8.3簡單幾何體的表面積與體積（教師版）

立體幾何初步8.3簡單幾何體的表面積與體積一、知識回顧在初中已經(jīng)學過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關系嗎？二、探索新知知識點一棱柱、棱錐、棱臺的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和．棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和．知識點二棱柱、棱錐、棱臺的體積幾何體體積說明棱柱V棱柱＝ShS為棱柱的底面積，h為棱柱的高棱錐V棱錐＝eq\f(1,3)ShS為棱錐的底面積，h為棱錐的高棱臺V棱臺＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高知識點三圓柱、圓錐、圓臺的表面積圓柱底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝2πr(r＋l)圓錐底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝πr(r＋l)圓臺上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πl(wèi)(r＋r′)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)知識點四圓柱、圓錐、圓臺的體積V圓柱＝πr2h(r是底面半徑，h是高)，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h(r是底面半徑，h是高)，V圓臺＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分別是上、下底面半徑，h是高).知識點五球的表面積和體積表面積：S＝4πR2．體積：V＝eq\f(4,3)πR3．例1如圖8.31，四面體的各棱長均為，求它的表面積．【分析】：因為四面體的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面的面積的4倍．解：因為是正三角形，其邊長為，所以．因此，四面體的表面積．【練習1】若正六棱臺的上、下底面邊長分別是2cm和6cm，側(cè)棱長是5cm，求它的表面積.【答案】正六棱臺的表面積為【解析】如圖，正六棱臺中，，，，∴側(cè)面梯形的斜高為∴∴.又，，∴正六棱臺的表面積.即正六棱臺的表面積為.例2如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是0.5m，公共面是邊長為1m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米（精確到）？【分析】漏斗由兩個多面體組成，其容積就是兩個多面體的體積和.解：由題意知，長方體的體積，棱錐的體積，所以這個漏斗的容積.【練習2】若圓錐的軸截面是面積為1的等腰直角三角形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：依題意，設圓錐的底面直徑為，母線為，則且，解得，，所以圓錐的高所以，故選：A例3如圖8.34，某種浮標由兩個半球和一個圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m．如果在浮標表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個這樣的浮標涂防水漆需要多少涂料？（取3.14）解：一個浮標的表面積為，所以給1000個這樣的浮標涂防水漆約需涂料【設計意圖】段煉其發(fā)散思維，培養(yǎng)其解決實際問題能力?！揪毩?】已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，求這個圓錐的底面直徑.【答案】【解析】設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則由題意得.又圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，，即.將②式代入①式得，，即.故圓錐的底面直徑為.例4如圖8.36，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比．解：設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為．，．【練習4】一個與球心距離為1的平面截球體所得的圓面積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出平面截球體所得的圓的半徑，即可求出球半徑，得出體積.【解析】設球的半徑為，平面截球體所得的圓的半徑為，則由題可得，解得，所以,所以球的體積為.故選：B.課后練習1、如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點A，B，C，D在同一個平面內(nèi)，如果四邊形ABCD是邊長為30cm的正方形，那么這個八面體的表面積是多少？【答案】【解析】解：由題意，每個面都是邊長為30cm的正三角形，即這個八面體的表面積是.2、將一個棱長為6cm的正方體鐵塊磨制成一個球體零件，求可能制作的最大零件的體積.【答案】【解析】解：由題意知，球內(nèi)切于正方體，，.所以球的體積，即可制作的最大零件的體積為.3、一個長、寬、高分別是80cm，60cm，55cm的水槽中裝有200000的水，現(xiàn)放入一個直徑為50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否會從水槽中溢出？【答案】不會【解析】解：球的體積，水中球的體積，長方體的體積，.故水不會從水槽中溢出.4、一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長是，求球的體積.【答案】【解析】解：∵正方體的棱長為,∴正方體的體對角線長為，∴球的半徑，.5、在底面半徑為2母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為的圓柱，求圓柱的表面積.【答案】【解析】解：設圓錐的底面半徑為，圓柱的底面半徑為，表面積為，底