高考數(shù)學(xué)微專題集專題27圓錐曲線與四心問題微點5圓錐曲線與四心問題綜合訓(xùn)練(原卷版+解析)

專題27圓錐曲線與四心問題微點5圓錐曲線與四心問題綜合訓(xùn)練專題27圓錐曲線與四心問題微點5圓錐曲線與四心問題綜合訓(xùn)練一、單選題1．已知橢圓：，過其左焦點作直線l交橢圓于P，A兩點，取P點關(guān)于x軸的對稱點B.若G點為的外心，則（

）A．2 B．3 C．4 D．以上都不對(2023·河南·高三期末）2．已知雙曲線M：的離心率為，A，B分別是它的兩條漸近線上的兩點（不與原點O重合），的外心為P，面積為12，若雙曲線M經(jīng)過點P，則該雙曲線的實軸長為（

）A． B． C． D．3．在直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)分別是雙曲線C：的左、右焦點，位于第一象限上的點P(x0,y0)是雙曲線C上的一點，△PF1F2的外心M的坐標(biāo)為，△PF1F2的面積為2a2，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x4．雙曲線的漸近線與拋物線交于點，若拋物線的焦點恰為的內(nèi)心，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．已知A、B是拋物線的兩點，為坐標(biāo)原點，若且的內(nèi)心恰是此拋物線的焦點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．6．已知點，是橢圓的左、右焦點，點是這個橢圓上位于軸上方的點，點是的外心，若存在實數(shù)，使得，則當(dāng)?shù)拿娣e為8時，的最小值為(

)A．4 B． C． D．(2023·甘肅酒泉·模擬預(yù)測）7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P為右支上一點，若的重心為，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．3(2023·江西南昌·三模）8．已知雙曲線：的左、右焦點分別是，，是雙曲線右支上一點，且，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C．3 D．49．已知點是雙曲線的左焦點，直線與該雙曲線交于兩點，，則的重心到軸的距離為（

）A．1 B．4 C．3 D．2(2023·湖南·永州市第一中學(xué)高三期末）10．若雙曲線的實軸的一個端點是由雙曲線的一個焦點和虛軸的兩個端點所構(gòu)成的三角形的重心，則該雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．11．記橢圓：的左右焦點為，，過的直線交橢圓于，，，處的切線交于點，設(shè)的垂心為，則的最小值是（

）A． B． C． D．(2023·山東臨沂·模擬預(yù)測）12．平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點O，A，B，若的垂心為的焦點，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題(2023·福建三明·三模）13．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線與軸及雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點構(gòu)成集合，且恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（

）A． B． C． D．14．已知的三個頂點均在拋物線上，則下列命題正確的有（

）A．若直線BC過點，則存在點A使為直角三角形；B．若直線BC過點，則存在使拋物線的焦點恰為的重心；C．存在，使拋物線的焦點恰為的外心；D．若邊AC的中線軸，，則的面積為(2023·湖北·武漢二中模擬預(yù)測）15．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，點雙曲線C右支上，若，的面積為，則下列選項正確的是（

）A．若，則S＝B．若，則C．若為銳角三角形，則D．若的重心為G，隨著點P的運動，點G的軌跡方程為(2023·福建·模擬預(yù)測）16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，若，的面積為，則下列選項正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若為銳角三角形，則D．若的重心為，隨著點的運動，點的軌跡方程為17．雙曲線的虛軸長為2，為其左右焦點，是雙曲線上的三點，過作的切線交其漸近線于兩點.已知的內(nèi)心到軸的距離為1.下列說法正確的是（

）A．外心的軌跡是一條直線B．當(dāng)變化時，外心的軌跡方程為C．當(dāng)變化時，存在使得的垂心在的漸近線上D．若分別是中點，則的外接圓過定點三、填空題18．已知橢圓的下頂點為，若直線與橢圓交于不同的兩點、，則當(dāng)_____時，外心的橫坐標(biāo)最大．19．已知橢圓和雙曲線其中若兩者圖像在第二象限的交點為A，橢圓的左右焦點分別為B、C，T為△ABC的外心，則的值為_____.20．若橢圓的一個焦點是其三個頂點構(gòu)成的三角形的垂心，則橢圓的離心率e=__________．(2023·甘肅·張掖市第二中學(xué)高三月考）21．已知橢圓的上頂點為，直線與該橢圓交于兩點，且點恰為的垂心，則直線的方程為______.(2023·四川雅安·三模）22．已知橢圓的左右焦點分別為，P為C上異于左右頂點的一點，M為內(nèi)心，若，則該橢圓的離心率是________．(2023·四川·綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校高二期中）23．給出下列命題：①直線的傾斜角是；②已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交于，兩點，則有；③已知、為雙曲線：的左、右焦點，點為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，則的內(nèi)心始終在一條直線上．其中所有正確命題的序號為___________．24．已知點，是橢圓的左、右焦點，點是這個橢圓上位于軸上方的點，點是的外心，若存在實數(shù)，使得，則當(dāng)?shù)拿娣e為8時，的最小值為__________．(2023·上?！ね瑵髮W(xué)第一附屬中學(xué)高三月考）25．過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，若線段長為，為坐標(biāo)原點，則的重心橫坐標(biāo)為______．(2023·遼寧沈陽·三模）26．已知三點在拋物線上，且的重心恰好為拋物線的焦點，則的三條中線的長度的和為_______．(2023·浙江·高三月考）27．定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”，則___________，若“黃金橢圓”兩個焦點分別為、，P為橢圓C上的異于頂點的任意一點，點M是的內(nèi)心，連接并延長交于點N，則___________．(2023·安徽黃山·一模）28．在平面上給定相異兩點A，B，設(shè)點P在同一平面上且滿足，當(dāng)且時，P點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，分別為雙曲線的左?右焦點，A，B為雙曲線虛軸的上?下端點，動點P滿足，面積的最大值為4.點M，N在雙曲線上，且關(guān)于原點O對稱，Q是雙曲線上一點，直線和的斜率滿足，則雙曲線方程是______________；過的直線與雙曲線右支交于C，D兩點(其中C點在第一象限)，設(shè)點?分別為?的內(nèi)心，則的范圍是____________.四、解答題(2023·山東師范大學(xué)附中高三期中）29．已知橢圓的左焦點為F，過F的直線與橢圓在第一象限交于M點，O為坐標(biāo)原點，三角形的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）若的三個頂點A，B，C都在橢圓上，且O為的重心，判斷的面積是否為定值，并說明理由．30．如圖，已知點為拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，點在拋物線上.（1）求的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）若點為三角形的重心，求線段的長度.31．已知橢圓，經(jīng)過拋物線的焦點的直線與交于兩點，在點處的切線交于兩點，如圖.(1)當(dāng)直線垂直軸時，，求的準(zhǔn)線方程；(2)若三角形的重心在軸上，且，求的取值范圍.(2023·浙江·寧波市北侖中學(xué)高一期中）32．已知拋物線上的任意一點到焦點的距離比到y(tǒng)軸的距離大.(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，若三角形ABP的重心G在定直線上，求三角形ABP面積的最大值.(2023·浙江·高三開學(xué)考試）33．已知橢圓C：的右焦點為，離心率為為橢圓的任意內(nèi)接三角形，點為的外心.(1)求的方程；(2)記直線的斜率分別為，且斜率均存在.求證：.34．如圖，橢圓：的離心率為，，分別是其左、右焦點，過的直線交橢圓于點，，是橢圓上不與，重合的動點，是坐標(biāo)原點．(1)若是△的外心，，求的值；(2)若是△的重心，求的取值范圍．35．已知雙曲線的左?右焦點分別為，，點是右支上一點，若I為的內(nèi)心，且.(1)求的方程；(2)點A是在第一象限的漸近線上的一點，且軸，在點P處的切線l與直線相交于點M，與直線相交于點N.證明：無論點P怎么變動，總有.專題27圓錐曲線與四心問題微點5圓錐曲線與四心問題綜合訓(xùn)練專題27圓錐曲線與四心問題微點5圓錐曲線與四心問題綜合訓(xùn)練一、單選題1．已知橢圓：，過其左焦點作直線l交橢圓于P，A兩點，取P點關(guān)于x軸的對稱點B.若G點為的外心，則（

）A．2 B．3 C．4 D．以上都不對(2023·河南·高三期末）2．已知雙曲線M：的離心率為，A，B分別是它的兩條漸近線上的兩點（不與原點O重合），的外心為P，面積為12，若雙曲線M經(jīng)過點P，則該雙曲線的實軸長為（

）A． B． C． D．3．在直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)分別是雙曲線C：的左、右焦點，位于第一象限上的點P(x0,y0)是雙曲線C上的一點，△PF1F2的外心M的坐標(biāo)為，△PF1F2的面積為2a2，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A．y＝±x B．y＝x C．y＝x D．y＝±x4．雙曲線的漸近線與拋物線交于點，若拋物線的焦點恰為的內(nèi)心，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．已知A、B是拋物線的兩點，為坐標(biāo)原點，若且的內(nèi)心恰是此拋物線的焦點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．6．已知點，是橢圓的左、右焦點，點是這個橢圓上位于軸上方的點，點是的外心，若存在實數(shù)，使得，則當(dāng)?shù)拿娣e為8時，的最小值為(

)A．4 B． C． D．(2023·甘肅酒泉·模擬預(yù)測）7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P為右支上一點，若的重心為，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．3(2023·江西南昌·三模）8．已知雙曲線：的左、右焦點分別是，，是雙曲線右支上一點，且，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C．3 D．49．已知點是雙曲線的左焦點，直線與該雙曲線交于兩點，，則的重心到軸的距離為（

）A．1 B．4 C．3 D．2(2023·湖南·永州市第一中學(xué)高三期末）10．若雙曲線的實軸的一個端點是由雙曲線的一個焦點和虛軸的兩個端點所構(gòu)成的三角形的重心，則該雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．11．記橢圓：的左右焦點為，，過的直線交橢圓于，，，處的切線交于點，設(shè)的垂心為，則的最小值是（

）A． B． C． D．(2023·山東臨沂·模擬預(yù)測）12．平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點O，A，B，若的垂心為的焦點，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題(2023·福建三明·三模）13．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線與軸及雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點構(gòu)成集合，且恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（

）A． B． C． D．14．已知的三個頂點均在拋物線上，則下列命題正確的有（

）A．若直線BC過點，則存在點A使為直角三角形；B．若直線BC過點，則存在使拋物線的焦點恰為的重心；C．存在，使拋物線的焦點恰為的外心；D．若邊AC的中線軸，，則的面積為(2023·湖北·武漢二中模擬預(yù)測）15．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，點雙曲線C右支上，若，的面積為，則下列選項正確的是（

）A．若，則S＝B．若，則C．若為銳角三角形，則D．若的重心為G，隨著點P的運動，點G的軌跡方程為(2023·福建·模擬預(yù)測）16．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，若，的面積為，則下列選項正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若為銳角三角形，則D．若的重心為，隨著點的運動，點的軌跡方程為17．雙曲線的虛軸長為2，為其左右焦點，是雙曲線上的三點，過作的切線交其漸近線于兩點.已知的內(nèi)心到軸的距離為1.下列說法正確的是（

）A．外心的軌跡是一條直線B．當(dāng)變化時，外心的軌跡方程為C．當(dāng)變化時，存在使得的垂心在的漸近線上D．若分別是中點，則的外接圓過定點三、填空題18．已知橢圓的下頂點為，若直線與橢圓交于不同的兩點、，則當(dāng)_____時，外心的橫坐標(biāo)最大．19．已知橢圓和雙曲線其中若兩者圖像在第二象限的交點為A，橢圓的左右焦點分別為B、C，T為△ABC的外心，則的值為_____.20．若橢圓的一個焦點是其三個頂點構(gòu)成的三角形的垂心，則橢圓的離心率e=__________．(2023·甘肅·張掖市第二中學(xué)高三月考）21．已知橢圓的上頂點為，直線與該橢圓交于兩點，且點恰為的垂心，則直線的方程為______.(2023·四川雅安·三模）22．已知橢圓的左右焦點分別為，P為C上異于左右頂點的一點，M為內(nèi)心，若，則該橢圓的離心率是________．(2023·四川·綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校高二期中）23．給出下列命題：①直線的傾斜角是；②已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交于，兩點，則有；③已知、為雙曲線：的左、右焦點，點為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，則的內(nèi)心始終在一條直線上．其中所有正確命題的序號為___________．24．已知點，是橢圓的左、右焦點，點是這個橢圓上位于軸上方的點，點是的外心，若存在實數(shù)，使得，則當(dāng)?shù)拿娣e為8時，的最小值為__________．(2023·上?！ね瑵髮W(xué)第一附屬中學(xué)高三月考）25．過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，若線段長為，為坐標(biāo)原點，則的重心橫坐標(biāo)為______．(2023·遼寧沈陽·三模）26．已知三點在拋物線上，且的重心恰好為拋物線的焦點，則的三條中線的長度的和為_______．(2023·浙江·高三月考）27．定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”，則___________，若“黃金橢圓”兩個焦點分別為、，P為橢圓C上的異于頂點的任意一點，點M是的內(nèi)心，連接并延長交于點N，則___________．(2023·安徽黃山·一模）28．在平面上給定相異兩點A，B，設(shè)點P在同一平面上且滿足，當(dāng)且時，P點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，分別為雙曲線的左?右焦點，A，B為雙曲線虛軸的上?下端點，動點P滿足，面積的最大值為4.點M，N在雙曲線上，且關(guān)于原點O對稱，Q是雙曲線上一點，直線和的斜率滿足，則雙曲線方程是______________；過的直線與雙曲線右支交于C，D兩點(其中C點在第一象限)，設(shè)點?分別為?的內(nèi)心，則的范圍是____________.四、解答題(2023·山東師范大學(xué)附中高三期中）29．已知橢圓的左焦點為F，過F的直線與橢圓在第一象限交于M點，O為坐標(biāo)原點，三角形的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）若的三個頂點A，B，C都在橢圓上，且O為的重心，判斷的面積是否為定值，并說明理由．30．如圖，已知點為拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，點在拋物線上.（1）求的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）若點為三角形的重心，求線段的長度.31．已知橢圓，經(jīng)過拋物線的焦點的直線與交于兩點，在點處的切線交于兩點，如圖.(1)當(dāng)直線垂直軸時，，求的準(zhǔn)線方程；(2)若三角形的重心在軸上，且，求的取值范圍.(2023·浙江·寧波市北侖中學(xué)高一期中）32．已知拋物線上的任意一點到焦點的距離比到y(tǒng)軸的距離大.(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，若三角形ABP的重心G在定直線上，求三角形ABP面積的最大值.(2023·浙江·高三開學(xué)考試）33．已知橢圓C：的右焦點為，離心率為為橢圓的任意內(nèi)接三角形，點為的外心.(1)求的方程；(2)記直線的斜率分別為，且斜率均存在.求證：.34．如圖，橢圓：的離心率為，，分別是其左、右焦點，過的直線交橢圓于點，，是橢圓上不與，重合的動點，是坐標(biāo)原點．(1)若是△的外心，，求的值；(2)若是△的重心，求的取值范圍．35．已知雙曲線的左?右焦點分別為，，點是右支上一點，若I為的內(nèi)心，且.(1)求的方程；(2)點A是在第一象限的漸近線上的一點，且軸，在點P處的切線l與直線相交于點M，與直線相交于點N.證明：無論點P怎么變動，總有.參考答案：1．C分析：設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理，結(jié)合外心的性質(zhì)，求得點的坐標(biāo)，再用弦長公式求得，再求結(jié)果即可.【詳解】根據(jù)題意可得，顯然直線的斜率存在，故可設(shè)其方程為，聯(lián)立橢圓方程可得：，設(shè)，故，，，故，設(shè)的中點為，則其坐標(biāo)為，顯然軸垂直平分，故可設(shè)，又直線方程為：，令，解得，故，故.故選：C.2．C分析：根據(jù)雙曲線的離心率可得雙曲線的兩條漸近線是互相垂直的，然后利用雙曲線經(jīng)過的外心，同時結(jié)合雙曲線的對稱性和直角三角形的外心特點，通過的面積建立方程，然后解出方程即可【詳解】離心率為，則有：又有：可得：，此時兩條漸近線垂直，即，且直線和直線均與軸的夾角均為則的外心為在線段的中點若雙曲線M經(jīng)過點，根據(jù)雙曲線的對稱性可知：當(dāng)且僅當(dāng)軸時，且點為雙曲線的頂點此時有：，的面積為12，則有：解得：故雙曲線的實軸長為：故選：C3．D分析：由M是三角形外心可得，根據(jù)圓周角與圓心角關(guān)系得∠F1PF2＝，根據(jù)余弦定理、雙曲線的定義得，由三角形面積公式，即可確定的數(shù)量關(guān)系，寫出漸近線方程即可.【詳解】由△PF1F2的外心M，知：，∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而，∴，即，∴，而，∴由題意知：，故雙曲線的漸近線方程為：．故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用外接圓的性質(zhì)求∠F1PF2，由余弦定理、雙曲線的定義及三角形面積公式求焦點三角形的面積，進(jìn)而確定雙曲線參數(shù)的數(shù)量關(guān)系.4．D【解析】作出圓錐曲線的大致圖像，利用拋物線的焦點到漸近線的距離等于到的距離，列方程即可求解.【詳解】作出雙曲線與拋物線的大致圖像，如圖：雙曲線的漸近線方程為：，即，聯(lián)立，解得或，當(dāng)時，則，所以焦點到的距離為，焦點到漸近線的距離為，所以，整理可得，即，整理可得，兩邊同除以可得，，又，即，解得.故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了考生的計算能力，屬于中檔題.5．C分析：由題意可知A、B兩點關(guān)于軸對稱，若令點A在軸上方，坐標(biāo)為（），則，由于的內(nèi)心恰是此拋物線的焦點，所以由三角形角平分線的性質(zhì)得,即,從而可求得答案【詳解】因為A、B是拋物線的兩點，為坐標(biāo)原點，，所以A、B兩點關(guān)于軸對稱，設(shè)點A在軸上方，坐標(biāo)為（），則，所以,設(shè)交軸于點,則,因為,所以,因為的內(nèi)心恰是此拋物線的焦點，所以平分，所以由三角形角平分線的性質(zhì)得,即，化簡得,,解得,因為,所以,所以直線的方程為故選：C.6．A分析：首先根據(jù)點是的外心,外心是三角形各邊垂直平分線的交點,再結(jié)合向量運算的幾何意義可以判斷出點恰好就是橢圓上頂點.【詳解】由于外心在的垂直平分線上,故外心在軸上,而方向朝著軸的負(fù)半軸,故點位于橢圓的上頂點,此時三角形面積為.所以,故選:.7．B分析：依據(jù)題意列方程分別求得a、c的值，即可求得的離心率【詳解】雙曲線的左、右焦點，，設(shè)P點坐標(biāo)為，則由的重心為，可得，把P點坐標(biāo)代入雙曲線C的方程，解之得．又，則．所以可得雙曲線C的離心率為故選：B．8．B分析：由重心坐標(biāo)求得I的坐標(biāo)，再利用圓的切線長定理和雙曲線的定義得到G的坐標(biāo)，再根據(jù)與軸平行，由求解.【詳解】解：如圖所示：由題意得：，則，由圓的切線長定理和雙曲線的定義得，所以，則，因為與軸平行，所以，即，則，即，解得，故選：B9．C分析：聯(lián)立直線和雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和三角形的重心公式，轉(zhuǎn)化為解的重心到軸的距離即可.【詳解】解：由題意得：不妨設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程與直線方程消去得:，故因為，所以點到軸的距離為．故選：C10．A分析：由平面幾何知識及重心的性質(zhì)可得出，根據(jù)雙曲線的離心率公式計算可得選項.【詳解】解：由題意可知三角形的三個頂點為虛軸的兩個端點和雙曲線的一個焦點，實軸的一個端點是該三角形的重心，則，所以.故選：A.11．D【解析】先根據(jù)題意，得到，，設(shè)直線的方程為，，，求出在點，處的切線方程，聯(lián)立切線方程，得出點，根據(jù)題意，得到軸，得出的橫坐標(biāo)為，再由求出的縱坐標(biāo)為，得出，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】橢圓的左右焦點為，，由題意，易知直線的斜率存在，（若斜率不存在，則三點共線，不能構(gòu)成三角形），設(shè)直線的方程為，，，對兩邊同時求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得，則，則橢圓在點處的切線斜率為，則橢圓在點處的切線方程為，即，即；同理，橢圓在點處的切線方程為，由得，則，所以，即；又的垂心為，則，，即軸，則的橫坐標(biāo)也為，記的縱坐標(biāo)為，由得，所以，則，因此，因為過點，所以直線與橢圓必有兩個交點，故且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：D.【點睛】本題主要考查橢圓中的最值問題，考查橢圓的切線方程，涉及基本不等式求最值，屬于跨章節(jié)綜合題.12．A分析：由雙曲線的漸近線方程與拋物聯(lián)立，求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)的垂心為的焦點，由求解【詳解】解：如圖所示：雙曲線的漸近線方程為，與拋物線聯(lián)立，解得或，所以，，因為的垂心為的焦點，所以，即，即，所以，故選：A13．ABD分析：設(shè)，分別與兩條漸近線和軸聯(lián)立求出的坐標(biāo)，求出、、，再分類討論重心、垂心和外心，并根據(jù)重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半列式求出的關(guān)系，再根據(jù)離心率公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由，得，得，由，得，得，由，得，得，，，，若為重心、為外心、為垂心，則，所以，化簡得，此時雙曲線的離心率，若為重心、為垂心、為外心，則，所以，化簡得不成立；若為重心、為垂心、為外心，則，所以，化簡得，此時雙曲線的離心率，若為重心，為垂心、為外心，則，，化簡得，此時雙曲線的離心率；若為重心、為垂心、為外心，則，所以，化簡得或，此時雙曲線的離心率或，若為重心，為垂心、為外心，則，所以，化簡得或都不成立.綜上所述：或或或.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：求雙曲線離心率的關(guān)鍵是得到的等量關(guān)系，求出三個交點坐標(biāo)后，分類討論重心、垂心和外心，根據(jù)重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半可得所要的等量關(guān)系..14．AB分析：對于A，當(dāng)直線BC過點，可證，即可得出結(jié)論為正確；對于B，設(shè)出直線BC方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出坐標(biāo)和，再利用重心坐標(biāo)公式，求出A點坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可得出結(jié)論；對于C，判斷以焦點為圓心的圓與拋物線是否有三個交點；對于D，設(shè)AC方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出AC中點坐標(biāo)，然后轉(zhuǎn)化為B點坐標(biāo)，將B點坐標(biāo)代入拋物線方程，求出的面積，即可判斷結(jié)論是否正確.【詳解】設(shè)三點坐標(biāo)分別為，A選項，直線BC過點，設(shè)BC方程為，聯(lián)立，消去x得，，，，，所以，而點O在拋物線上，故A正確；B選項，直線BC過點，設(shè)BC方程為，聯(lián)立，消去x，得，，拋物線的焦點恰為的重心，，，將A點坐標(biāo)代入拋物線方程，則，所以，當(dāng)時，，故B正確；C選項，設(shè)以拋物線焦點為圓心的圓半徑為r，其方程為，與拋物線方程聯(lián)立得：，，方程至多只有一個非負(fù)解，即圓與拋物線至多只有兩個交點，不存在，使拋物線的焦點恰為的外心，故C不正確；D選項，AC的方程為，代入拋物線方程得，，，設(shè)AC中點軸，，，代入拋物線方程得，，，故D不正確.故選：AB.【點睛】（1）直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．15．ACD分析：對于A，利用焦點三角形的面積公式求解，對于B，由焦點三角形的面積公式求出，再由以雙曲線的定義和勾股定理列方程組可求得結(jié)果，對于C，當(dāng)為直角三角形時，求出臨界值進(jìn)行判斷，對于D，利用相關(guān)點法結(jié)合重心坐標(biāo)公式求解【詳解】由，得，則焦點三角形的面積公式，將代入可知，故A正確．當(dāng)S＝4時，，由，可得，故B錯誤．當(dāng)時，S＝4，當(dāng)時，，因為為銳角三角形，所以，故C正確．設(shè)，則，由題設(shè)知，則，所以，故D正確．故選：ACD16．ACD分析：對于A，利用焦點三角形的面積公式求解，對于B，由焦點三角形的面積公式求出，再由以雙曲線的定義和勾股定理列方程組可求得結(jié)果，對于C，當(dāng)為直角三角形時，求出臨界值進(jìn)行判斷，對于D，利用相關(guān)點法結(jié)合重心坐標(biāo)公式求解【詳解】解：對A，根據(jù)焦點三角形的面積公式：，將代入可得：，故A正確；對B，當(dāng)時，即，即，又，故，由，即解得：，故B錯誤；對C，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，故C正確；對D，設(shè)，，則，由題設(shè)知，則，，故D正確.故選：ACD.17．AD分析：根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的漸近線方程、直線斜率的公式，通過解方程（組）、運用夾角公式逐一判斷即可.【詳解】因為已知的內(nèi)心到軸的距離為1，雙曲線的虛軸長為2，所以的內(nèi)心橫坐標(biāo)，雙曲線方程：，，漸近線.設(shè).當(dāng)點在雙曲線上時：設(shè)直線與雙曲線交兩點

當(dāng)直線與雙曲線相切時，此時切點滿足：切線設(shè)直線與漸近線交兩點

切點正是線段的中點，∴；線段中垂線是.中垂線與軸交于點，且.可設(shè)一方面，；另一方面，線段中點是考慮到∴，點

確系之外心！其軌跡是直線.選項A正確！依（1）設(shè)線段中點是線段中垂線是，即線段中垂線是，即∴，即外心的軌跡方程為.故選項B錯！（3）對來講，若垂心在漸近線上可設(shè)坐標(biāo)是，進(jìn)而化簡得∴把代入并化簡得：考慮到不在漸近線上得，故∴，這不可能！垂心不能在上，同理不能在上，選項C錯誤；（4）設(shè)共圓！的外接圓過定點原點，選項D對.故選：AD【點睛】關(guān)鍵點睛：正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)運算，應(yīng)用夾角公式是解題的關(guān)鍵.18．分析：由已知可得、的坐標(biāo)，求得的垂直平分線方程，聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程，求得的垂直平分線方程，兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標(biāo)，再由導(dǎo)數(shù)求最值．【詳解】如圖，由已知條件可知，不妨設(shè)，則外心在的垂直平分線上，即在直線，也就是在直線上，聯(lián)立，得或，的中點坐標(biāo)為，則的垂直平分線方程為，把代入上式，得，當(dāng)?shù)耐庑牡臋M坐標(biāo)取最大值時，必有，令，則，由，得（舍）或．當(dāng)時，，當(dāng)時，.當(dāng)時，函數(shù)取極大值，亦為最大值．故答案為：.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中等題．19．16.分析：由已知可得兩曲線焦點相同，設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義求出，用利用兩點間的距離公式求出點的橫坐標(biāo)，因為為中點，△ABC的外心在軸上，將，代入所求式，即可求解.【詳解】已知橢圓和雙曲線焦距相等所以焦點相同，設(shè)，為兩曲線在第二象限的交點，，，，設(shè)，，，，因為為中點，△ABC的外心在軸上，，【點睛】本題考查求橢圓與雙曲線交點的坐標(biāo)，考查向量數(shù)量積運算，考查計算求解能力，屬于中檔題.20．【詳解】設(shè)F（C，0）是橢圓的一個焦點，它是橢圓三個頂點、、構(gòu)成的三角形的垂心，如圖.由，有.21．分析：設(shè)PQ直線y＝x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），，3x2+4mx+2m2﹣2＝0，再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．【詳解】上頂點，右焦點F為垂心因為＝﹣1，且FM⊥l，所以k1＝1，所以設(shè)PQ直線y＝x+m，且設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）由消y，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，m2＜3．y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2．又F為△MPQ的垂心，∴PF⊥MQ，∴又∴∴，∴經(jīng)檢驗滿足m2＜3∴存在滿足條件直線l方程為：x﹣y+1＝0，3x﹣3y﹣4＝0∵x﹣y+1＝0過M點即MP重合不構(gòu)成三角形，∴3x﹣3y﹣4＝0滿足題意．故答案為【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查垂心的幾何性質(zhì)，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.22．分析：設(shè)，由已知可得，利用的面積建立關(guān)系即可求出.【詳解】設(shè)，可得，則,因為，所以，則可得，則內(nèi)切圓半徑為，由橢圓定義可得，又，所以，即，則可得，所以離心率為.故答案為：.23．②③分析：對于①，其解題的關(guān)鍵是正確地理解直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系；對于②，其解題的難點是能推出的分析與應(yīng)用；對于③，其解題的關(guān)鍵是正確地運用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和定義對其進(jìn)行求解．【詳解】對于①，因為直線，所以其斜率為，所以，所以，即①是錯誤的；對于②，設(shè)過拋物線焦點的直線為，于是聯(lián)立直線與拋物線的方程并整理可得：，所以由韋達(dá)定理可得進(jìn)而得出，即②是正確的；對于③，設(shè)的內(nèi)切圓分別與切于點，與切于點，則，，，又因為點在雙曲線的右支上，所以，即，所以，而，設(shè)點，因為，所以，即，又因為內(nèi)切圓的圓心與點的連線垂直于軸，所以的內(nèi)心始終在一條直線上，所以③是正確的．故答案為:②③．24．4分析：根據(jù)向量的共線定理即可求得則三點共線，則P位于上頂點，則，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求得的最小值．【詳解】由是的外心，則在軸的正半軸上，，則，則三點共線，即位于上頂點，則的面積，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴的最小值為4，故答案為：4．25．分析：由拋物線焦點弦長公式可求得，根據(jù)重心坐標(biāo)公式可得結(jié)果.【詳解】由拋物線方程知：，設(shè)，，直線過焦點，，解得：，重心橫坐標(biāo).故答案為：.26．9分析：利用拋物線的定義及三角形重心的性質(zhì)，求解即可.【詳解】設(shè)，由拋物線方程為，所以焦點，由的重心為知，由拋物線定義可得，由重心的性質(zhì)可知，中線的長度和為故答案為：927．

##

##分析：由離心率的定義可求得，利用結(jié)合橢圓定義可求解．【詳解】由題，，所以．如圖，連接，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，即，，∴，∴∴，∴．故答案為：；．28．

【解析】設(shè)，根據(jù)，求得，結(jié)合的最大面積得到，再根據(jù)，得出，設(shè)邊上的切點分別為，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)，得到軸，設(shè)直線的傾斜角為，在中，得到，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，由題意知，可得，即，整理得，可得圓心為，半徑，所以的最大面積為，解得，即，設(shè)，則，則，可得，同理則，則，整理得，所以雙曲線的方程為.如圖所示，設(shè)邊上的切點分別為，則橫坐標(biāo)相等，則，由，即，即，即，即點的橫坐標(biāo)為，則，于是，可得，同樣內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，則軸，設(shè)直線的傾斜角為，則，在中，，由雙曲線的方程，可得，則，可得，又由直線為雙曲線右支上的點，且漸近線的斜率為，傾斜角為，可得，即，可得的取值范圍是.故答案為：；.【點睛】解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.29．（1）；（2）是定值，理由見解析.分析：（1）由直線過左焦點寫出左焦點坐標(biāo)，得參數(shù)c、右焦點坐標(biāo)，又由三角形面積，求M坐標(biāo)，即可確定△為直角三角形，進(jìn)而求，根據(jù)橢圓定義求參數(shù)a，寫出橢圓方程即可.（2）討論直線的斜率：當(dāng)不存在時，設(shè)直線：，，，由重心坐標(biāo)的性質(zhì)求A坐標(biāo)，由A在橢圓上求，求；當(dāng)存在時，設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與拋物線方程結(jié)合韋達(dá)定理求，，即得，由重心坐標(biāo)的性質(zhì)確定A的坐標(biāo)，由A在橢圓上得，結(jié)弦長公式、點線距離公式求、A到直線的距離d，求，即可判斷是否為定值.【詳解】（1）直線過左焦點F，則有，所以且右焦點，又，得，代入直線方程有，所以.∴△為直角三角形且，由橢圓定義，知：，即，∴橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，若，則，∵O為的重心，可知，代入橢圓方程，得，即有，A到BC的距離為，∴，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由，得，顯然，∴，，則，∵O為的重心，可知，由A在橢圓上，得，化簡得，∴，由重心的性質(zhì)知：A到直線的距離d等于O到直線距離的3倍，即，∴，綜上得，的面積為定值．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，若三角形頂點坐標(biāo)分別為，則其重心坐標(biāo)為求A點坐標(biāo)，再根據(jù)A在橢圓上，求相關(guān)參數(shù)值或確定參數(shù)關(guān)系.30．（1），；（2）6.分析：（1）根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)求得p，從而可得拋物線方程和準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)過的直線方程為，，，，，，，聯(lián)立直線和拋物線可得，利用韋達(dá)定理可求得，從而求得k，再利用拋物線的弦長公式即可得解.【詳解】解：（1）點為拋物線的焦點，即，即，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）根據(jù)題意可知直線AB的斜率存在，設(shè)過的直線方程為，，，，，，，即有，，，聯(lián)立直線和拋物線可得，可得，，因為，,即，所以即,則.31．(1)x=-1；(2)分析：(1)根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得，根據(jù)題意可得，將點P的坐標(biāo)代入拋物線方程求出p的值即可；(2)根據(jù)題意設(shè)，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線PB的斜率進(jìn)而表示出方程，聯(lián)立橢圓方程并消去x，利用韋達(dá)定理求出，根據(jù)三角形的重心可得，列出方程并解之得出，利用拋物線的定義表示，結(jié)合換元法化簡計算即可.（1）由知，，當(dāng)直線PF垂直于x軸時，由，得，有，所以的準(zhǔn)線方程為：，即；（2）由題意知，，設(shè)直線，，則，，，由