八年級數(shù)學 實數(shù) 北師大版

初二數(shù)學實數(shù)北師大版

【本講教育信息】

一、教學內(nèi)容：

實數(shù)

1、實數(shù)的意義及分類，在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義

2、實數(shù)與數(shù)軸

4、實數(shù)的四則運算

二、教學目標

1、了解實數(shù)的意義，能對實數(shù)按要求進行分類。

2、了解實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義。

3、了解數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，能用數(shù)軸上的點來表示無理數(shù)。

4、用類比的方法，引入實數(shù)的運算法則、運算律，并能用這些法則、運算律在實數(shù)范圍

內(nèi)正確計算.

5、正確運用公式

4a-y/b=yla-b(a>0,b>0);*區(qū)心。力>6.

6、能利用化簡對實數(shù)進行簡單的四則運算.

三、知識要點分析

1、實數(shù)的意義、分類及相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義

(這是重點)有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。實數(shù)的分類:

正有理數(shù)

①相反數(shù)：實數(shù)的相反數(shù)與有理數(shù)的相反數(shù)的意義一樣。如果a表示一個正實數(shù)，一a

表示一個負實數(shù)。a與一a互為相反數(shù)，也就是說，a與一a可以表示任意一對互為相反數(shù)的

數(shù)。如果a,b互為相反數(shù)，則2=-b。另外規(guī)定：0的相反數(shù)是0。

②絕對值：實數(shù)的絕對值意義也和有理數(shù)一樣：一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負

實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0,即

a(a>0)

14o(。=°)

-a(a<Q)

互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等。

③倒數(shù)：如果a表示一個非零數(shù)，那么a與上互為倒數(shù)。如果a與b互為倒數(shù)，則ab=1.0

<a

沒有倒數(shù)。

2、實數(shù)與數(shù)軸

任何一個有理數(shù)，在數(shù)軸上都有唯一確定的點與之對應，但是，數(shù)軸上的點并不都表示

有理數(shù)，無理數(shù)也可用數(shù)軸上的點來表示。由此可見，數(shù)軸上表示有理數(shù)的點是不連續(xù)的，

而無理數(shù)、有理數(shù)合在一起，才能填滿整個數(shù)軸，所以數(shù)軸上的點和實數(shù)成一一對應，即每

一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示;反過來，數(shù)軸上的每一個點都可以用一個實數(shù)表示。

有理數(shù)的大小比較在實數(shù)范圍內(nèi)仍成立。即

在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

正數(shù)大于0,0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的數(shù)反而小。

3、實數(shù)的運算

(這是難點)在實數(shù)范圍內(nèi)，可以進行加、減、乘、除、乘方及開方運算，而且有理數(shù)

的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立。實數(shù)混合運算的運算順序按照從左到右順序進

行，有括號先算括號里的。

在實數(shù)運算中，當遇到無理數(shù)，并且需要求出結(jié)果的近似值時，可以按照所要求的精確

度用相應的近似有限小數(shù)去代替無理數(shù)，再進行計算。

在進行計算時，注意以下兩個公式的應用：

4a-4b=^a-b(a>0,b>0);=^^(a>0,b>0).

【典型例題】

考點一：實數(shù)的意義、分類及相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值

例1.把下列各數(shù)填入相應的集合內(nèi)：

—7.3,V2,~?.—,—,V27,0.99,—,-0.31

V382

(1)有理數(shù)集合：{…};

(2)無理數(shù)集合：{…};

(3)正實數(shù)集合：{…};

(4)負實數(shù)集合：{…}.

【思路分析】本題是根據(jù)實數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)的意義進行分類，特別注意不要只看形

式，不看實質(zhì).像本題的師，雖然帶著根號，但它是個有理數(shù).因此帶根號的數(shù)不一定都是

無理數(shù)，只有開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù).

O------??

解：(1)有理數(shù)集合：｛—7.3,-,V27,0.99,-0.31…｝;

O

(2)無理數(shù)集合：｛近,

V32

(3)正實數(shù)集合:｛叵,V27,0.99,￡…｝;

82

(4)負實數(shù)集合：｛—7.3,—J1-0.31-｝.

方法與規(guī)律：掌握實數(shù)的分類是解決本題的關(guān)鍵.

例2.求1-n的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值.

【思路分析】實數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值與有理數(shù)的同名概念含義一樣.或者說，雖

然數(shù)的范圍擴大了，但這些概念的含義在更大的范圍里得到了“默認”.

解：1一冗的相反數(shù)是一(1—n)=n—1；

1—n的倒數(shù)是一1一;1一口的絕對值是|1一口|="一1.

\-7t

過程與方法：直接利用有理數(shù)的相關(guān)概念即可.

考點二：實數(shù)與數(shù)軸

例3.如圖：數(shù)軸上點A表示的數(shù)為x,則x的相反數(shù)是()

【思路分析】根據(jù)數(shù)軸可以判斷點A所表示的數(shù)是-石，-指的相反數(shù)是

答案：A

友情提示：本題主要運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。

考點三：實數(shù)的運算

例4.化簡

(1)x(29歷(3)V2(V2+8)

VN3

(4)(1+75)(V5-2)(:5)(百一三)2

：/^7(。20力20)；第=聆(。20步〉0)這兩個公式解

【思路分析】利用?、歷=

題。

解:⑴布義白=15xg

?="=1;

,、V21xV7V21X7=肉=內(nèi)=7；

6一△

(3)V2(V2+8)=(V2)2+8V2=2+8A/2；

(4)(1+V5)(75-2)=75-2+(75)2-2V5=V5-2+5-2石=3-石;

⑸(V3-=(揚2-2x6x3=3-2+瀉

V3

友情提示：實數(shù)的運算過程中，也可以利用類似于多項式相乘、完全平方公式、平方差

公式進行計算。

例5.化簡：(1)2V12+V48;(2)j1+V50-732；(3)3同一病一

【思路分析】1.若被開方數(shù)中含有分母或者含有能開得盡的因數(shù)的式子的化簡.

2.一般情況下應用法則

4a_[a

4a-y[h=y[a^b(。20,(g0,fe>0)

或法則的逆運算的總結(jié).

解：

(1)2V12+=273^4+V16^3=2xV3xV4+V16xV3=473+4V3=8V3

(2).^+V50-V32=^-+A/25X2-716X2=—+5>/2-4V2=-V2

V9V933

(3)3V20-V45-.P-=3xV4xV5-V9^5-A^=675-375--=—V5

V5\2555

方法與規(guī)律總結(jié)：化簡的實質(zhì)就是兩公式的應用，化簡的結(jié)果中不能含有分母和開得盡

的因數(shù)。

考點四：拓展應用

例6.根據(jù)下面提供的等式：

(V2+l)(V2-l)=l,/+行斯-0)=1,(V4+V3)(V4-V3)=l,-

請你猜想：

-J—+.廠I+?廠+?-?+~尸的結(jié)果，并證明你猜想的結(jié)果。

V2+1V3+V2VJ4+V3y/n+1+y/n

【思路分析】利用分數(shù)的基本性質(zhì)與平方差公式，可以把分母都變成1,這樣便可以進

行計算。

解:

5/2+15/3+5/2A/4+*x/3J=+1+

V2—1V3—V2V4-V3+1—y[~n

=--------+------------+------------+???+----------------

—A/2-1+V3-V2+V4-V3+…++1-

—J”+1—1

友情提示：本題我們利用平方差公式，把分母直接變成了有理數(shù)。對于實數(shù)的運算，當

分母中含有有理數(shù)和無理數(shù)時，不妨采用這種方法把分母變成有理數(shù)。

【本講涉及的數(shù)學思想和方法】

本講主要講了實數(shù)的意義及分類，在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義，實數(shù)

與數(shù)軸'兩個公式：…O）與1（a>0,/?>0）,以及實數(shù)的四

則運算。在學習實數(shù)與數(shù)軸時，運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。同時，在學習本講內(nèi)容時，我

們是對比有理數(shù)的相關(guān)運算及性質(zhì)來進行的，故也采用了類比的數(shù)學思想。

預習導學案

（平移）

（一）預習前知

1、什么是平移？決定平移的兩個條件是什么？

2、平移具有哪些性質(zhì)？

3、如何畫平移圖形？

（二）預習導學

探究與反思

探究任務1：平移的性質(zhì)

1、平移不改變圖形的形狀和大小。

【反思】（1）經(jīng)過平移，對應點所連的線段;

（2）經(jīng)過平移，對應線段;對應角.

探究任務2：畫平移圖形

2、根據(jù)平移的性質(zhì)畫平移圖形

【反思】平移作圖的一般步驟是：

（1）找出表示圖形的;

（2）將原圖形的關(guān)鍵點與其移動后的位置點連結(jié)起來；

（3）過其他關(guān)鍵點分別作線段，使得它們與確定線段,再連結(jié)這些關(guān)鍵點的對

應點，所得的圖形就是原來圖形平移后的圖形.

（三）牛刀小試

1.一個圖形經(jīng)過平移變換后，有以下幾種說法，其中不適當?shù)恼f法是（）

A.平移后，圖形的形狀和大小都不改變

B.平移后的圖形與原圖形的對應線段、對應角都相等

C.平移后的圖形形狀不變，但大小可以改變

D.利用基本圖形的平移可以設計美麗的圖案.

2.將長度為3cm的線段向上平移20cm,所得線段的長度是（）

A.3cmB.23cmC.20cmD.17cm.

3.如下圖圖案中可以看作由圖案自身的一部分經(jīng)過平移后而得到的是（）

0"

亦?0000

A

4.將圖形A向右平移3個單位得到圖形B,再將圖形B向左平移5個單位得到圖形C.

如果直接將圖形A平移到圖形C,則平移的方向和距離是（）

A.向右2個單位B.向右8個單位

C.向左8個單位D.向左2個單位.

5.下列運動屬于平移的是（）

A,冷水加熱過程中小氣泡上升成為大氣泡

B.急剎車時汽車在地面上的滑動

C.投籃時的籃球運動

D.隨風飄動的樹葉在空中的運動.

【模擬試題】（答題時間：60分鐘，滿分100分）

一、選擇題（每小題4分，共40分）

1.下列說法中正確的是（）

A.和數(shù)軸上一一對應的數(shù)是有理數(shù)

B.數(shù)軸上的點可以表示所有的實數(shù)

C.帶根號的數(shù)都是無理數(shù)

D.不帶根號的數(shù)都是無理數(shù)

2.在實數(shù)中，有（）

A.最大的數(shù)B.最小的數(shù)

C.絕對值最大的數(shù)D.絕對值最小的數(shù)

3.下列各式中，計算正確的是（

A.V2+V3=B.2+72=2-72

D,運電L4+E=2+3=5

C.aVx—bVx=（a—b）y/x

2

*4.下列命題中，錯誤的一個是（

A.如果a、b互為相反數(shù)，那么a+1和b-l仍是互為相反數(shù);

B.不論x是什么實數(shù)，/-2%+/的值總是大于0；

C.n是自然數(shù)，，〃2+1一定是一個無理數(shù);

D.如果&是一個無理數(shù)，那么a是非完全平方數(shù).

*5.下列計算正確的是()

A.2A/5x3V5=6^/5B.2V5X3A/5=5A/5

C.2A/5X3V5=5V10D.2V5X3A/5=30

6.如果Jx(x-6)=Vx-Jx-6成立,貝|J()

A.x26B.x20C.0WxW6D.x為任意實數(shù)

*7.下列運算正確的是()

A.V7+V5=V12B.5+V2=5A/2

*8.下列算式中正確的是()

A.m-y/S—n-\/5=m—n-\/5

B.5y[x+3y[y=Sy[xy

C.14a+3&=10

D

-舟檸=2有

9.i后2=』姿成立的條件是

)

VXVX

九一2

A.---->0B.xWOC.x，2D.x>0

x

*10.計算3X9+6的結(jié)果是

()

A.3B.9C.1D.373

二、填空題(每題3分，共24分)

____/72

11,在實數(shù)3.14,-70.36,--,0.13241324…，我，一!■中，無理數(shù)的個數(shù)

63

是.

12.一痛的相反數(shù)是,絕對值等于.

*13.等腰三角形的兩條邊長分別為2后和5J5,那么這個三角形的周長等于.

14.yfl2_36=.

15.我的倒數(shù)是_____.

*16.計算：；J為+6秒一22后的結(jié)果是.

*17.設正方形的邊長為a,面積為S。

(1)如果S=50cm2,貝!]a=cm。

(2)如果S=242cmL則a=cm。

*18.設直角三角形的兩條直角邊分別為a、b,斜邊是c。

(1)如果a=6,b=9,則c=o

(2)如果c=15,b=10,則a=o

三、解答題(共38分)

19.(本題6分)在數(shù)軸上作出一正對應的點。

*20.(本題8分)己知三角形的三邊a、b、c的長分別為J芯cm、V80cm>Jl25cm,

求這個三角形的周長和面積.

*21.(本題12分)化簡：

(1)5V2+V8-7V18

(2)V12+舊-專

(3)(1+V2)2

**22.(本題10分)觀察下列各式及驗證過程:

(1)按照上述四個等式及其驗證過程的基本思路,的變形結(jié)果并進行

驗證；

(2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用〃(〃22為整數(shù))表示的等式，并進行驗證。

【試題答案】

1.B【思路分析】每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示；反過來數(shù)軸上的每一個點都表

示一個實數(shù)。即實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的。

2.D【思路分析】根據(jù)絕對值的意義可知，任何一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，所以最小是

0,因此選D。

3.C【思路分析】A選項，兩個無理數(shù)被開方數(shù)不相同，不能相加;B選項，有理數(shù)和無理

數(shù)不能相加;D選項，無理數(shù)和有理數(shù)不能直接相除.本題答案是C.

4.C【思路分析】A選項，由a、b互為相反數(shù)知a+b=0,知a+1+b—l=a+b=0,故a+1

和b—1互為相反數(shù);B選項，可舉不同的有理數(shù)進行驗證;C選項，當n=0時，是

有理數(shù).本題答案是C.

5.D【思路分析】兩無理數(shù)相乘，讓有理數(shù)部分、無理數(shù)部分分別相乘，故

V5X3A/5=(2X3)X(V5XV5)=6X5=30?

x>0__

6.A【思路分析】使式子成立，必有!解得x26.

x-6>0

7.D【思路分析】-TU--V3—^1--1T3=-V3--A/3=0.

V279V27xV3999

8.C【思路分析】兩個無理數(shù)，如果化簡后被開方數(shù)不相同，則不能相加；當兩個無理數(shù)

被開方數(shù)相同時，有理部分相加，無理部分不變，故本題答案是D。

9.C【思路分析】保證被開方數(shù)是非負數(shù)的情況下，還要保證分母不為零。

10.1【思路分析】3X—尸4-^3=3X―產(chǎn)x--=—1.

V3V3V3

11.3【思路分析】無理數(shù)分別是一如，血，一〃，共三個。

6

12.V6,V6【思路分析】求無理數(shù)的相反數(shù)、絕對值與有理數(shù)相同。

13.10及+2g【思路分析】分兩種情況：一、若2g為腰，則三邊長分別是2JL2Q,

50,此時2g+2石=46<50,故此種情況不成立;二、若5血為腰，則三邊長分別

為5VL5>/2,2V3,此時三角形的周長為5血+5返+26=]0拒+2括.

14.-V3【思路分析】7i2-3V3=V4^3-3V3=2V3-3V3=-V3.,

15.—【思路分析】正的倒數(shù)是1==乙且=也。

2V2V2x22

16.2Vn【思路分析】,顧TH+9“1—2Z」一=JH+3JH—2jn=2jn0

32Vllxll

17.5V2,11V2【思路分析】邊長a是面積的算術(shù)平方根，當S=50時，

a=450=V25X2=572；當S