2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺突破復(fù)習(xí)抽樣方法與總體分布的估計(jì)

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺突破復(fù)習(xí)抽樣方法與總體分布的估計(jì)高考

數(shù)學(xué)考點(diǎn)清單題型清單目錄考點(diǎn)

抽樣方法與總體分布的估計(jì)題型1用統(tǒng)計(jì)圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征題型2樣本的數(shù)字特征及其應(yīng)用考點(diǎn)抽樣方法與總體分布的估計(jì)1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣的比較類別簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分層隨機(jī)抽樣特點(diǎn)從總體中逐個(gè)抽取將總體分成互不交叉的層,然后

在各層中按同一比例抽樣適用范圍總體個(gè)數(shù)較少總體由差異明顯的幾部分組成共同點(diǎn)(1)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等;(2)一般是不放回抽樣相互聯(lián)系分層隨機(jī)抽樣中,各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣2.統(tǒng)計(jì)圖表(1)常見統(tǒng)計(jì)圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖等.(2)畫頻率分布直方圖的步驟①求極差;②決定組數(shù)與組距;③將數(shù)據(jù)分組;④列出頻率分布表;⑤畫出頻率分布直方圖.3.樣本的數(shù)字特征(1)百分位數(shù)計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟①按從小到大的順序排列原始數(shù)據(jù);②計(jì)算i=n×p%;③若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百

分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).注意中位數(shù)是第50百分位數(shù).(2)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)最高的小長(zhǎng)方形下底邊中點(diǎn)的

橫坐標(biāo)中位數(shù)將數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)

的順序依次排列,處在最中間位

置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)

的平均數(shù))把頻率分布直方圖劃分為左右

兩個(gè)面積相等的部分時(shí),分界線

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積與小長(zhǎng)方

形下底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘積之

和(3)方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差:s2=

[(x1-

)2+(x2-

)2+…+(xn-

)2]=

(xi-

)2或

-

.標(biāo)準(zhǔn)差:s=

=

注意方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述了一組數(shù)據(jù)與平均數(shù)的離散程度,反映了一組數(shù)據(jù)相對(duì)于平均數(shù)的

波動(dòng)情況,標(biāo)準(zhǔn)差和方差越大,說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性越大.即練即清1.判斷正誤(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性不一樣,與先后有關(guān).

(

)(2)分層隨機(jī)抽樣中,每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).

(

)(3)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).

(

)(4)一組數(shù)據(jù)的方差越大,說明這組數(shù)據(jù)越集中.(

)(5)頻率分布直方圖中,小矩形的面積越大,表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.

(

)2.數(shù)據(jù)12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位數(shù)是

.×××√√23題型1用統(tǒng)計(jì)圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征1.頻率分布直方圖有以下幾個(gè)特點(diǎn):(1)縱軸表示頻率/組距;(2)頻率分布直方圖中各個(gè)

小矩形高的比就是相應(yīng)各組的頻率之比;(3)頻率分布直方圖中各小矩形的面積是相應(yīng)

各組的頻率,所有小矩形的面積之和等于1,即頻率之和為1.2.用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征(1)平均數(shù):

=

xiSi(xi表示第i個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo),Si表示第i個(gè)小矩形的面積).(2)方差:s2=

(xi-

)2·Si.(3)眾數(shù):最高小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).(4)中位數(shù):把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)面積相等的部分時(shí),分界線與橫軸交點(diǎn)

的橫坐標(biāo).(5)百分位數(shù):類比中位數(shù),百分位數(shù)所在直線把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)部分,

左邊所有矩形的面積和為p%.中位數(shù)是第50百分位數(shù).求解公式:已知頻率分布直方圖的組距為d.①找出百分位數(shù)所在的矩形區(qū)間[a,b);②第p百分位數(shù)=a+d·

.例1某網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷部門隨機(jī)抽查了某市200名網(wǎng)友在11月11日的網(wǎng)購(gòu)金額,所得數(shù)據(jù)如

下表:網(wǎng)購(gòu)金額合計(jì)(單位:千元)人數(shù)頻率(0,1]160.08(1,2]240.12(2,3]xp(3,4]yq(4,5]160.08(5,6]140.07合計(jì)2001.00已知網(wǎng)購(gòu)金額不超過3千元與超過3千元的人數(shù)比恰為3∶2.(1)試確定x,y,p,q的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖);(2)估計(jì)網(wǎng)購(gòu)金額的中位數(shù).

解析

(1)根據(jù)頻率分布表和題意建立方程組

解得

所以p=0.4,q=0.25,補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示.

(2)由(1)可知,網(wǎng)購(gòu)金額不高于2千元的頻率為0.08+0.12=0.2,不高于3千元的頻率為0.08

+0.12+0.4=0.6,所以網(wǎng)購(gòu)金額的中位數(shù)在(2,3]內(nèi),故網(wǎng)購(gòu)金額的中位數(shù)約為3-

=2.75千元.即練即清1.(2018課標(biāo)Ⅰ文,19,12分)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)頻數(shù)13249265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)頻數(shù)151310165(1)作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;

(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率;(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水.(一年按365天計(jì)算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)解析(1)如圖.

(4分)(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計(jì)值為0.48.

(8分)(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為

=

×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.

(10分)該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為

=

×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.估計(jì)使用節(jié)水龍頭后,一年可節(jié)省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).

(12分)題型2樣本的數(shù)字特征及其應(yīng)用1.平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平,而方差、標(biāo)準(zhǔn)差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波

動(dòng)的大小,標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)離散程度越大,越不穩(wěn)定;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的

離散程度越小,越穩(wěn)定.2.用樣本估計(jì)總體,就是利用樣本的數(shù)字特征來(lái)描述總體的數(shù)字特征.例2

(2021全國(guó)乙文,17,12分)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備,為檢驗(yàn)新設(shè)備生

產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高,用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品,得到各

件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下:舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為

和

,樣本方差分別記為

和

.(1)求

,

,

,

;(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高

如果

-

≥2

,則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高,否則不認(rèn)為有顯著提高

.

解析

(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),利用平均數(shù)和方差的計(jì)算公式求得:

=

+10.0=10.0,

=

+10.0=10.3,(求一些比較大的數(shù)的平均數(shù)時(shí),可以采用本題求平均數(shù)的方法,既降低錯(cuò)誤率,也能提

高做題速度)

=

[(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2]=0.036.

=

[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.(2)∵

-

=10.3-10=0.3=

=

,2

=2

=2×

=

,且

=

>

,∴

-

≥2

成立,∴認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.即練即清2.(多選)(2023山東淄博一模,9)某學(xué)校為普及安全知識(shí),對(duì)