《微積分（第4版）》 教案 4.1中值定理

定理的分析與證明課題：4.1中值定理定理的分析與證明一、教學(xué)目標(biāo)識(shí)知目標(biāo)理解羅爾定理和拉格朗日定理及其幾何意義，了解柯西定理，了解拉格朗日定理的作用及其證明方法，會(huì)用拉格朗日定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明.能力目標(biāo)通過(guò)對(duì)羅爾定理和拉格朗日定理的幾何特征分析，提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以及由一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化能力.二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)三、教學(xué)方法、教學(xué)手段和教學(xué)思想教學(xué)方法：以數(shù)形結(jié)合教學(xué)為主，通過(guò)對(duì)羅爾定理和拉格朗日定理的幾何特征分析，揭示幾何圖形所反映出的內(nèi)在數(shù)量特征，發(fā)現(xiàn)和歸納出定理；通過(guò)對(duì)定理幾何特征的探究，揭示定理證明的思路，促進(jìn)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的提高.教學(xué)手段：利用多媒體課件輔助教學(xué).教學(xué)思想：定理的分析論證中滲透數(shù)形結(jié)合、由一般到特殊的思想.四、教學(xué)基本流程開始柯西定理開始柯西定理拉格朗日定理羅爾定理問(wèn)題幾何特征探究定理間的關(guān)系定理的應(yīng)用歸納總結(jié)布置作業(yè)五、教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖羅爾定理問(wèn)題探究一、羅爾定理觀察圖形特征，明確羅爾定理的幾何意義通過(guò)幾何特征的觀察，提出待(圖形動(dòng)畫)通過(guò)探究式教學(xué)，數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生體驗(yàn)定理發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，提高觀察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.羅爾定理提出羅爾定理(定理的條件和結(jié)論)師生歸納概括，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述羅爾定理（課件）通過(guò)抽象概括提煉出問(wèn)題的數(shù)量結(jié)構(gòu)特征，提高學(xué)生抽象概括和數(shù)學(xué)表達(dá)能力定理證明定理證明的幾何分析定理的證明教師啟發(fā)講解（課件）提高學(xué)生分析與邏輯推理能力拉格朗日定理問(wèn)題探究二、拉格朗日定理觀察圖形特征，明確拉格朗日定理的幾何意義通過(guò)幾何特征的觀察，提出待研究的問(wèn)題：拉格朗日定理(圖形動(dòng)畫)通過(guò)探究式教學(xué)，數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生體驗(yàn)定理發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，提高觀察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.拉格朗日定理拉格朗日定理(定理的條件和結(jié)論)師生歸納概括，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述拉格朗日定理（課件）通過(guò)抽象概括提煉出問(wèn)題的數(shù)量結(jié)構(gòu)特征，提高學(xué)生抽象概括和數(shù)學(xué)表達(dá)能力定理證明推論定理證明的幾何分析定理的證明教師啟發(fā)講解（課件）提高學(xué)生分析解決問(wèn)題能力了解構(gòu)造函數(shù)法拉格朗日增量公式拉格朗日定理的兩個(gè)推論教師啟發(fā)講解（課件）明確拉格朗日定理的核心作用柯西定理問(wèn)題探究三、柯西定理從拉格朗日定理的曲線參數(shù)方程出發(fā)引出柯西定理引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出柯西定理提高學(xué)生問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力柯西定理柯西定理(定理的條件和結(jié)論)學(xué)生歸納概括，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述柯西定理提高學(xué)生分析問(wèn)題能力定理證明定理的分析與證明教師啟發(fā)、學(xué)生探究提高學(xué)生分析、證明能力定理間關(guān)系四、三個(gè)定理之間關(guān)系教師講解把握定理之間的關(guān)系定理的應(yīng)用例題與練習(xí)拉格朗日定理為重點(diǎn)教師講解與學(xué)生練習(xí)相結(jié)合通過(guò)例題分析、練習(xí)訓(xùn)練把握中值定理及應(yīng)用歸納總結(jié)四、歸納總結(jié)主要知識(shí)點(diǎn)，內(nèi)容結(jié)構(gòu)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)把握教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，形成整體認(rèn)識(shí)布置作業(yè)書面作業(yè)教師布置作業(yè)，學(xué)生課下練習(xí)鞏固知識(shí)，反饋教學(xué)，提升認(rèn)識(shí)教案：4-1中值定理教案：4-1中值定理教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)說(shuō)明第四章一元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用第一節(jié) 微分中值定理一、羅爾（Rolle）中值定理圖形觀察：設(shè)光滑曲線弧AB，將弦AB平行移動(dòng)，在曲線弧AB間存在點(diǎn)C，使直線與曲線在點(diǎn)C處相切，且 y y=f(x)切線為水平.幾何特征：設(shè)f(x)為區(qū)間[a,b]上 A B可導(dǎo)函數(shù)，將弦AB平行移動(dòng)，在區(qū)間(a,b)內(nèi)總能找到某個(gè)值ξ，使直線與曲線在點(diǎn)(ξ,f(ξ))處切線為水平，即 O a ξ b xf'(ξ)=0.將此幾何特征用數(shù)量關(guān)系來(lái)表述就可得到下述羅爾定理.1（羅爾定理）若fx滿足條件1)在閉區(qū)間ab]2)在開區(qū)間ab3)在區(qū)間ab]端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即fa)fb)則在開區(qū)間abξ，使得fξ)=0． 羅爾定理證明分析，觀察滿足羅爾定理?xiàng)l件的幾個(gè)典型函數(shù)圖形.y y y=f(x) yy=f(x) y=f(x)O a ξ b x O a ξ b x O aξ b x對(duì)于上述圖形，顯然每個(gè)圖形中的曲線上至少有一點(diǎn)ξ,fξ))，在該點(diǎn)的fξ)=0這些點(diǎn)的特征為函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)，據(jù)此，可得羅爾定理的證明.通過(guò)幾何特征的觀察，提出觀察圖形特征提出問(wèn)題的證明思路證 由條件⑴知，函數(shù)f(x)必在區(qū)間[a,b]上取得最大值M與最小值m.（1）若M=m，則函數(shù)f(x)在[a,b]上是常數(shù)，因而f'(x)=0，這時(shí)(a,b)內(nèi)的任意一點(diǎn)都可以選作為點(diǎn)ξ.（2）MmM與m中至少有一個(gè)不等于端點(diǎn)處的函Mfa)ξab)使fξ)M，下面證fξ)=0由條件(2)知，f'(ξ)存在，即有l(wèi)imΔx→0

f(ξ+Δx)?f(ξ)=f'(ξ)，Δx 因?yàn)閒ξ)Mfx)在abξΔxab)，總有f(ξ+Δx)≤f(ξ)，即f(ξ+Δx)?f(ξ)≤0 Δx>0時(shí)，fξΔxfξ)0，由極限的保號(hào)性知，ΔxlimΔx→0

f(ξ+Δx)?f(ξ)≤0，Δx當(dāng)Δx<0時(shí)，f(ξ+Δx)?f(ξ)≥0，由極限的保號(hào)性知，ΔxlimΔx→0所以，f'(ξ)=0.證畢

f(ξ+Δx)?f(ξ)≥0，Δx需要說(shuō)明的是定理中三個(gè)條件缺少任何一個(gè)，結(jié)論將不一定成立（如下圖）y y yO a b x O

a b x

O a b x例1設(shè)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)；在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(1)=0，則存在ξ∈(0,1)，使ξf'(ξ)=?f(ξ)二、拉格朗日（Lagrange）中值定理fa)fb) 圖形觀察：連續(xù)曲線AByfx)

yy=f(x)A B

通過(guò)幾何特征的觀察，概括其數(shù)量關(guān)系.x軸的切線，將線段AB平行移動(dòng)，在區(qū)間ab)

O a ξ b x內(nèi)總能找到某個(gè)點(diǎn)ξ，使AB移動(dòng)到點(diǎn)(ξ,f(ξ))處與曲線相切且在該點(diǎn)的切線平行于AB.由于AB所在直線的斜率為k=f(b)?f(a)，曲線在點(diǎn)(ξ,f(ξ))的斜b?a率為f'(ξ)，所以f'(ξ)=f(b)?f(a)b?a將此幾何特征用數(shù)量關(guān)系來(lái)表述就可得到拉格朗日定理.定理2（拉格朗日中值定理）如果函數(shù)f(x)滿足條件：（1）在閉區(qū)間ab]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間)內(nèi)可導(dǎo)，那么，在ab)ξ，使得

提出待研究的問(wèn) f'(ξ)=f(b)?f(a)b?a

或f(b)?f(a)=f'(ξ)(b?a)拉格朗日定理的幾何意義是：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，則至少存在一點(diǎn)(ξ,f(ξ))，曲線在該點(diǎn)切線平行曲線兩端點(diǎn)的連線. 拉格朗日中值定理證明分析：由拉格朗日定理的幾何特征可知，若在定理中增加f(a)=f(b)條件，則化為羅爾定理；y

觀察與分析圖形特征提出問(wèn)題的證明思路即羅爾定理為拉格朗日定理的特殊情形。本著由一般向特殊轉(zhuǎn)化的原則，對(duì)拉格朗日定理的證明采取通過(guò)適當(dāng)手段將其 A轉(zhuǎn)化為羅爾定理形式.考慮到拉格朗日定理結(jié)論的幾何特征是在曲線弧上至少有一點(diǎn)，使曲線在 O a該點(diǎn)處的切線斜率與線段AB所在的直線斜率相等；也即曲線與線段AB所對(duì)

y=f(x)B)y=φ(x)ξ b x應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)相等或二函數(shù)之差的導(dǎo)數(shù)為零，這正與羅爾定理結(jié)論相一致.線段AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=f(a)+f(b)?f(a)(x?a)b?a曲線與線段AB所對(duì)應(yīng)的函數(shù)之差為φ(x)=f(x)?f(a)+f(b)?f(a)(x?a)b?a因此，函數(shù)φ(x)在[a,b]上滿足羅爾定理并反映出了拉格朗日定理的結(jié)論特征.證 作輔助函數(shù)φ(x)=f(x)?f(a)+f(b)?f(a)(x?a)b?a則φ(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且φ(a)=φ(b)，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)使得φ'(ξ)=0即 f'(ξ)?f(b)?f(a)=0 也即 f'(ξ)=f(b)?f(a)

注意對(duì)構(gòu)造性分函數(shù)構(gòu)造過(guò)程的強(qiáng)調(diào)b?a b?a思考：拉格朗日定理是否也可以采取構(gòu)造函數(shù)φ(x)=f(x)?f(b)?f(a)(x?a)b?a來(lái)證明，并說(shuō)明該輔助函數(shù)的幾何意義.在拉格朗日定理的證明中，所采用的證明方法稱為構(gòu)造函數(shù)法，該方法是證明φx的表達(dá)式構(gòu)造輔φx的表達(dá)式.若在區(qū)間[x,x+Δx]或[x+Δx,x]上使用拉格朗日定理，則有結(jié)論f(x+Δx)?f(x)=f'(x+θΔx)Δx(0<θ<1)拉格朗日中值定理是微分學(xué)的一個(gè)基本定理，拉格朗日中值定理的條件一般函數(shù)都滿足，所以應(yīng)用比較廣泛，在微分學(xué)中占有重要的地位．它建立了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的改變量和函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，從而使我們有可能用導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)在區(qū)間上的性態(tài)．推論1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)滿足f'(x)≡0，則在(a,b)內(nèi)f(x)C（C為常數(shù)）．推論2如果對(duì)(a,b)內(nèi)任意，均有f'(x)=g'(x)，則在(a,b)內(nèi)f(x)與g(x)之間只差一個(gè)常數(shù)，即f(x)=g(x)+C（為常數(shù)）．三、柯西（Cauchy）中值定理 x為參量，將曲線方程用參數(shù)方程

注意對(duì)構(gòu)造性分析方法的強(qiáng)調(diào)注意說(shuō)明公式的意義結(jié)合幾何特征進(jìn)X=g(x)Y=f(x)

(a≤x≤b)

行說(shuō)明這時(shí)曲線上某一點(diǎn)C(f(ξ),g(ξ))處切線斜率為f'(ξ)；連接曲線兩端點(diǎn)g'(ξ)A(g(a),g(b))與B(f(a),f(b))的弦所在直線的斜率為f(b)?f(a)，這樣，g(b)?g(a)由拉格朗日定理有 f(b)?f(a)=f'(ξ)

ξ∈(a,b)g(b)?g(a) g'(ξ)該結(jié)論反映了兩個(gè)函數(shù)之間導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，次定理為柯西定理.柯西中值定理）fx)gx)1)閉區(qū)間a,b]2)在開區(qū)間ab)3gx在ab)內(nèi)的每一點(diǎn)均不為

拉格朗日定理的進(jìn)一步推廣零，那么，在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得 f(b)?f(a)=f'(ξ)

ξ∈(a,b)g(b)?g(a) g'(ξ)gx)x，則可得到拉格朗日中值定理由此可以得到啟發(fā)，φxxgx)ba換成gbga)，便得到輔助函數(shù)Rolle定理Lagrange定理Cauchy定理 Rolle定理Lagrange定理Cauchy定理 φ(x)=f(x)?f(a)+f(b)?f(a)(g(x)?g(a))g(b)?g(a)為此，可以證明柯西定理.四、三個(gè)定理之間關(guān)系微分中值定理中三個(gè)定理之間的關(guān)系推廣 推廣 特例 特例微分中值定理建立了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量（整體性）與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（局部性）之間的聯(lián)系，搭建了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)改變量之間的橋梁，使導(dǎo)數(shù)成為研究函數(shù)性態(tài)的工具.五、例題與練習(xí)例1證明 arctanβ?arctanα≤β?α例2 求證x>0時(shí)，ex>x+13arcsinxarccosx=πx∈?112練習(xí)：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，其中ab>0，證明：存在ξ∈(a,b)，使af(b)?bf(a)=(b?a)[f(ξ)?ξf'(ξ)] 六、歸納總結(jié)以拉格朗日定理為重點(diǎn)定理?xiàng)l件結(jié)論主要作用羅爾定理(1)(2)(3)fff在[a,b]上連續(xù)；在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(a)=f(b)(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f'(ξ)=0．討論方程