2025高考備考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)突破2　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合

突破2概率與統(tǒng)計(jì)的綜合學(xué)生用書P250命題點(diǎn)1概率與統(tǒng)計(jì)圖表綜合例1[2022新高考卷Ⅱ]在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70）的概率.（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1％，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6％.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50），求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.解析（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡x＝10×（5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002）＝47.9.（2）該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70）的概率P＝（0.012＋0.017×2＋0.023＋0.020）×10＝0.89.（3）設(shè)從該地區(qū)任選一人，年齡位于區(qū)間[40，50）為事件A，患這種疾病為事件B，則P（A）＝16％＝0.16，P（B）＝0.001，由頻率分布直方圖知這種疾病患者年齡位于區(qū)間[40，50）的概率為0.023×10＝0.23，即P（A｜B）＝0.23，所以P（AB）＝P（B）P（A｜B）＝0.001×0.23＝0.00023，所以從該地區(qū)任選一人，若年齡位于區(qū)間[40，50），則此人患這種疾病的概率為P（B｜A）＝P（AB）P方法技巧此類問題的主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識(shí)和使用這些圖表是解決此類問題的關(guān)鍵.在弄清統(tǒng)計(jì)圖表的含義的基礎(chǔ)上要掌握好樣本的數(shù)字特征、各類概率及隨機(jī)變量的分布列、均值與方差的求解方法.訓(xùn)練1[2023重慶市模擬]某校隨機(jī)抽取100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：h）的頻率分布直方圖如下.若被抽取的這100名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8h的有30人.（1）求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)a，b的值；（2）每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0，6.5）的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽取2人進(jìn)行電話訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；（3）依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0，6.5）和[7.0，7.5）的學(xué)生中按比例分層隨機(jī)抽樣抽取8人，再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0，6.5）的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析（1）由（b＋0.22）×0.5×100＝30，得b＝0.38.∵0.5×（0.14＋a＋0.42＋0.58＋0.38＋0.22）＝1，∴a＝0.26.（2）從7名學(xué)生中抽取2人進(jìn)行電話訪談的基本事件數(shù)為C72記抽取的學(xué)生有男生為事件A，則P（A）＝C42＋記抽取的學(xué)生有女生為事件B，則P（AB）＝C41C則P（B｜A）＝P（AB）P（A）（3）從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0，6.5）和[7.0，7.5）的學(xué)生中按比例分層隨機(jī)抽樣抽取8人，抽取的8人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0，6.5）的人數(shù)為14×8＝2，每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[7.0，7.5）的人數(shù)為34×8設(shè)選中的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0，6.5）的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2，P（X＝0）＝C63C83＝514，P（X＝1）＝C21C62C83∴X的分布列為X012P5153∴X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝0×514＋1×1528＋2×328命題點(diǎn)2概率與回歸分析綜合例2[2023湖北荊荊宜三校聯(lián)考]近年來，我國(guó)大學(xué)生畢業(yè)人數(shù)呈逐年上升趨勢(shì)，各省市出臺(tái)優(yōu)惠政策鼓勵(lì)高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè).某市統(tǒng)計(jì)了該市其中四所大學(xué)2022年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)（單位：千人），得到下表：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)2022年畢業(yè)生人數(shù)x/千人3456自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y/千人0.10.20.40.5（1）已知y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝a＋b^x（2）假設(shè)該市政府對(duì)選擇自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生每人發(fā)放1萬(wàn)元的創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼.（i）若該市E大學(xué)2022年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府要給E大學(xué)選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生發(fā)放創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼的總金額；（ii）若A大學(xué)的畢業(yè)生中小明、小紅選擇自主創(chuàng)業(yè)的概率分別為p，2p－1（12＜p＜1），該市政府對(duì)小明、小紅兩人的自主創(chuàng)業(yè)的補(bǔ)貼總金額的期望不超過1.4萬(wàn)元，求p的取值范圍參考公式及參考數(shù)據(jù)：b^＝∑i=1n（xi－x－)(yi－y－）∑解析（1）由題意得x－＝3+4+5+64＝4.5，y－＝0.1+0.2+0.4+0.54＝所以a＝y(tǒng)－－b^x－＝0.3－0.14×故y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.14x－0.33.（2）（i）將x＝7代入（1）中的回歸方程，得y＝0.14×7－0.33＝0.65，所以估計(jì)該市政府需要給E大學(xué)選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生發(fā)放創(chuàng)業(yè)補(bǔ)貼的總金額為0.65×1000（ii）設(shè)小明、小紅兩人中選擇自主創(chuàng)業(yè)的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2，P（X＝0）＝（1－p）（2－2p）＝2p2－4p＋2，P（X＝1）＝（1－p）（2p－1）＋p（2－2p）＝－4p2＋5p－1，P（X＝2）＝p（2p－1）＝2p2－p，則E（X）＝（2p2－4p＋2）×0＋（－4p2＋5p－1）×1＋（2p2－p）×2＝3p－1≤1.4，得p≤45因?yàn)?2＜p＜1，所以12＜p≤故p的取值范圍為（12，45方法技巧概率與回歸分析綜合問題的解題思路（1）充分利用題目中提供的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)（散點(diǎn)圖）作出判斷，確定是線性問題還是非線性問題.求解時(shí)要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用變形公式，以達(dá)到快速準(zhǔn)確運(yùn)算的目的.（2）明確所求問題所屬事件的類型，準(zhǔn)確構(gòu)建概率模型解題.訓(xùn)練2某校課題小組為了研究糧食產(chǎn)量與化肥施用量以及與化肥有效利用率間的關(guān)系，收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)做了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.其中每畝化肥施用量為x（單位：千克），糧食畝產(chǎn)量為y（單位：百千克）.∑i=110x∑i=1∑i=1∑∑i=110t∑i=1∑i=1∑65091.552.51478.630.5151546.5表中ti＝lnxi，zi＝lnyi（i＝1，2，…，10）.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷y＝cxd作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于每畝化肥施用量x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型比較適宜.請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)每畝化肥施用量為27千克時(shí)，糧食畝產(chǎn)量y的值.（預(yù)測(cè)時(shí)取e≈2.7）（2）結(jié)合文獻(xiàn)可知，當(dāng)化肥施用量達(dá)到一定程度，糧食產(chǎn)量的增長(zhǎng)將趨于停滯，已知某化肥有效利用率Z～N（0.54，0.022），那么這種化肥的有效利用率超過56％的概率為多少？附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回歸直線y^＝b^x＋a^的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為b^＝∑i=1nxiyi－nxy∑i=1nxi2－nx2，a^＝y(tǒng)－b^x；②若隨機(jī)變量Z～N（μ，σ2），則有P（解析（1）對(duì)y＝cxd兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得lny＝dlnx＋lnc，又t＝lnx，z＝lny，所以z＝dt＋lnc.由題表中數(shù)據(jù)得t＝1.5，z＝1.5，所以d^＝lnc＝z－d^t＝1，所以c＝所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝ex1當(dāng)x＝27時(shí)，y＝3e≈8.1.（2）根據(jù)Z服從正態(tài)分布N（0.54，0.022）可知，P（Z＞0.56）＝1－P（0.54－0.命題點(diǎn)3概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合例3[2023全國(guó)卷甲]一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.（1）設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對(duì)照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（i）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：＜m≥m對(duì)照組試驗(yàn)組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95％的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：K2＝n（P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解析（1）X的所有可能取值為0，1，2，P（X＝0）＝C20×（1－12）×（1－12）＝14，P（X＝1）＝C21×12×（1－12）＝12，P（X＝2）＝C22×12所以X的分布列為X012P111E（X）＝0×14＋1×12＋2×1（2）（i）根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以知道40只小白鼠體重增加量的中位數(shù)m＝23.2+23列聯(lián)表如下：＜m≥m對(duì)照組614試驗(yàn)組146（ii）根據(jù)（i）中結(jié)果可得K2＝40×（6×6所以有95％的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.方法技巧概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合問題的解題思路（1）收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得2的值后進(jìn)行比較并判斷；（2）按照隨機(jī)變量滿足的概率模型求解.訓(xùn)練3[2022新高考卷Ⅰ]一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090（1）能否有99％的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，P（B｜A）（i）證明：R＝P（A｜（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A｜B），P（A｜B）的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出R的估計(jì)值.附：K2＝n（P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析（1）K2＝200×（40×90－60×10（2）（i）R＝P（B｜由題意知，證明P（B｜左邊＝P（AB）右邊＝P（AB）左邊＝右邊，故R＝P（A｜（ii）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知P（A｜B）＝40100＝25，P（A｜B）＝10100且P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝35，P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝9所以R＝2535×1.[命題點(diǎn)1]某科技公司開發(fā)出一款生態(tài)環(huán)保產(chǎn)品.已知該環(huán)保產(chǎn)品每售出1件預(yù)計(jì)利潤(rùn)為0.4萬(wàn)元，當(dāng)月未售出的環(huán)保產(chǎn)品，每件虧損0.2萬(wàn)元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，該環(huán)保產(chǎn)品的市場(chǎng)月需求量x（單位：件）在[155，205]內(nèi)取值，將月需求量區(qū)間平均分成5組，以各組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的月需求量，得到如圖所示的頻率分布折線圖.（1）請(qǐng)根據(jù)頻率分布折線圖，估計(jì)該環(huán)保產(chǎn)品的市場(chǎng)月需求量的平均值及方差；（2）以頻率分布折線圖的頻率估計(jì)概率，若該公司計(jì)劃環(huán)保產(chǎn)品的月產(chǎn)量n∈[180，190]，n∈N*（單位：件），求月利潤(rùn)Y（單位：萬(wàn)元）的數(shù)學(xué)期望的最大值.參考數(shù)據(jù)：∑i=15xi2pi＝32850，xi是各組區(qū)間中點(diǎn)值，pi是各組月需求量對(duì)應(yīng)的頻率，i＝1，2解析（1）由題意，得該環(huán)保產(chǎn)品的市場(chǎng)月需求量的平均值x＝160×0.05＋170×0.2＋180×0.4＋190×0.3＋200×0.05＝181（件）.解法一該環(huán)保產(chǎn)品的市場(chǎng)月需求量的方差s2＝∑i=15xi2pi－x2解法二s2＝∑i（2）設(shè)市場(chǎng)月需求量為M件，由題意知，M的所有可能值為160，170，180，190，200，則M的分布列為M160170180190200P0.050.20.40.30.05當(dāng)180≤n≤190，n∈N*時(shí)，若市場(chǎng)月需求量為160，則Y＝96－0.2n；若市場(chǎng)月需求量為170，則Y＝102－0.2n；若市場(chǎng)月需求量為180，則Y＝108－0.2n；若市場(chǎng)月需求量為190或200，則Y＝0.4n.故E（Y）＝（96－0.2n）×0.05＋（102－0.2n）×0.2＋（108－0.2n）×0.4＋0.4n×0.35＝68.4＋0.01n.又n∈[180，190]，故當(dāng)n＝190時(shí)，月利潤(rùn)Y的數(shù)學(xué)期望取得最大值，為70.3萬(wàn)元.2.[命題點(diǎn)2/多選/2023沈陽(yáng)市三檢]下列命題中正確的是（ABD）A.已知一組數(shù)據(jù)6，6，7，8，10，12，則這組數(shù)據(jù)的50％分位數(shù)是7.5B.已知隨機(jī)變量X～N（2，σ2），且P（X＞3）＝0.3，則P（1＜X＜2）＝0.2C.已知隨機(jī)變量Y～B（10，12），則E（Y）＝D.已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^＝－2x＋3，則y與x解析數(shù)據(jù)6，6，7，8，10，12的50％分位數(shù)，即中位數(shù)，為7+82＝7.5，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)殡S機(jī)變量X～N（2，σ2），且P（X＞3）＝0.3，所以P（2＜X＜3）＝P（X＞2）－P（X＞3）＝0.5－0.3＝0.2，則P（1＜X＜2）＝P（2＜X＜3）＝0.2，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)殡S機(jī)變量Y～B（10，12），所以E（Y）＝10×12＝5，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程y^＝－2x＋3中，x的系數(shù)為負(fù)，所以y與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，所以選項(xiàng)D3.[命題點(diǎn)3/2024平許濟(jì)洛第一次質(zhì)檢]“馬街書會(huì)”是流行于河南省寶豐縣的傳統(tǒng)民俗活動(dòng)，為國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.每年農(nóng)歷正月十三為書會(huì)正日，屆時(shí)來自各地的說書藝人負(fù)鼓攜琴，匯集于此，說書亮藝，河南墜子、道情、琴書等曲種應(yīng)有盡有，規(guī)模壯觀.為了解人們對(duì)該活動(dòng)的喜愛程度，現(xiàn)隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表：?jiǎn)挝唬喝瞬幌矏巯矏酆嫌?jì)男性90120女性25合計(jì)200（1）完成2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷人們對(duì)該活動(dòng)的喜愛程度是否與性別有關(guān)聯(lián).（2）為宣傳曲藝文化知識(shí)，當(dāng)?shù)匚幕衷跁鴷?huì)上組織了戲曲知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).活動(dòng)規(guī)定從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題進(jìn)行作答.假設(shè)在8道備選題中，戲迷甲正確完成每道題的概率都是34，且每道題正確完成與否互不影響；戲迷乙只能正確完成其中的6道題①求戲迷甲至少正確完成其中3道題的概率；②設(shè)隨機(jī)變量X表示戲迷乙正確完成題的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋bα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解析（1）補(bǔ)全的2×2列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬喝瞬幌矏巯矏酆嫌?jì)男性3090120女性255580合計(jì)55145200零假設(shè)為H0：人們對(duì)該活動(dòng)的喜愛程度與性別無(wú)關(guān).根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到χ2＝200×（30根據(jù)小概率值α＝0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此我們可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為人們對(duì)該活動(dòng)的喜愛程度與性別無(wú)關(guān).（2）①記“戲迷甲至少正確完成其中3道題”為事件A，則P（A）＝C43（34）314＋C44（②X的所有可能取值為2，3，4，P（X＝2）＝C22C62C84＝1570＝314，P（XP（X＝4）＝C20C64X的分布列為X234P343X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝2×314＋3×47＋4×3學(xué)生用書·練習(xí)幫P3981.第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡(jiǎn)稱“成都大運(yùn)會(huì)”）于2023年7月28日在四川成都開幕，這是中國(guó)西部第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動(dòng)會(huì).為普及大運(yùn)會(huì)相關(guān)知識(shí)，營(yíng)造良好的賽事氛圍，某學(xué)校舉行“大運(yùn)會(huì)百科知識(shí)”答題活動(dòng)，并隨機(jī)抽取了20名學(xué)生，他們的答題得分（滿分100分）的頻率分布直方圖如圖所示（分組區(qū)間為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]）.（1）求頻率分布直方圖中a的值及這20名學(xué)生得分的80％分位數(shù)；（2）若從樣本中任選2名得分在[50，70）內(nèi)的學(xué)生，求這2人中恰有1人的得分在[60，70）內(nèi)的概率.解析（1）由頻率分布直方圖知（2a＋0.020＋0.025＋0.035）×10＝1，所以a＝0.010.設(shè)80％分位數(shù)為x，由題圖可知前3組的頻率之和為0.65，前4組的頻率之和為0.9，所以x∈[80，90），且x＝80＋0.8－0故這20名學(xué)生得分的80％分位數(shù)為86.（2）由已知可得得分在[50，60）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為0.01×10×20＝2，得分在[60，70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為0.02×10×20＝4.解法一（列舉法）記得分在[50，60）內(nèi)的學(xué)生為a，b，得分在[60，70）內(nèi)的學(xué)生為c，d，e，f.則所有的樣本點(diǎn)為{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15個(gè).其中恰有1人的得分在[60，70）內(nèi)的樣本點(diǎn)為{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，共8個(gè).故這2人中恰有1人的得分在[60，70）內(nèi)的概率P＝815解法二（排列組合法）從這6人中任選2人，所有基本事件種數(shù)為C62＝15，滿足題意的基本事件種數(shù)為C41C21＝8，故這2人中恰有1人的得分在[602.在高三一輪復(fù)習(xí)中，大單元復(fù)習(xí)教學(xué)法日漸受到老師們的喜愛，為了檢驗(yàn)這種復(fù)習(xí)方法的效果，在A，B兩所學(xué)校的高三年級(jí)用數(shù)學(xué)科目進(jìn)行了對(duì)比測(cè)試.已知A校采用大單元復(fù)習(xí)教學(xué)法，B校采用傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)法.在經(jīng)歷兩個(gè)月的實(shí)踐后舉行了考試，現(xiàn)從A，B兩校高三年級(jí)各隨機(jī)抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）在各個(gè)分?jǐn)?shù)段對(duì)應(yīng)的人數(shù)如下表所示：[0，90）[90，110）[110，130）[130，150]A校6145030B校14263822（1）若把數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分評(píng)定為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，低于110分評(píng)定為數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀，完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析復(fù)習(xí)教學(xué)法與評(píng)定結(jié)果是否有關(guān)；單位：人數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀總計(jì)A校B?？傆?jì)（2）在A校抽取的100名學(xué)生中按分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱0，90）和[90，110）內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記抽取的3人中成績(jī)?cè)赱0，90）內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋bα0.100.010.001xα2.7066.63510.828解析（1）由題意完成2×2列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬喝藬?shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀總計(jì)A校2080100B校4060100總計(jì)60140200零假設(shè)為H0：復(fù)習(xí)教學(xué)法與評(píng)定結(jié)果無(wú)關(guān).則χ2＝200×（20×60－40故根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為復(fù)習(xí)教學(xué)法與評(píng)定結(jié)果有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.（2）按分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱0，90）和[90，110）內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，則成績(jī)?cè)赱0，90）內(nèi)的人數(shù)為3，成績(jī)?cè)赱90，110）內(nèi)的人數(shù)為7，故X的所有可能取值為0，1，2，3，P（X＝0）＝C30C73C103＝724，P（X＝1）＝C31C72C103＝2140，P（X＝故X的分布列為X0123P72171E（X）＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×13.[2024廣西玉林模擬]2023年5月10日，長(zhǎng)征七號(hào)遙七運(yùn)載火箭劍指蒼穹，搭載天舟六號(hào)貨運(yùn)飛船為中國(guó)空間站運(yùn)送補(bǔ)給物資，為中國(guó)空間站的航天員們長(zhǎng)時(shí)間探索宇宙奧秘提供強(qiáng)有力的后援支持.5月30日，神舟十六號(hào)發(fā)射成功.在“神箭”“神舟”的護(hù)送下，景海鵬、朱楊柱、桂海潮3名中國(guó)航天員順利進(jìn)入太空，開啟為期5個(gè)月的太空科研之旅.某校部分學(xué)生十分關(guān)注中國(guó)空間站的發(fā)展，若將累計(jì)關(guān)注中國(guó)空間站發(fā)展的消息6次及以上者稱為“航天達(dá)人”，未達(dá)到6次者稱為“非航天達(dá)人”.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取200人進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表所示：?jiǎn)挝唬喝撕教爝_(dá)人非航天達(dá)人合計(jì)男8040120女305080合計(jì)11090200（1）依據(jù)小概率值α＝0.01的2獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否為“航天達(dá)人”與性別有關(guān)聯(lián)？（2）①?gòu)碾S機(jī)抽取的這200名學(xué)生中采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)抽取3人.記事件A＝“至少有2名是男生”，事件B＝“至少有2名既是‘航天達(dá)人’又是男生”，事件C＝“至多有1名既是‘航天達(dá)人’又是女生”.試計(jì)算PAPBAPC②由①中P（ABC）與P（A）P（B｜A）P（C｜AB）的大小關(guān)系能否推廣到更一般的情形？請(qǐng)寫出結(jié)論，并說明理由.參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝n（ad－bc）2（a＋bα0.100.050.01xα2.7063.8416.635解析（1）零假設(shè)為H0：是否為“航天達(dá)人”與性別無(wú)關(guān)聯(lián).根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得2＝200×（80×50－40×所以根據(jù)小概率值α＝0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0即認(rèn)為是否為“航天達(dá)人”與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.（2）由題意可知：抽取的20人中，男“航天達(dá)人”有8人，男“非航天達(dá)人”有4人，女“航天達(dá)人”有3人，女“非航天達(dá)人”有5人.①事件ABC表示“抽取的3人為2名男生1名女生，男生都是‘航天達(dá)人’”和“抽取的3人為3名男生，其中至少2人是‘航天達(dá)人’”，設(shè)D＝“抽取的3人為2名男生1名女生，男生都是‘航天達(dá)人’”，E＝“抽取的3人為3名男生，其中至少2人是‘航天達(dá)人’”，P（D）＝C82（C31＋C51）C所以P（ABC）＝P（D）＋P（E）＝56285＋1495＝P（A）P（B｜A）P（C｜AB）＝C122C81＋C所以P（ABC）＝P（A）P（B｜A）P（C｜AB）.②由①中P（ABC）與P（A）P（B｜A）P（C｜AB）相等的關(guān)系可以推廣到更一般的情形，即對(duì)于一般的三個(gè)事件A，B，C，有P（ABC）＝P（A）P（B｜A）P（C｜AB）.理由是：P（A）P（B｜A）P（C｜AB）＝P（A）·P（AB）P（A）·4.[2023河南駐馬店6月模擬]2023年是充滿挑戰(zhàn)的一年，為應(yīng)對(duì)復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，各地出臺(tái)了促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的各項(xiàng)政策，并取得了較好的效果.某市零售行業(yè)為促進(jìn)消費(fèi)，開展了新一輪的讓利促銷活動(dòng)，活動(dòng)之初，利用各種媒體進(jìn)行了大量的廣告宣傳，為了解傳媒對(duì)本次促銷活動(dòng)的影響，在本市內(nèi)隨機(jī)抽取了6個(gè)大型零售賣場(chǎng)（分別編號(hào)為1，2，3，…，6），得到其宣傳費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）和銷售額y（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：123456x/萬(wàn)元2356812y/萬(wàn)元303440455060（1）求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)宣傳費(fèi)用至少多少萬(wàn)元時(shí)（結(jié)果取整數(shù)），銷售額能突破100萬(wàn)元.（2）經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，人們往往關(guān)注投入和產(chǎn)出比值，在這次促銷活動(dòng)中，設(shè)銷售額與投入的宣傳費(fèi)用的比值為λ，若λ＞10，稱這次宣傳策劃是高效的；否則為非高效的.從這6家賣場(chǎng)中隨機(jī)抽取3家.①若抽取的3家中含有宣傳策劃高效的賣場(chǎng)，求抽取的3家中恰有一家是宣傳策劃高效賣場(chǎng)的概率；②若抽取的3家賣場(chǎng)中宣傳策劃高效的有X家，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：參考數(shù)據(jù)∑i=16xiyi＝1752，經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝b^x＋a中b^和a的最小二乘估計(jì)分別為b^＝∑i解析（1）x＝2+3+5+6+8+126＝6y＝30+34+40+45+50+606＝259∑i=16xi2＝22＋32＋52＋62＋82所以b^＝∑i=16xa＝y(tǒng)－b^x＝2596－3×6＝1516，所以y＝3令3x＋1516＝100，解得x＝44918故預(yù)測(cè)當(dāng)宣傳費(fèi)用至少為25萬(wàn)元時(shí)，銷售額能突破100萬(wàn)元.（2）①記事件A為“抽取的3家中含有宣傳策劃高效的賣場(chǎng)”，事件B為“抽取的3家賣場(chǎng)中恰有1家為宣傳策劃高效賣場(chǎng)”，由已知數(shù)據(jù)，賣場(chǎng)1，2的宣傳策劃是高效的，賣場(chǎng)3，4，5，6的宣傳策劃是非高效的，P（A）＝C42C21＋C41C22C63＝45，P（故所求概率為34②由題意知X的所有可能取值為0，1，2，P（X＝0）＝C43C63＝15，P（X＝1）＝C42C21C6故X的分布列為X012P131所以E（X）＝0×15＋1×35＋2×1（【另解】X服從超幾何分布H（6，2，3），所以E（X）＝3×265.某次考試中500名學(xué)生的物理成績(jī)（滿分為150分）服從正態(tài)分布N（100，17.52），數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.（1）如果成績(jī)大于135分為特別優(yōu)秀，那么本次考試中物理、數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的學(xué)生大約各有多少人？（2）如果物理和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的學(xué)生共有6人，從（1）中的這些學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科都特別優(yōu)秀的學(xué)生有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)及小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以認(rèn)為物理特別優(yōu)秀的學(xué)生，數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀？附：①若X～N（μ，σ2），則P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545.②χ2＝n（ad－bc）2（a＋b③α0.010.0050.001xα6.6357.87910.828解析（1）因?yàn)槲锢沓煽?jī)（記為Y）服從正態(tài)分布N（100，17.52），所以物理特別優(yōu)秀的概率為P（Y＞135）≈（1－0.9545）×12＝0.02275數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的概率為0.0016×20×34＝0.024故物理特別優(yōu)秀的學(xué)生大約有500×0.02275≈11（人），數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的學(xué)生大約有500×0.024＝12（人）.（2）物理和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的學(xué)生有6人，則由（1）可知只有一科特別優(yōu)秀的學(xué)生有11人.X的所有可能取值為0，1，2，3，P（X＝0）＝C113C173＝33136，P（X＝1P（X＝2）＝C111C62C173＝33136，