高中數(shù)學(xué)選擇性必修三課件第六章 計數(shù)原理章末復(fù)習(xí)課(人教A版)

章末復(fù)習(xí)課第六章計數(shù)原理內(nèi)容索引知識網(wǎng)絡(luò)考點突破真題體驗1知識網(wǎng)絡(luò)PARTONE2考點突破PARTTWO一、兩個計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在進(jìn)行計數(shù)過程中，常因分類不明導(dǎo)致增(漏)解，因此在解題中既要保證類與類的互斥性，又要關(guān)注總數(shù)的完備性.2.掌握兩個計數(shù)原理，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).例1

(1)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為A.484 B.472C.252 D.232√(2)車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機(jī)床，則有多少種選派方法？解方法一設(shè)A，B代表2位老師傅.解方法一設(shè)A，B代表2位老師傅.所以共有75＋100＋10＝185(種)選派方法.所以共有35＋120＋30＝185(種)選派方法.反思感悟應(yīng)用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步，是先分類后分步，還是先分步后分類.(4)選擇計數(shù)原理進(jìn)行計算.跟蹤訓(xùn)練1

(1)從1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字中，任取3個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中，若有1和3時，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一個時，它應(yīng)排在其他數(shù)字的前面，這樣不同的三位數(shù)共有____個.(用數(shù)字作答)60解析1與3是特殊元素，以此為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類.(2)由甲、乙、丙、丁4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、寫作、英語三科競賽，每科至少1人(且每人僅報一科)，若學(xué)生甲、乙不能同時參加同一競賽，則不同的參賽方案共有_____種.30所以不同的參賽方案共有36－6＝30(種).(2)由甲、乙、丙、丁4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、寫作、英語三科競賽，每科至少1人(且每人僅報一科)，若學(xué)生甲、乙不能同時參加同一競賽，則不同的參賽方案共有_____種.30所以不同的參賽方案共有36－6＝30(種).二、排列與組合的綜合應(yīng)用1.排列、組合是兩類特殊的計數(shù)求解方式，在計數(shù)原理求解中起著舉足輕重的作用，解決排列與組合的綜合問題要樹立先選后排，特殊元素(特殊位置)優(yōu)先的原則.2.明確排列和組合的運(yùn)算，重點提升數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).例2

在高三(1)班元旦晚會上，有6個演唱節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目.(1)當(dāng)4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有5040×24＝120960(種)安排順序.(2)當(dāng)要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？×□×□×□×□×□×□×第二步再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個節(jié)目中間(即圖中“×”的位置)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一共有720×840＝604800(種)安排順序.(3)若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2個節(jié)目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除，反思感悟解決排列、組合綜合問題要注意以下幾點(1)首先要分清該問題是排列問題還是組合問題.(2)對于含有多個限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認(rèn)真分析每個限制條件，再考慮是分類還是分步，分類時要不重不漏，分步時要步步相接.(3)對于含有“至多”、“至少”的問題，常采用間接法，此時要考慮全面，排除干凈.跟蹤訓(xùn)練2

6個女生(其中有1個領(lǐng)唱)和2個男生分成兩排表演.(1)若每排4人，共有多少種不同的排法？解要完成這件事分三步.(2)領(lǐng)唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少種不同的排法？三、二項式定理及其應(yīng)用1.二項式定理有比較廣泛的應(yīng)用，可用于代數(shù)式的化簡、變形、證明整除、近似計算、證明不等式等，其原理可以用于三項式相應(yīng)展開式項的系數(shù)求解.2.二項式原理所體現(xiàn)的是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).命題角度1二項展開式的“賦值問題”例3

(1)若(2x＋

)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值為A.－1 B.0C.1 D.2√＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4).所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(－4＋3)4＝1.(2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求①(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2；解令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25；令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65.兩式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25×65＝125.②－a2＋a4－a6＋a8－a10.解令x＝i，得－a10＋a9·i＋a8－a7·i－a6＋a5·i＋a4－a3·i－a2＋a1·i＋a0＝(－2－2i)5＝－25(1＋i)5＝－25[(1＋i)2]2(1＋i)＝128＋128i.整理得，(－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0)＋(a9－a7＋a5－a3＋a1)·i＝128＋128i，故－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0＝128.因為a0＝1，所以－a10＋a8－a6＋a4－a2＝127.反思感悟“賦值法”在二項展開式中的應(yīng)用(1)觀察：先觀察二項展開式左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征.(2)賦值：結(jié)合待求和上述特征，對變量x賦值，常見的賦值有x＝－1，x＝0，x＝1等等，具體視情況而定.(3)解方程：賦值后結(jié)合待求建立方程(組)，求解便可.跟蹤訓(xùn)練3若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，則a1＋a2＋a3＋…＋a11的值為____.5解析令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x＝3，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.命題角度2二項展開式的特定項問題例4

已知在

的展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是56∶3.(1)求展開式中的所有有理項；解得n＝10(負(fù)值舍去)，于是有理項為T1＝x5和T7＝13440.(2)求展開式中系數(shù)的絕對值最大的項；又因為k∈{1,2,3，…，9}，所以k＝7，解設(shè)第k＋1項系數(shù)的絕對值最大，當(dāng)k＝7時，T8＝－15360，又因為當(dāng)k＝0時，T1＝x5，當(dāng)k＝10時，T11＝(－2)10＝1024，所以系數(shù)的絕對值最大的項為T8＝－15360.反思感悟二項式特定項的求解策略(1)確定二項式中的有關(guān)元素：一般是根據(jù)已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關(guān)元素.(2)確定二項展開式中的常數(shù)項：先寫出其通項公式，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項數(shù)，然后代入通項公式，即可確定常數(shù)項.(3)求二項展開式中條件項的系數(shù)：先寫出其通項公式，再由條件確定項數(shù)，然后代入通項公式求出此項的系數(shù).(4)確定二項展開式中的系數(shù)最大或最小項：利用二項式系數(shù)的性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練4

已知(

)n的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為1024.(1)求展開式的所有有理項(指數(shù)為整數(shù))；解由題意得，2n＝1024，∴n＝10，∴展開式的通項為(2)求(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展開式中x2項的系數(shù).3真題體驗PARTTHREE12341.(2019·全國Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為A.12 B.16 C.20 D.24√5解析展開式中含x3的項可以由“1與x3”和“2x2與x”的乘積組成，1234令10－3k＝4，解得k＝2.5√123453.(2020·新高考全國Ⅰ)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有A.120種 B.90種 C.60種 D.30種√12345123454.(2020·全國Ⅰ)(x＋y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為A.5 B.10 C.15 D.20√∴x3y3的系數(shù)為10＋5＝15.123455.(2020·全國Ⅱ)4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有____種.36由分步乘法計數(shù)原理可得不同的安排方法共有6×6＝36(種).備用工具&資料123454.(2020·全國Ⅰ)(x＋y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為A.5 B.10 C.15 D.20√∴x3y3的系數(shù)為10＋5＝15.123453.(2020·新高考全國Ⅰ)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安