人教版八年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練專題10勾股定理與高與中線有關(guān)的計算(原卷版+解析)

專題10勾股定理與高與中線有關(guān)的計算【例題講解】在中，分別是的中線，高，若，則線段的長為__________．【詳解】根據(jù)勾股定理，得DE=，∵CD=5，，AD=BD，∴AD=CD=BD=5，當點E在點D的下部時，AC=；當點E在點D的上部時，AC=；故答案為：6或8．【綜合解答】1．在中，AD是BC邊上的高，，則的面積為（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或302．如圖，中，，三條高AD，BE，CF交于點G，已知，，則CG長為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．33．若中，，，高，則的長為（

）A．28或8 B．8 C．28 D．以上都不對4．如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則△ABC中AB邊上的高為（

）A． B． C．3 D．5．如圖，在4×7的正方形網(wǎng)格中，有一個格點三角形ABC，那么BC邊上的高與AB的比值為(

)A． B． C． D．6．在中，邊上的中線，則的面積為（

）A．6 B．7 C．8 D．97．在中，分別是的中線，高，若，則線段的長為__________．8．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，則AC邊上的高是___________．9．已知在中，，，，則的面積為_______．10．已知鈍角三角形的三邊分別為2，3，4，則該三角形的面積為__________．11．在中，，邊上的高，，的長為________．12．在中，，，上的高，則的面積是______．13．在中，，，邊上的高，則的周長為______．14．在等腰中，，，則底邊上的高等于__________．15．在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的長是________．16．在中，AB=AC=13，BC=10，則邊BC上的中線等于_________________．三、解答題17．如圖，在中，，求的面積．18．如圖，正方形網(wǎng)格的每個小方格邊長均為1，△ABC的頂點在格點上．(1)判斷△ABC的形狀，并說明理由；(2)求△ABC的面積及AC邊上的高．19．在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB邊上的高CD=12，求△ABC的周長.20．如圖，在中，，，是邊上的高，，求的長.專題10勾股定理與高與中線有關(guān)的計算【例題講解】在中，分別是的中線，高，若，則線段的長為__________．【詳解】根據(jù)勾股定理，得DE=，∵CD=5，，AD=BD，∴AD=CD=BD=5，當點E在點D的下部時，AC=；當點E在點D的上部時，AC=；故答案為：6或8．【綜合解答】1．在中，AD是BC邊上的高，，則的面積為（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或30答案：D【解析】分析：由勾股定理分別求出BD和CD，分AD在三角形的內(nèi)部和AD在三角形的外部兩種情況，由三角形面積公式計算即可．【詳解】解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD==12，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD==，分兩種情況：①如圖1，當AD在△ABC的內(nèi)部時，BC=12+3=15，則△ABC的面積=BC×AD=×15×4=30；②如圖2，當AD在△ABC的外部時，BC=12-3=9，則△ABC的面積=BC×AD=×9×4=18；綜上所述，△ABC的面積為30或18，故選：D．【點睛】本題考查的是勾股定理、三角形面積以及分類討論等知識，熟練掌握勾股定理，進行分類討論是解題的關(guān)鍵．2．如圖，中，，三條高AD，BE，CF交于點G，已知，，則CG長為（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3答案：B【解析】分析：證明為等腰直角三角形，求出AE，證明為等腰直角三角形，求出AC，進一步求出CE，證明為等腰直角三角形，即可求出．【詳解】解：∵，，∴為等腰直角三角形，∵，∴，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∵，，∴為等腰直角三角形，∴，故選：B．【點睛】本題考查三角形的高，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是求出CE，再利用為等腰直角三角形求解CG．3．若中，，，高，則的長為（

）A．28或8 B．8 C．28 D．以上都不對答案：A【解析】分析：本題應(yīng)分兩種情況，①如果角C是鈍角，此時高AD在三角形的外部，在RT△ABD中利用勾股定理求出BD，在RT△ACD中利用勾股定理求出CD，然后可得出BC=BD-CD，繼而可得出△ABC的周長；②如果角C是銳角，利用勾股定理求出BD、BC，根據(jù)BC=BD+CD求出BC，進而可求出周長．【詳解】解：①如果角C是鈍角，在RT△ABD中，BD==18，在RT△ACD中，CD==10，∴BC=18-10=8；②如果角C是銳角，此時高AD在三角形的內(nèi)部，在RT△ABD中，BD==18，在RT△ACD中，CD==10，∴BC=18+10=28；綜上可得BC的長為28或8．故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理及三角形的知識，分類討論是解答本題的關(guān)鍵，如果不細心很容易將∠C為鈍角的情況忽略，有一定的難度．4．如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則△ABC中AB邊上的高為（

）A． B． C．3 D．答案：B【解析】分析：根據(jù)小正方形的邊長為1，利用勾股定理求出AB，由正方形面積減去三個直角三角形面積求出三角形ABC面積，利用面積法求出AB邊上的高即可．【詳解】解：如圖，CD為AB邊上的高，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】此題考查了勾股定理，以及三角形的面積，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．5．如圖，在4×7的正方形網(wǎng)格中，有一個格點三角形ABC，那么BC邊上的高與AB的比值為(

)A． B． C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)三角形的面積相等法求出BC上的高，勾股定理求出AB，然后求比值即可【詳解】設(shè)正方形的邊長為“1”，BC邊上的高為h,則AB==，BC==S△ABC=×5×2=×h∴h=∴==故本題答案應(yīng)為：D【點睛】用面積法求三角形的高及勾股定理是本題的考點，利用勾股定理求出BC及AB是解題的關(guān)鍵.6．在中，邊上的中線，則的面積為（

）A．6 B．7 C．8 D．9答案：B【解析】分析：本題考查三角形的中線定義，根據(jù)條件先確定ABC為直角三角形，再根據(jù)勾股定理求得，最后根據(jù)求解即可.【詳解】解：如圖，在中，邊上的中線，∵CD=3，AB=6，∴CD=3，AB=6，∴CD=AD=DB，，，∵，∴，∴是直角三角形，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，故選B.【點睛】本題考查三角形中位線的應(yīng)用，熟練運用三角形的中線定義以及綜合分析、解答問題的能力，關(guān)鍵要懂得：在一個三角形中，如果獲知一條邊上的中線等于這一邊的一半，那么就可考慮它是一個直角三角形，通過等腰三角形的性質(zhì)和內(nèi)角和定理來證明一個三是直角三角形.第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明二、填空題8．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，則AC邊上的高是___________．答案：【解析】分析：根據(jù)題意作出高線，首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求得AD的長，再根據(jù)面積即可求得．【詳解】解：如圖所示，過點A作AD⊥BC于點D，∵AB=AC=5，BC=6，∴BD=BC=3，∴，設(shè)AC邊上的高為h，則，得，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．9．已知在中，，，，則的面積為_______．答案：84【解析】分析：根據(jù)題意，可以由勾股定理判定的逆定理判定△ABC的形狀，作高線，利用勾股定理根據(jù)高線列方程，再求高，根據(jù)三角形的面積公式計算得到△ABC的面積即可．【詳解】解：過點B作BD⊥AC于D，∵AB2+BC2=132+142=365，AC2=152=225，∴AB2+BC2＞AC2，∴△ABC不是直角三角形，設(shè)AD長為x，CD=AC-AD=15-x,∴BD2=AB2-AD2=BC2-CD2，∴，解得x=,∴BD=，∴S△ABC=．故答案為：84．【點睛】本題考查的知識點是勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，利用三角形的高列方程，運用勾股定理逆定理得出三角形不是直角三角形，作高線，用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．10．已知鈍角三角形的三邊分別為2，3，4，則該三角形的面積為__________．答案：【解析】分析：首先利用勾股定理列方程求出的長，再代入求，進而利用三角形的面積公式即可．【詳解】解：如圖，，，，過點作于，設(shè)，，，，，解得，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出三角形的高．11．在中，，邊上的高，，的長為________．答案：或【解析】分析：根據(jù)題意畫出圖形，先利用勾股定理求得，，根據(jù)題意分類討論，當點在的延長線上時，，當點在的延長線上時，【詳解】，邊上的高，當點在的延長線上時，,當點在的延長線上時，．故答案為：4或14【點睛】本題考查了三角形的高，勾股定理的應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)鍵．12．在中，，，上的高，則的面積是______．答案：84或24【解析】分析：根據(jù)題意，可分為兩種情況進行分析：當是銳角三角形時，高AD在三角形的內(nèi)部；當是鈍角三角形時，高AD在三角形的外部；分別求出面積即可．【詳解】解：根據(jù)題意，當是銳角三角形時，如圖：在直角△ABD中，由勾股定理，得；在直角△ACD中，由勾股定理，得，∴，∴的面積是：；當是鈍角三角形時，如圖：在直角△ABD中，由勾股定理，得；在直角△ACD中，由勾股定理，得，∴，∴的面積是：；故答案為：84或24．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，求出所需線段的長度，注意運用分類討論的思想進行分析．13．在中，，，邊上的高，則的周長為______．答案：60或42【解析】分析：分兩種情況：①∠B為銳角；②∠ABC為鈍角；利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的長．【詳解】提示：①如果是銳角，此時高在三角形的內(nèi)部，在中，，在中，，∴，此時的周長．②如果是鈍角，在中，，在中，，∴，此時的周長．綜上可得，的周長為60或42．【點睛】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理，畫出圖形，分類討論是解答此題的關(guān)鍵．14．在等腰中，，，則底邊上的高等于__________．答案：【解析】分析：根據(jù)題意畫出以下圖形，然后根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出BD=DC=1，進而利用勾股定理求出AD即可.【詳解】如圖所示，AB=AC=3，BC=2，AD為底邊上的高，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)易得：BD=CD=1，∴在Rt△ADC中，=.故答案為：.【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)以及勾股定理的運用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.15．在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的長是________．答案：3【解析】分析：過點C作CE∥AB交AD延長線于E，先證△ABD≌△ECD（AAS），求出AE=2AD=4，在Rt△AEC中，即可．【詳解】解：過點C作CE∥AB交AD延長線于E，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，∴∠E=90°，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=EC，AD=ED=2，∴AE=2AD=4，在Rt△AEC中，，∴AB=CE=3．故答案為：3．【點睛】本題考查中線性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握中線性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是利用輔助線構(gòu)造三角形全等．16．在中，AB=AC=13，BC=10，則邊BC上的中線等于_________________．答案：12【解析】分析：先根據(jù)題意畫出圖形，再由中線定義求得，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得，最后利用勾股定理即可求得．【詳解】解：根據(jù)題意可畫出圖形，如圖：∵，是邊上的中線∴∵∴∴在中，．故答案是：【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、中線的定義、勾股定理等知識點，熟練掌握并靈活應(yīng)用相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．三、解答題17．如圖，在中，，求的面積．答案：【解析】分析：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，則∠ADB=∠ADC=90°，解直角三角形求出AD，BC，即可得結(jié)果．【詳解】解：過點A作于D，如圖，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴的面積．【點睛】本題考查解直角三角形，三角形的面積等知識，勾股定理，30°角所對直角三角形性質(zhì)，二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．18．如圖，正方形網(wǎng)格的每個小方格邊長均為1，△ABC的頂點在格點上．(1)判斷△ABC的形狀，并說明理由；(2)求△ABC的面積及AC邊上的高．答案：(1)△ABC為直角三角形，理由見解析(2)△ABC的面積為13，AC邊上的高【解析】分析：（1）由勾股定理分別求出AB、BC、AC的長度，再由勾股定理的逆定理證明△ABC為直角三角形即可；（2）作AC邊上的高BD，利用等面積法即可求解．(1)△ABC為直角三角形，理由如下