廣東省惠州惠城區(qū)五校聯(lián)考2022年九年級數(shù)學第一學期期末教學質量檢測試題含解析

2022-2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如下圖：⊙O的直徑為10，弦AB的長為8，點P是弦AB上的一個動點，使線段OP的長度為整數(shù)的點P有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個2．某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高米，底面半徑米，則圓錐的側面積是多少平方米（結果保留）．（）A． B． C． D．3．如圖，正方形中，為的中點，的垂直平分線分別交，及的延長線于點，，，連接，，，連接并延長交于點，則下列結論中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．正確的結論的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．64．如圖，AD∥BE∥CF，AB=3，BC=6，DE=2，則EF的值為（）A．2 B．3 C．4 D．55．在反比例函數(shù)的圖象中，陰影部分的面積不等于4的是（）A． B． C． D．6．在學校組織的實踐活動中，小新同學用紙板制作了一個圓錐模型，它的底面半徑為1，母線長為1．則這個圓錐的側面積是()A．4π B．1π C．π D．2π7．關于x的方程有一個根是2，則另一個根等于（）A．-4 B． C． D．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，則tanA＝（）A． B． C． D．9．一個布袋內只裝有1個黑球和2個白球,這些球除顏色不同外其余都相同,隨機摸出一個球后放回攪勻,再隨機摸出一個球,則兩次摸出的球都是黑球的概率是()A． B． C． D．10．若式子在實數(shù)范圍內有意義，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知一個不透明的盒子中裝有3個紅球，2個白球，這些球除顏色外均相同，現(xiàn)從盒中任意摸出1個球，則摸到紅球的概率是________

．12．如圖，沿傾斜角為30°的山坡植樹，要求相鄰兩棵樹間的水平距離AC為2m，那么相鄰兩棵樹的斜坡距離AB約為________m．（結果精確到0.1m）13．如圖，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=______．14．如圖所示，寫出一個能判定的條件________．15．函數(shù)沿直線翻折所得函數(shù)解析式為_____________.16．若兩個相似三角形的面積比為1∶4，則這兩個相似三角形的周長比是__________．17．已知兩個相似三角形的周長比是，它們的面積比是________．18．若菱形的兩條對角線長分別是6㎝和8㎝，則該菱形的面積是㎝1．三、解答題(共66分)19．（10分）在正方形ABCD中，M是BC邊上一點，且點M不與B、C重合，點P在射線AM上，將線段AP繞點A順時針旋轉90°得到線段AQ，連接BP，DQ．（1）依題意補全圖1；（2）①連接DP，若點P，Q，D恰好在同一條直線上，求證：DP2+DQ2=2AB2；②若點P，Q，C恰好在同一條直線上，則BP與AB的數(shù)量關系為：．20．（6分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx﹣3a經過點A（﹣1，0）、C（0，3），與x軸交于另一點B，拋物線的頂點為D，（1）求此二次函數(shù)解析式；（2）連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．21．（6分）閱讀下面材料，完成（1）﹣（3）題數(shù)學課上，老師出示了這樣一道題：如圖，四邊形ABCD，AD∥BC，AB=AD，E為對角線AC上一點，∠BEC=∠BAD=2∠DEC，探究AB與BC的數(shù)量關系．某學習小組的同學經過思考，交流了自己的想法：小柏：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)∠ACB=∠ABE”；小源：“通過觀察和度量，AE和BE存在一定的數(shù)量關系”；小亮：“通過構造三角形全等，再經過進一步推理，就可以得到線段AB與BC的數(shù)量關系”．……老師：“保留原題條件，如圖2，AC上存在點F，使DF=CF=AE，連接DF并延長交BC于點G，求的值”．（1）求證：∠ACB=∠ABE；（2）探究線段AB與BC的數(shù)量關系，并證明；（3）若DF=CF=AE，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．22．（8分）放寒假，小明的爸爸把油箱注滿油后準備駕駛汽車到距家300的學校接小明，在接到小明后立即按原路返回，已知小明爸爸汽車油箱的容積為70，請回答下列問題：（1）寫出油箱注滿油后，汽車能夠行使的總路程與平均耗油量之間的函數(shù)關系式；（2）小明的爸爸以平均每千米耗油0.1的速度駕駛汽車到達學校，在返回時由于下雨，小明的爸爸降低了車速，此時每千米的耗油量增加了一倍，如果小明的爸爸始終以此速度行使，油箱里的油是否夠回到家？如果不夠用，請通過計算說明至少還需加多少油？23．（8分）如圖，已知拋物線與軸相交于、兩點，與軸相交于點，對稱軸為，直線與拋物線相交于、兩點.（1）求此拋物線的解析式；（2）為拋物線上一動點，且位于的下方，求出面積的最大值及此時點的坐標；（3）設點在軸上，且滿足，求的長.24．（8分）如圖所示，中，，，將翻折，使得點落到邊上的點處，折痕分別交邊，于點、點，如果，那么______.25．（10分）解方程：－2＝3（－x）．26．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連接AC，過上一點E作EG∥AC交CD的延長線于點G，連接AE交CD于點F，且EG=FG．（1）求證：EG是⊙O的切線；（2）延長AB交GE的延長線于點M，若AH=2，，求OM的長．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】當P為AB的中點時OP最短，利用垂徑定理得到OP垂直于AB，在直角三角形AOP中，由OA與AP的長，利用勾股定理求出OP的長；當P與A或B重合時，OP最長，求出OP的范圍，由OP為整數(shù)，即可得到OP所有可能的長．【詳解】當P為AB的中點時，由垂徑定理得OP⊥AB，此時OP最短，∵AB=8，∴AP=BP=4，在直角三角形AOP中，OA=5，AP=4，根據勾股定理得OP=3，即OP的最小值為3；當P與A或B重合時，OP最長，此時OP=5，∴，則使線段OP的長度為整數(shù)的點P有3，4，5，共3個．故選A考點：1.垂徑定理；2.勾股定理2、A【分析】根據勾股定理求得AB，再求得圓錐的底面周長即圓錐的側面弧長，根據扇形面積的計算方法S=lr，求得答案即可．【詳解】解：∵AO=8米，OB=6米，∴AB=10米，

∴圓錐的底面周長=2×π×6=12π米，

∴S扇形=lr=×12π×10=60π（米2）．

故選：A．【點睛】本題考查了圓錐的有關計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，熟知圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．3、B【分析】①作輔助線，構建三角形全等，證明△ADE≌△GKF，則FG=AE，可得FG=2AO；②設正方形ABCD的邊長為2x，則AD=AB=2x，DE=EC=x，證明△ADE∽△HOA，得，于是可求BH及HE的值，可作出判斷；③分別表示出OD、OC，根據勾股定理逆定理可以判斷；④證明∠HEA=∠AED=∠ODE，OE≠DE，則∠DOE≠∠HEA，OD與HE不平行；

⑤由②可得，根據AR∥CD，得，則；⑥證明△HAE∽△ODE，可得，等量代換可得OE2=AH?DE；⑦分別計算HC、OG、BH的長，可得結論．【詳解】解：①如圖，過G作GK⊥AD于K，

∴∠GKF=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，

∴∠ADE=∠GKF，

∵AE⊥FH，

∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，

∵∠OAF+∠AED=90°，

∴∠AFO=∠AED，

∴△ADE≌△GKF，

∴FG=AE，

∵FH是AE的中垂線，

∴AE=2AO，

∴FG=2AO，

故①正確；②設正方形ABCD的邊長為2x，則AD=AB=2x，DE=EC=x，，易得△ADE∽△HOA，，，Rt△AHO中，由勾股定理得：AH=，∴BH=AH-AB=，∵HE=AH=，∴HE=5BH；

故②正確；③，，∴，∴OC與OD不垂直，故③錯誤；

④∵FH是AE的中垂線，

∴AH=EH，

∴∠HAE=∠HEA，

∵AB∥CD，

∴∠HAE=∠AED，

Rt△ADE中，∵O是AE的中點，

∴OD=AE=OE，

∴∠ODE=∠AED，

∴∠HEA=∠AED=∠ODE，

當∠DOE=∠HEA時，OD∥HE，

但AE＞AD，即AE＞CD，

∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，

∴OD與HE不平行，

故④不正確；

⑤由②知BH=，，延長CM、BA交于R，

∵RA∥CE，

∴∠ARO=∠ECO，

∵AO=EO，∠ROA=∠COE，

∴△ARO≌△ECO，

∴AR=CE，

∵AR∥CD，，故⑤正確；

⑥由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，

∴△HAE∽△ODE，∵AE=2OE，OD=OE，

∴OE?2OE=AH?DE，

∴2OE2=AH?DE，

故⑥正確；

⑦由②知：HC=，∵AE=2AO=OH=，tan∠EAD=，，，∵FG=AE，，∴OG+BH=，∴OG+BH≠HC，

故⑦不正確；

綜上所述，本題正確的有；①②⑤⑥，共4個，

故選：B．【點睛】本題是相似三角形的判定與性質以及勾股定理、線段垂直平分線的性質、正方形的性質的綜合應用，正確作輔助線是關鍵，解答時證明三角形相似是難點．4、C【分析】根據平行線分線段成比例定理即可得出答案．【詳解】∵AD∥BE∥CF，∴．∵AB=3，BC=6，DE=2，∴，∴EF=1．故選C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握定理的內容是解題的關鍵．5、B【分析】根據反比例函數(shù)中k的幾何意義，過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|解答即可．【詳解】解：A、圖形面積為|k|=1；B、陰影是梯形，面積為6；C、D面積均為兩個三角形面積之和，為2×（|k|）=1．故選B．【點睛】主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經常考查的一個知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即S=|k|．6、B【分析】根據圓錐的側面積，代入數(shù)進行計算即可．【詳解】解：圓錐的側面積2π×1×1=1π．故選：B．【點睛】本題主要考查了圓錐的計算，掌握圓錐的計算是解題的關鍵.7、B【分析】利用根與系數(shù)的關系，，由一個根為2，以及a，c的值求出另一根即可．【詳解】解：∵關于x的方程有一個根是2，∴，即∴，故選：B．【點睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關系，熟練地運用根與系數(shù)的關系可以大大降低計算量．8、B【分析】根據正切的定義計算，得到答案．【詳解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，，故選：B．【點睛】本題考查正切的計算，熟知直角三角形中正切的表示是解題的關鍵.9、D【解析】試題分析：列表如下

黑

白1

白2

黑

（黑，黑）

（白1，黑）

（白2，黑）

白1

（黑，白1）

（白1，白1）

（白2，白1）

白2

（黑，白2）

（白1，白2）

（白2，白2）

由表格可知，隨機摸出一個球后放回攪勻，再隨機摸出一個球所以的結果有9種，兩次摸出的球都是黑球的結果有1種，所以兩次摸出的球都是黑球的概率是．故答案選D．考點：用列表法求概率．10、C【解析】直接利用二次根式的定義即可得出答案．【詳解】∵式子在實數(shù)范圍內有意義，∴x的取值范圍是：x＞1．故選：C．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解答本題的關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】先求出這個口袋里一共有球的個數(shù)，然后用紅球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即可．【詳解】因為共有5個球，其中紅球由3個，所以從中任意摸出一個球是紅球的概率是，故答案為．【點睛】本題考查了概率公式，掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關鍵．12、2.3【解析】AB是Rt△ABC的斜邊，這個直角三角形中，已知一邊和一銳角，滿足解直角三角形的條件，可求出AB的長．【詳解】在Rt△ABC中,∴∴即斜坡AB的長為2.3m.故答案為2.3.【點睛】考查解直角三角形的實際應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關鍵.13、3【分析】根據旋轉的性質，可得∠BAC＝∠PAP′＝90°，AP＝AP′，故△APP′是等腰直角三角形，由勾股定理得PP′的大?。驹斀狻拷猓焊鶕D的性質，可得∠BAC＝∠PAP′＝90°，AP＝AP′，∴△APP′是等腰直角三角形，由勾股定理得PP′＝．故答案為.【點睛】本題考查了圖形的旋轉變化，旋轉得到的圖形與原圖形全等，解答時要分清旋轉角和對應線段．14、（答案不唯一）【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．【詳解】已知△ABC和△DCA中，∠ACD=∠BAC；

如果△ABC∽△DAC，需滿足的條件有：

①∠DAC=∠B或∠ADC=∠BAC；

②AC2=DC?BC；

故答案為：AC2=DC?BC（答案不唯一）．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定方法；熟記三角形相似的判定方法是解決問題的關鍵．15、【解析】函數(shù)沿直線翻折所得函數(shù)圖像開口向下，只要根據軸對稱的性質求出對稱后的頂點坐標即可.【詳解】∵=(x-1)2+3，∴其頂點坐標是（1,3），∵（1,3）關于直線的點的坐標是（1，-1），∴所得函數(shù)解析式為(x-1)2-1.故答案為：.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的軸對稱變換，其形狀不變，但開口方向相反，因此a值為原來的相反數(shù)，頂點位置改變，只要根據軸對稱的點坐標特征求出新的頂點坐標，即可確定解析式.16、【解析】試題分析：∵兩個相似三角形的面積比為1：4，∴這兩個相似三角形的相似比為1：1，∴這兩個相似三角形的周長比是1：1，故答案為1：1．考點：相似三角形的性質．17、【解析】根據相似三角形的性質直接解答即可．解：∵兩個相似三角形的周長比是1：3，∴它們的面積比是，即1：1．故答案為1：1．本題考查的是相似三角形的性質，即相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方．18、14【解析】已知對角線的長度，根據菱形的面積計算公式即可計算菱形的面積．解：根據對角線的長可以求得菱形的面積，根據S=ab=×6×8=14cm1，故答案為14．三、解答題(共66分)19、（1）詳見解析；（1）①詳見解析；②BP=AB．【分析】（1）根據要求畫出圖形即可；（1）①連接BD，如圖1，只要證明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°即可解決問題；②結論：BP=AB，如圖3中，連接AC，延長CD到N，使得DN=CD，連接AN，QN．由△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，推出DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，由∠AQP=45°，推出∠NQC=90°，由CD=DN，可得DQ=CD=DN=AB；【詳解】（1）解：補全圖形如圖1：（1）①證明：連接BD，如圖1，∵線段AP繞點A順時針旋轉90°得到線段AQ，∴AQ=AP，∠QAP=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠1=∠1．∴△ADQ≌△ABP，∴DQ=BP，∠Q=∠3，∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA=90°，∴∠BPD=∠3+∠QPA=90°，∵在Rt△BPD中，DP1+BP1=BD1，又∵DQ=BP，BD1=1AB1，∴DP1+DQ1=1AB1．②解：結論：BP=AB．理由：如圖3中，連接AC，延長CD到N，使得DN=CD，連接AN，QN．∵△ADQ≌△ABP，△ANQ≌△ACP，∴DQ=PB，∠AQN=∠APC=45°，∵∠AQP=45°，∴∠NQC=90°，∵CD=DN，∴DQ=CD=DN=AB，∴PB=AB．【點睛】本題考查正方形的性質，旋轉變換、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸20、（2）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+2．（2）證明見解析；（2）點P坐標為（，）或（2，2）．【解析】試題分析：（2）將A（﹣2，0）、C（0，2），代入二次函數(shù)y=ax2+bx﹣2a，求得a、b的值即可確定二次函數(shù)的解析式；（2）分別求得線段BC、CD、BD的長，利用勾股定理的逆定理進行判定即可；（2）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論．運用兩點間距離公式建立起P點橫坐標和縱坐標之間的關系，再結合拋物線解析式即可求解．試題解析：（2）∵二次函數(shù)y=ax2+bx﹣2a經過點A（﹣2，0）、C（0，2），∴將A（﹣2，0）、C（0，2），代入，得，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+2；（2）如圖，連接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣2）2+4得，D點坐標為（2，4），∴CD==，BC==2，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（2）2=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（2）y=﹣x2+2x+2對稱軸為直線x=2．假設存在這樣的點P,①以CD為底邊，則P2D=P2C，設P2點坐標為（x，y），根據勾股定理可得P2C2=x2+（2﹣y）2，P2D2=（x﹣2）2+（4﹣y）2，因此x2+（2﹣y）2=（x﹣2）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P2點（x，y）在拋物線上，∴4﹣x=﹣x2+2x+2，即x2﹣2x+2=0，解得x2=，x2=＜2，(不滿足在對稱軸右側應舍去），∴x=，∴y=4﹣x=，即點P2坐標為（，）．②以CD為一腰，∵點P2在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P2與點C關于直線x=2對稱，此時點P2坐標為（2，2）．∴符合條件的點P坐標為（，）或（2，2）．考點：2.二次函數(shù)圖象性質；2.等腰三角形性質；2.直角三角形的判定.21、（1）見解析；（2）CB=2AB；（3）【分析】（1）利用平行線的性質以及角的等量代換求證即可；（2）在BE邊上取點H，使BH=AE，可證明△ABH≌△DAE，△ABE∽△ACB，利用相似三角形的性質從而得出結論；（3）連接BD交AC于點Q，過點A作AK⊥BD于點K，得出，通過證明△ADK∽△DBC得出∠BDC=∠AKD=90°，再證DF=FQ，設AD=a，因此有DF=FC=QF=ka，再利用相似三角形的性質得出AC=3ka，，，從而得出答案．【詳解】解：（1）∵∠BAD=∠BEC∠BAD=∠BAE+∠EAD∠BEC=∠ABE+BAE∴∠EAD=∠ABE∵AD∥BC∴∠EAD=∠ACB∴∠ACB=∠ABE（2）在BE邊上取點H，使BH=AE∵AB=AD∴△ABH≌△DAE∴∠AHB=∠AED∵∠AHB+∠AHE=180°∠AED+∠DEC=180°∴∠AHE=∠DEC∵∠BEC=2∠DEC∠BEC=∠HAE+∠AHE∴∠AHE=∠HAE∴AE=EH∴BE=2AE∵∠ABE=∠ACB∠BAE=∠CAB∴△ABE∽△ACB∴∴CB=2AB；（3）連接BD交AC于點Q，過點A作AK⊥BD于點K∵AD=AB∴∠AKD=90°∵∴∵AD∥BC∴∠ADK=∠DBC∴△ADK∽△DBC∴∠BDC=∠AKD=90°∵DF=FC∴∠FDC=∠DFC∵∠BDC=90°∴∠FDC+∠QDF=90°∠DQF+∠DCF=90°∴DF=FQ設AD=a∴DF=FC=QF=ka∵AD∥BC∴∠DAQ=∠QCB∠ADQ=∠QBC∴△AQD∽△CQB∴∴AQ=ka=QF=CF∴AC=3ka∵△ABE∽△ACB∴∴同理△AFD∽△CFG∴．【點睛】本題是一道關于相似的綜合題目，難度較大，根據題目作出合適的輔助線是解此題的關鍵，解決此題還需要較強的數(shù)形結合的能力以及較強的計算能力．22、（1）；（2）不夠，至少要加油20L【分析】（1）根據總路程×平均耗油量=油箱總油量求解即可；（2）先計算去時所用油量，再計算返回時用油量，與油箱中剩余油量作比較即可得出答案．【詳解】解：（1）由題意可得出總路程與平均耗油量的函數(shù)關系式為：；（2）小明的爸爸始終以此速度行使，油箱里的油不能夠回到家小明爸爸去時用油量是：（）油箱剩下的油量是：（）返回每千米用油量是：（）返回時用油量是：（）.所以，油箱里的油不能夠回到家，至少要加油：【點睛】本題考查的知識點是求反比例函數(shù)的解析式，比較基礎，易于掌握．23、（1）；（2）當時，取最大值，此時點坐標為.（3）或17.【分析】（1）根據對稱軸與點A代入即可求解；（2）先求出，過點作軸的平行線，交直線于點，設，得到，，表示出，根據二次函數(shù)的性質即可求解；（3）根據題意分①當在軸正半軸上時，②當在軸負半軸上時利用相似三角形的性質即可求解.【詳解】（1）∵對稱軸為x＝?1，∴?＝?1，∴b＝2a，∴y＝ax2＋2ax?5，∵y＝?x＋3與x軸交于點A（3，0），將點A代入y＝ax2＋2ax?5可得a＝∴.（2）令，解得：，，∴，過點作軸的平行線，交直線于點，設，則，∴，，則，∵，∴當時，取最大值，此時點坐標為.（3）存在，理由：①當在軸正半軸上時，如圖，過點作于，根據三角形的外角的性質得，，又∵，∴，∴，∵，，∴，設，則，又∵，，∴，∴，∴，∴，②當在軸負半軸上時，記作，由①知，，取，如圖，則由對稱知：，∴，因此點也滿足題目條件，∴，綜合