2022-2023學(xué)年湘教版必修第二冊(cè)二平面與平面垂直的性質(zhì)課時(shí)作業(yè)

2022-2023學(xué)年湘教版必修第二冊(cè)二平面與平面垂直的性

質(zhì)課時(shí)作業(yè)

一.單項(xiàng)選擇（）

1.m,〃為不重合的直線，a,B,7為互不相同的平面，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若就打，則經(jīng)過(guò)加，”的平面存在且唯一

B.若all/3,月則

c若C7,01y,?？诹?根，貝|]加工7

D若wiu6Z,〃ua,mHB,,則?！?/p>

2.蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的從正面看，蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱狀體

連接而成，中空柱狀體的底部是由三個(gè)全等的菱形面構(gòu)成，菱形的一個(gè)角度是

109。28二這樣的設(shè)計(jì)含有深刻的數(shù)學(xué)原理.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾專門研究蜂巢

的結(jié)構(gòu)著有《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》.用數(shù)學(xué)的眼光去看蜂巢的結(jié)構(gòu)，如

圖,在正六棱柱^BCDEF-AB'C'DE'的三個(gè)頂點(diǎn)A,C,E處分別用平面BFM,平

面9O,平面。印截掉三個(gè)相等的三棱錐M—產(chǎn)，O-BCD,N-DEF；平

面跳平面班平面DWV交于點(diǎn)尸，就形成了蜂巢的結(jié)構(gòu).

如圖，設(shè)平面網(wǎng)。。與正六邊形底面所成的二面角的大小為°，則cos6?=.

（用含1454。44'的代數(shù)式表示）

AB=l,BC=2y/2,B=-

3.如圖，在A46c中，4,將6c繞邊AB翻轉(zhuǎn)至

△ABP,使平面W平面ABC,。是的中點(diǎn)，設(shè)Q是線段H的動(dòng)點(diǎn)，則

當(dāng)PC與DQ所成角取得最小值時(shí)，線段AQ等于（）

好迪正2亞

A.2B.5C.5D.3

4.設(shè)平面a_L平面B,aCB=/,點(diǎn)尸ea,且尸？],則下列命題中真命題的是

A.過(guò)點(diǎn)P且垂直于a的直線平行于1

B.過(guò)點(diǎn)P且垂直于a的直線平行于8

C.過(guò)點(diǎn)P且垂直于a的平面平行于1

D.過(guò)點(diǎn)P且垂直于a的平面平行于B

5.如圖，在矩形"8中，點(diǎn)后為線段0。上一動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，將沿

小翻折成場(chǎng)，使得平面PAE，平面”CE.給出下列兩個(gè)結(jié)論：

①在平面抽以內(nèi)過(guò)點(diǎn)C有且只有一條直線與平面K4E平行；

②在線段CD上存在點(diǎn)E使得PE1AB.

則下列判斷正確的是()

A.①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確C.①，②都正確D.①，②都錯(cuò)誤

二.填空題()

6.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，M,N分別為棱AB和CD的中點(diǎn)，一個(gè)平

面分別與棱BC,BD,AD,AC交于E,F,G,H,且MNL平面EFGH.給出下列六個(gè)結(jié)

論：①ACLBD,②AB//平面EFGH,③平面ABC,平面EFGH,④四邊形EFGH的周長(zhǎng)

為定值；⑤四邊形EFGH的面積有最大值；⑥四邊形EFGH一定是矩形，其中，所有

正確結(jié)論的序號(hào)是.

7.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體被力-48G〃中，點(diǎn)〃是血的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在底

面正方形的力內(nèi)(不包括邊界)，若笈7/平面4掰則G尸長(zhǎng)度的取值范圍是.

8.如圖，在四棱錐S-鉆8中，底面ABC。是矩形，側(cè)面SCO,底面ABCD,

是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)RQ分別為側(cè)棱SAS3上的動(dòng)點(diǎn)，記

s=DP+PQ+QC則$的最小值的取值范圍是.

9,在三棱錐A—BCD中，若平面ABC,平面BCD,3Z)=CD且或),CD,則直

線CD與平面ABC所成角的大小為.

三.解答題O

10.如圖，在三棱錐P—Afi。中，NACB=90。，PA,底面ABC.

(1)求證：平面PAC，平面PBC；

(2)若%=AC=1,BC=2,"是的中點(diǎn)，求AM與平面PBC所成角的正

切值.

11.如圖，正三棱柱ABC-A笈G的高為6,底面邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)D,2分別為AC,4G

上的點(diǎn).

(I)在棱4。，4￡上是否存在點(diǎn)。2使得平面3。1。//平面4用2?請(qǐng)說(shuō)明理由.

(II)在(I)的條件下，求幾何體ABAG。。的體積?

12.如圖，三棱柱ABC—451G各棱長(zhǎng)均為2,/4延=60°.

七、工AB±AC

(1)求證：1；

⑵若面4”，面ABC,求四邊形8CG4的面積.

參考答案與試題解析

1.【答案】D

【解析】對(duì)于A,由公理三及其推論得經(jīng)過(guò)m,九的平面存在且唯一；對(duì)于B,由面面

平行的性質(zhì)定理得加/〃；對(duì)于C,由線面垂直的判定定理得加,/；對(duì)于D,0與尸相

交或平行.

詳解：解：由冽，〃為不重合的直線，a,P,/為互不相同的平面，知：

對(duì)于A,若加〃“，則由公理三及其推論得經(jīng)過(guò)冽，”的平面存在且唯一，故A正確;

對(duì)于B,若。〃分，aCV=〃z,則由面面平行的性質(zhì)定理得加〃“，故B正確;

對(duì)于C,若DY,=m,則由線面垂直的判定定理得加工/,故C正確;

對(duì)于D,若mua,"ua,,"〃〃，則a與4相交或平行，故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間直線.平面間的位置關(guān)系販判斷，考查平面的基本性質(zhì)，旨在考查學(xué)生空

間想象能力，邏輯推理能力.

二.填空題

2.［答案］—上一

3tan54044,

【解析】先證明一個(gè)結(jié)論：如圖，△A5c在平面a內(nèi)的射影為△ABC,C-AB-C'

1cos6=}ABC

的平面角為°(I2八，貝uLBC.

證明：如圖，在平面夕內(nèi)作CE，AB,垂足為E,連接EC,因?yàn)锳A6c在平面a內(nèi)

的射影為△A^C,故CC'，a,因?yàn)?匚。，故CC'LAB,因?yàn)镃EcAB=E,

故AB,平面ECC'.因?yàn)镋Cu平面ECC,故CE工A3,所以ZCEC為二面角的平

cosNCEC'=cos6=王=

面角，所以NCEC'=O.在直角三角形CEC中，ECS，ABC.由

cos6=^^

題設(shè)中的第二圖可得：SvDBC.設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為。，則

S工2旦/

224,如圖，在△￡■(?中，取89的中點(diǎn)為W,連接°卬，則

I-,OW=—ax——-——

OW±BDt且8。=6。，ZBOD=109°28；故2tan54°44',

C_1WG1_321o出

Sy,DBO=—xv3ax—cix---------------=—a---------cos0-----------

故22tan54044,4taE*,故3tan54°44'.

故答案為：3tan54044;

3.【答案】C

【解析】由題意可將三棱錐。一至。放在棱長(zhǎng)為2的正方體中如圖所示，

延長(zhǎng)AO交正方體的棱于點(diǎn)E,連接所，則4石均為其所在正方體棱上的中點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)C作班'的垂線CG,垂足為點(diǎn)G,則平CEE,所以AO_LCG,

又因?yàn)镸,CG,ADC\EF=Et所以CG,平面K4￡尸，

則PG為PC在平面PAEF內(nèi)的投影，

則當(dāng)DQ//PG時(shí)，PC與DQ所成的角取得最小值，

AQAD

止匕時(shí)由4Q"FG,AD//PF得AADQ-AFPG則而=而，

撞

FG-處AO-ADFG5-2^

在RNFCE中,易得5,所以FP25.

故選：C.

4【答案】B

【解析】對(duì)于屈過(guò)點(diǎn)〃且垂直于a的直線垂直于a內(nèi)的所有直線，則垂直于，，故

A錯(cuò)；

對(duì)于8在8內(nèi)作一直線垂直于1,由平面a1.平面8,an3=1,可得7i±a,

從而有過(guò)點(diǎn)P且垂直于a的直線平行于Z,進(jìn)而平行于B,故6正確；

對(duì)于C,D,過(guò)點(diǎn)P且垂直于a的平面可以圍繞過(guò)點(diǎn)尸且垂直于a的直線旋轉(zhuǎn)，

則過(guò)點(diǎn)P且垂直于a的平面與/不一定平行，與B也不一定平行，故G。均錯(cuò)誤.

故選：B.

5.【答案】A

【解析】

①在AB上取點(diǎn)尸，使”=EC,則四邊形AEG7為平行四邊形，

得CF//AE,從而b〃平面Q4E,結(jié)論正確：

②如圖，作PWAE,垂足為航，

因?yàn)槠矫鍼AE1平面ABCE,

平面PAEA平面ABC=AE,

則PM,平面A6CE,所以加_LAB.

假設(shè)則4?，平面Q4E,

從而AB,AE,這與44石為銳角矛盾，

所以假設(shè)不成立，結(jié)論錯(cuò)誤，

故選：A.

6.【答案】①②④⑤⑥

【解析】利用正四面體的性質(zhì)判斷①；利用直線與平面垂直的性質(zhì)判斷②；平面是否垂

直判斷③；通過(guò)折疊與展開判斷④；求出四邊形的面積判斷⑤；判斷四邊形的形狀判斷

⑥；

詳解：在棱長(zhǎng)為1的正四面體。中，對(duì)棱垂直，所以①AC,BO,正確；

M,N分別為棱A3和CD的中點(diǎn)，可知WA5,MN±CD；

一個(gè)平面分別與棱BC,BD,AD,AC交于E,F,G,"，且W平面￡FGH

所以AB//EF/AFG,AB//平面EEGH,所以②正確;

同時(shí)CD//GH//￡F,所以四邊形瓦＜汨一定是矩形，所以⑥正確;

平面ABNA平面EFGH,所以平面ABC,平面EFGH不正確，即③不正確;

由比例關(guān)系可知：E/+四是定值，四邊形跳GH的周長(zhǎng)為定值2,④正確；

由基本不等式的形狀，可知四邊形比《汨的面積有最大值1；所以⑤正確；

故答案為：①②④⑤⑥.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉正四面體的性質(zhì)以及及空間幾何體的直線與平

面.平面與平面的平行垂直性質(zhì)的綜合應(yīng)用，還運(yùn)用了基本不等式求面積最大值.

三.解答題

7.【答案】［等,0）

【解析】取回中點(diǎn)兒連結(jié)笈〃BNDN,作C01DN,連結(jié)GO,

因?yàn)槠矫骘L(fēng)爾〃平面AM

所以點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的軌跡是線段DN（動(dòng)點(diǎn)、P在底面正方形ABCD內(nèi)，不包括邊界,

故不含點(diǎn)N和點(diǎn)〃），

在中GDSDN=GN=2^4

任I中，1,

過(guò)GO,眺則當(dāng)產(chǎn)與。重合時(shí)，G尸長(zhǎng)度取最小值,

CO=___=

11A/52

—X------

所以GP長(zhǎng)度的最小值為22

當(dāng)P與。重合時(shí)，GP長(zhǎng)度取最大值，

，G產(chǎn)長(zhǎng)度的最大值為GD=血，

?.?尸與。不重合，G?長(zhǎng)度的取值范圍是

故答案為:

8.【答案】（2,3]

【解析】分析：根據(jù)垂直關(guān)系和全等關(guān)系可得到側(cè)面S&D,SAB,SBC的展開圖，將

所求范圍轉(zhuǎn)化為8取值范圍的求解；令二同時(shí)確定°的取值范圍，以°為

變量可表示出$,利用三角恒等變換和正弦型函數(shù)值域的求解方法可求得結(jié)果.

詳解：；底面A5。。為矩形，?,?BC,CD,

又平面SCO_L平面ABCD,平面SCZ5口平面ABCD=CD,5Cu平面ABCZ）,

BC_L平面SCD,又SCu平面SCD,/.BC_LSC,

同理可得：AD,SO,

AA

XVAD=BC9SA=SB9.e.SAD=SBC，SC=SD

將側(cè)面S4D,SABSBC展開后，展開圖如下圖所示:

則$的最小值的取值范圍即為CD的取值范圍.

ZDAP=0\0<0<-\

令I(lǐng)

?sin8=>—?-<0<—

.SD+SC>CD^AB即2SD>5A,…SA262

在△ADS中，AD=SAcos0-2cos6

-P_-DDP_AD

sin

sin，—9?sin。sin￡

在△4DP中，I3J3,3,

2cossin------0

_2cossin6^SP=2-AP=2--------------——，

.兀.n

sin——sin—

33

2cos6sin[g-。

PQ=SP=2—

si.n7—1

3

=0sin2，—cos2，+l=2sin12，—？J+1

9

<生.-.￡<20--<—.Avsin、，-祚1

62,666,2I6J

「?2<CDW3,即s的最小值的取值范圍為°，斗.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：求解側(cè)面上的線段長(zhǎng)之和的最小值問(wèn)題時(shí)，利用側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間

線段最短，確定最小值；由于本題中線段長(zhǎng)度不定，涉及最小值的取值范圍求解，我們

需利用某一變量表示出所求的最小值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解問(wèn)題；本題中因涉

及平面幾何，故采用三角函數(shù)和解三角形的知識(shí)來(lái)求解相對(duì)簡(jiǎn)單，通過(guò)三角函數(shù)表示出

所求線段長(zhǎng)后，利用三角恒等變換知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)值域的求解問(wèn)題.

9.【答案】一；

4

【解析】過(guò)力作。交8C于°,推導(dǎo)出。是中點(diǎn)，且OO,平面ABC,

從而直線CD與平面ABC所成角為/DCB,由此能求出直線CD與平面ABC所成角

的大小.

詳解：過(guò)。作。OL5C,交BC于°,

...在三棱錐人―中，平面.C，平面88,8D=CD且5DLCD,

...△5CD為等腰直角三角形，。是中點(diǎn)，且DO平面ABC,

直線CD與平面ABC所成角為ZDCB,

???在等腰直角三角形ABCD中DB-4,

71

直線CD與平面ABC所成角的大小為了.

71

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查線面角的求法，考查空間中線線.線面.面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查

運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】（1）證明見解析；（2）注.

2

試題分析：（1）證明出平面PAC,利用面面垂直的判定定理可證得平面

PAC,平面；

（2）在平面PAC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)4作4。，「。，連接證明出平面PBC,可

得出AM與平面PBC所成角為N4如，計(jì)算出的邊AZ）.DM的長(zhǎng)，由

此可計(jì)算出AM與平面PBC所成角的正切值.

詳解：（1）證明：在三棱錐尸—ABC中，底面ABC,BCu平面ABC,

:.PA±BC,

又?.?ZAC3=90°,即BC_LAC,QPAIAC=A,二臺(tái)。，平面PAC,

???BCu平面PBC,因此，平面平面PBC.

（2）解：在平面PAC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作ADLPC,連接DM,

:5C_L平面PAC,ADu平面PAC,:.AD±BC,

?.?AD±PC,BCnPC=C,AD_L平面PBC,

ZAMD是直線AM與平面PBC所成的角.

平面ABC,ACu平面ABC,:.PA±AC,

在Rt^PAC中，,PA=AC=1,：.PC=NPA2+AC2=0，

■■AD±PC,二。為PC的中點(diǎn)，且AD=」PC=1,

22

又是PB的中點(diǎn)，在APBC中，MD=^-BC=1,

2

?.?AZ）,平面PBC,

也

在小△"）網(wǎng)中，’ADVV2.

tanZAMD=-----==——

MD12

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的證明，同時(shí)也考查了線面角的正切值的計(jì)算，考查推理能力與計(jì)

算能力，屬于中等題.

【解析】

11.【答案】（I）。為AC的中點(diǎn)，A為AC的中點(diǎn)；（II）2.

【解析】（I）如圖，連接A5交A用于點(diǎn)。，連接.

由棱柱的性質(zhì)，知四邊形AABg為平行四邊形，.?.點(diǎn)。為［5的中點(diǎn).

?；平面BCXD//平面AB}D},且平面AiBC^c平面BCXD=BCX,平面AXBCXc平面

42_4。AjD,_DC

ABR=DO，,BC[//D0,同理AQ//D￡,

XDg~OB，D?—AD

又??,也=1,，兇=生=1,即。為AC的中點(diǎn)，。為AG的中點(diǎn).

OBQGAD

注：以“。為AC的中點(diǎn)，A為AG的中點(diǎn)”為條件，證明“平面3G。//平面A42

也算對(duì)，酌情給分.

（II）「V三棱ttABC-AB1G=gx2xgx6=3，

七棱ttA-444=V三棱錐G-BCD=gx；xlx6x6=；,

■'■匕何體ABB]C[D,0=3—2X]=2.

12.【答案】（1）證明見解析；（2）岳.

【解析】分析：（1）取A3中點(diǎn)。連接ARC。，A3,即可得到Afi,面從而

得證；

（2）連接BCBR,由面面垂直的