1,—l<x<0?

4X,OSX<1>與函數(shù)gM=iog4(*-i)的大致圖象，如圖，由圖知，兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,

*一1,3區(qū)2,

即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.

【變式探究】(2014?江蘇)已知f(x)是定義在R上且周期為3函數(shù)，當(dāng)xQ［0,

3)時(shí)，f(x)=2x+］.若函數(shù)y=f(x)—a在區(qū)間［—3,4］上有10個(gè)零點(diǎn)(互

不相同)，則實(shí)數(shù)a取值范圍是o

(1}

【答案】0)-

\乙)

【解析】函數(shù)尸爪力一3在區(qū)間［-3,4］上有互不相同的10個(gè)零點(diǎn)，即日額產(chǎn)*€［—3,4］與廣&

的圖象有10個(gè)不同交點(diǎn).在坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖，可知當(dāng)o〈”手寸滿足題意.

1、確定函數(shù)零點(diǎn)常用方法

⑴解方程判定法，若方程易求解時(shí)用此法。

⑵零點(diǎn)存在判定定理法，常常要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等知識。

⑶