遼寧省大連市高新區(qū)2022年數(shù)學九上期末綜合測試試題含解析

2022-2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．方程x（x﹣1）＝0的解是（）．A．x＝1 B．x＝0 C．x1＝1，x2＝0 D．沒有實數(shù)根2．已知線段c是線段a和b的比例中項，若a=1，b=2,則c=()A．1 B． C． D．3．關(guān)于拋物線，下列說法錯誤的是（）A．開口方向向上 B．對稱軸是直線C．頂點坐標為 D．當時，隨的增大而增大4．拋物線y=（x+2）2﹣3可以由拋物線y=x2平移得到，則下列平移過程正確的是（）A．先向左平移2個單位，再向上平移3個單位 B．先向左平移2個單位，再向下平移3個單位C．先向右平移2個單位，再向下平移3個單位 D．先向右平移2個單位，再向上平移3個單位5．式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣26．下列四張印有汽車品牌標志圖案的卡片中，是中心對稱圖形的卡片是（）A． B． C． D．7．平面直角坐標系內(nèi)，已知線段AB兩個端點的坐標分別為A（2，2）、B（3，1），以原點O為位似中心，將線段AB擴大為原來的2倍后得到對應(yīng)線段，則端點的坐標為（）A．（4，4） B．（4，4）或（-4，-4） C．（6，2） D．（6，2）或（-6，-2）8．如圖，A、B、C是⊙O上的三點，已知∠O＝50°，則∠C的大小是（）A．50° B．45° C．30° D．25°9．如圖是二次函數(shù)的圖象，其對稱軸為x=1，下列結(jié)論：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(，y1)，(，y2)是拋物線上兩點，則y1<y2，其中正確的結(jié)論有()個A．1 B．2 C．3 D．410．要得到函數(shù)y＝2(x－1)2＋3的圖像，可以將函數(shù)y＝2x2的圖像（）A．向左平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度B．向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度C．向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位長度D．向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度11．如圖所示的幾何體的左視圖是()A． B．C． D．12．有三個質(zhì)地、大小一樣的紙條上面分別寫著三個數(shù)，其中兩個正數(shù)，一個負數(shù)，任意抽取一張，記下數(shù)的符號后，放回搖勻，再重復(fù)同樣的操作一次，試問兩次抽到的數(shù)字之積是正數(shù)的概率為（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．一男生推鉛球，鉛球行進高度y與水平距離x之間的關(guān)系是，則鉛球推出的距離是_____．此時鉛球行進高度是_____．14．如圖，在?ABCD中，AB＝6，BC＝6，∠D＝30°，點E是AB邊的中點，點F是BC邊上一動點，將△BEF移沿直線EF折疊，得到△GEF，當FG∥AC時，BF的長為_____．15．已知二次函數(shù)y＝3x2+2x，當﹣1≤x≤0時，函數(shù)值y的取值范圍是_____．16．已知關(guān)于x的方程x2-3x+m=0的一個根是1，則m=__________．17．若，且，則的值是__________．18．如圖，正方形的頂點、在圓上，若，圓的半徑為2，則陰影部分的面積是__________．（結(jié)果保留根號和）三、解答題（共78分）19．（8分）在平面直角坐標系xOy中，對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+8過點（﹣2，0）．（1）求拋物線的表達式，并寫出其頂點坐標；（2）現(xiàn)將此拋物線沿y軸方向平移若干個單位，所得拋物線的頂點為D，與y軸的交點為B，與x軸負半軸交于點A，過B作x軸的平行線交所得拋物線于點C，若AC∥BD，試求平移后所得拋物線的表達式．20．（8分）（如圖1，若拋物線l1的頂點A在拋物線l2上，拋物線l2的頂點B也在拋物線l1上（點A與點B不重合）．我們稱拋物線l1，l2互為“友好”拋物線，一條拋物線的“友好”拋物線可以有多條．（1）如圖2，拋物線l3：與y軸交于點C，點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則點D的坐標為；（2）求以點D為頂點的l3的“友好”拋物線l4的表達式，并指出l3與l4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；（3）若拋物線y＝a1(x－m)2＋n的任意一條“友好”拋物線的表達式為y＝a2(x－h(huán))2＋k，寫出a1與a2的關(guān)系式，并說明理由．21．（8分）如圖，在中，，點是中點.連接.作，垂足為，的外接圓交于點，連接.（1）求證：；（2）過點作圓的切線，交于點.若，求的值；（3）在（2）的條件下，當時，求的長.22．（10分）有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“和睦四邊形”，寓意是全世界和平共處，睦鄰友好，共同發(fā)展.如菱形，正方形等都是“和睦四邊形”.（1）如圖1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求證:四邊形ABCD為“和睦四邊形”；（2）如圖2，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點P、Q分別是線段OA、AB上的動點.點P從點A出發(fā),以每秒4個單位長度的速度向點O運動.點Q從點A出發(fā),以每秒5個單位長度的速度向點B運動.P、Q兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t秒.當四邊形BOPQ為“和睦四邊形”時，求t的值；（3）如圖3，拋物線與軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點，拋物線的頂點為點D．當四邊形COBD為“和睦四邊形”，且CD=OC．拋物線還滿足：①；②頂點D在以AB為直徑的圓上.點是拋物線上任意一點，且.若恒成立，求m的最小值.23．（10分）（1）解方程：x2+4x﹣1＝0（2）計算：cos30°+sin45°24．（10分）如圖，已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為，直線與該二次函數(shù)的圖象交于，兩點，其中點的坐標為，點在軸上．是軸上的一個動點，過點作軸的垂線分別與直線和二次函數(shù)的圖象交于，兩點．（1）求的值及這個二次函數(shù)的解析式；（2）若點的橫坐標，求的面積；（3）當時，求線段的最大值；（4）若直線與二次函數(shù)圖象的對稱軸交點為，問是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．25．（12分）“早黑寶”葡萄品種是我省農(nóng)科院研制的優(yōu)質(zhì)新品種，在我省被廣泛種植，鄧州市某葡萄種植基地2017年種植“早黑寶”100畝，到2019年“卓黑寶”的種植面積達到196畝.（1）求該基地這兩年“早黑寶”種植面積的平均增長率；（2）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當“早黑寶”的售價為20元/千克時，每天能售出200千克，售價每降價1元，每天可多售出50千克，為了推廣宣傳，基地決定降價促銷，同時減少庫存，已知該基地“早黑寶”的平均成本價為12元/千克，若使銷售“早黑寶”每天獲利1750元，則售價應(yīng)降低多少元？26．我市在創(chuàng)建全國文明城市的過程中，某社區(qū)在甲樓的A處與E處之間懸掛了一副宣傳條幅，在乙樓頂部C點測得條幅頂端A點的仰角為45°，條幅底端E點的俯角為30°，若甲、乙兩樓之間的水平距離BD為12米，求條幅AE的長度．(結(jié)果保留根號)

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】根據(jù)因式分解法解方程得到x=0或x﹣1=0，解兩個一元一次方程即可.【詳解】解：x（x﹣1）＝0x=0或x﹣1=0∴x1＝1，x2＝0，故選C.【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是關(guān)鍵.2、B【分析】根據(jù)線段比例中項的概念，可得a：c=c：b，可得c2=ab=2，故c的值可求，注意線段不能為負．【詳解】解：∵線段c是a、b的比例中項，∴c2=ab=2，

解得c=±，

又∵線段是正數(shù)，∴c=．

故選：B．【點睛】本題考查了比例中項的概念，注意：求兩個數(shù)的比例中項的時候，應(yīng)開平方．求兩條線段的比例中項的時候，負數(shù)應(yīng)舍去．3、C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一進行判斷即可．【詳解】A.因為二次項系數(shù)大于0，所以開口方向向上，故正確；B.對稱軸是直線，故正確；C.頂點坐標為，故錯誤；D.當時，隨的增大而增大，故正確；故選：C．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4、B【解析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則進行解答即可：∵y＝x2，∴平移過程為：先向左平移2個單位，再向下平移3個單位．故選B．5、B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解不等式即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，

故選：B．【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．6、B【解析】根據(jù)中心對稱圖形的概念：如果一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，逐一判斷即可．【詳解】A.不是中心對稱圖形，故錯誤；B.是中心對稱圖形，故正確；C.不是中心對稱圖形，故錯誤；D.不是中心對稱圖形，故錯誤；故選：B．【點睛】本題主要考查中心對稱圖形，掌握中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．7、B【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)只要點的橫、縱坐標分別乘以2或﹣2即得答案．【詳解】解：∵原點O為位似中心，將線段AB擴大為原來的2倍后得到對應(yīng)線段，且A（2，2）、B（3，1），∴點的坐標為（4，4）或（﹣4，﹣4）．故選：B．【點睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，正確分類、掌握求解的方法是解題關(guān)鍵．8、D【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠C與∠AOB是同弧所對的圓周角與圓心角，

∵∠AOB=2∠C=50°，

∴∠C=∠AOB=25°．

故選：D．【點睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．9、A【分析】①由拋物線的開口方向、對稱軸即與y軸交點的位置，可得出a＜0、b＞0、c＞0，進而即可得出abc＜0，結(jié)論①錯誤；②由拋物線的對稱軸為直線x=1，可得出2a+b=0，結(jié)論②正確；③由拋物線的對稱性可得出當x=2時y＞0，進而可得出4a+2b+c＞0，結(jié)論③錯誤；④找出兩點離對稱軸的距離，比較后結(jié)合函數(shù)圖象可得出y1=y2，結(jié)論④錯誤．綜上即可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=1，與y軸交于正半軸，

∴a＜0，=1，c＞0，∴b=-2a＞0，∴abc＜0，結(jié)論①錯誤；②拋物線對稱軸為直線x=1，

∴=1，∴b=-2a，∴2a+b=0，結(jié)論②正確；③∵拋物線的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標是（-1，0），∴另一個交點坐標是（3，0），∴當x=2時，y＞0，∴4a+2b+c＞0，結(jié)論③錯誤；④=，，∵拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線開口向下，∴y1=y2，結(jié)論④錯誤；綜上所述：正確的結(jié)論有②，1個，故選擇：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，觀察函數(shù)圖象，逐一分析四條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．10、C【解析】找到兩個拋物線的頂點，根據(jù)拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到．【詳解】解：∵y＝2(x－1)2＋3的頂點坐標為（1，3），y=2x2的頂點坐標為（0，0），∴將拋物線y=2x2向右平移1個單位，再向上平移3個單位，可得到拋物線y＝2(x－1)2＋3故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解答時注意抓住點的平移規(guī)律和求出關(guān)鍵點頂點坐標．11、A【分析】根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．【詳解】從左邊看共一列，第一層是一個小正方形，第二層是一個小正方形，故選：A．【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．12、C【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果與兩次抽到的數(shù)字之積是正數(shù)的情況數(shù)，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：兩個正數(shù)分別用a，b表示，一個負數(shù)用c表示，畫樹狀圖如下：共有9種等情況數(shù)，其中兩次抽到的數(shù)字之積是正數(shù)的有5種，則兩次抽到的數(shù)字之積是正數(shù)的概率是；故選：C．【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．二、填空題（每題4分，共24分）13、12【分析】鉛球落地時，高度，把實際問題理解為當時，求x的值即可．【詳解】鉛球推出的距離就是當高度時x的值當時，解得：（不合題意，舍去）則鉛球推出的距離是1．此時鉛球行進高度是2故答案為：1；2．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，理解鉛球推出的距離就是當高度時x的值是解題關(guān)鍵．14、或【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，作CH⊥AD于H，則CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，得出AH＝DH，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出CA＝CD＝AB＝6，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACB＝∠B＝30°，由平行線的性質(zhì)得出∠BFG＝∠ACB＝30°，分兩種情況：①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，則∠ENB＝∠B＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，得出BN＝2BM＝3，再證出FN＝EN＝3，即可得出結(jié)果；②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，連接EN，則∠ENB＝∠B＝30°，得出EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，BN＝2BM＝3，證出FG∥EN，則∠G＝∠GEN，證出∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，推出∠BEN＝120°，得出∠BEG＝120°﹣∠GEN＝90°，由折疊的性質(zhì)得∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，證出∠NEF＝∠NFE，則FN＝EN＝3，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D＝30°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝6，作CH⊥AD于H，則CH＝CD＝3，DH＝CH＝3＝AD，∴AH＝DH，∴CA＝CD＝AB＝6，∴∠ACB＝∠B＝30°，∵FG∥AC，∴∠BFG＝∠ACB＝30°，∵點E是AB邊的中點，∴BE＝3，分兩種情況：①作EM⊥BF于M，在BF上截取EN＝BE＝3，連接EN，如圖1所示：則∠ENB＝∠B＝30°，∴EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，∴BN＝2BM＝3，由折疊的性質(zhì)得：∠BFE＝∠GFE＝15°，∵∠NEF＝∠ENB﹣∠BFE＝15°＝∠BFE，∴FN＝EN＝3，∴BF＝BN+FN＝3+3；②作EM⊥BC于M，在BC上截取EN＝BE＝3，連接EN，如圖2所示：則∠ENB＝∠B＝30°，∴EN∥AC，EM＝BE＝，BM＝NM＝EM＝，∴BN＝2BM＝3，∵FG∥AC，∴FG∥EN，∴∠G＝∠GEN，由折疊的性質(zhì)得：∠B＝∠G＝30°，∴∠GEN＝∠ENB＝∠B＝∠G＝30°，∵∠BEN＝180°﹣∠B﹣∠ENB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠BEG＝120°﹣∠GEN＝120°﹣30°＝90°，由折疊的性質(zhì)得：∠BEF＝∠GEF＝∠BEG＝45°，∴∠NEF＝∠NEG+∠GEF＝30°+45°＝75°，∠NFE＝∠BEF+∠B＝45°+30°＝75°，∴∠NEF＝∠NFE，∴FN＝EN＝3，∴BF＝BN﹣FN＝3﹣3；故答案為：或．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；掌握翻折變換的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．15、﹣≤y≤1【分析】利用配方法轉(zhuǎn)化二次函數(shù)求出對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵y＝3x2+2x＝3（x+）2﹣，∴函數(shù)的對稱軸為x＝﹣，∴當﹣1≤x≤0時，函數(shù)有最小值﹣，當x＝﹣1時，有最大值1，∴y的取值范圍是﹣≤y≤1，故答案為﹣≤y≤1．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一般式和頂點式之間的轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．16、1【解析】試題分析：∵關(guān)于x的方程的一個根是1，∴1﹣3×1+m=0，解得，m=1，故答案為1．考點：一元二次方程的解．17、-2【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到3b=4a，結(jié)合a+b=14求得a、b的值，代入求值即可．【詳解】解：由a：b=3：4知3b=4a，所以b=，所以由a+b=14得到：，解得a=1．

所以b=8，所以a-b=1-8=-2．

故答案為：-2．【點睛】考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項之積等于外項之積．若，則ad=bc.18、【分析】設(shè)AD和BC分別與圓交于點E和F，連接AF、OE，過點O作OG⊥AE，根據(jù)90°的圓周角對應(yīng)的弦是直徑，可得AF為圓的直徑，從而求出AF，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理，即可求出∠AFB和BF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和圓周角定理，即可求出OG、AG和∠EOF，最后利用S陰影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF計算即可．【詳解】解：設(shè)AD和BC分別與圓交于點E和F，連接AF、OE，過點O作OG⊥AE∵四邊形ABCD是正方形∴∠ABF=90°，AD∥BC，BC=CD=AD=cm∴AF為圓的直徑∵，圓的半徑為2，∴AF=4cm在Rt△ABF中sin∠AFB=，BF=∴∠AFB=60°，F(xiàn)C=BC－BF=∴∠EAF=∠AFB=60°∴∠EOF=2∠EAF=120°在Rt△AOG中，OG=sin∠EAF·AO=，AG=cos∠EAF·AO=1cm根據(jù)垂徑定理，AE=2AG=2cm∴S陰影=S梯形AFCD－S△AOE－S扇形EOF===故答案為：．【點睛】此題考查的是求不規(guī)則圖形的面積，掌握正方形的性質(zhì)、90°的圓周角對應(yīng)的弦是直徑、垂徑定理、勾股定理和銳角三角函數(shù)的結(jié)合和扇形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）y=﹣x2+2x+8，其頂點為（1，9）（2）y=﹣x2+2x+3【分析】(1)根據(jù)對稱軸為直線x=1的拋物線y=ax2+bx+8過點（﹣2,0）,可得,解得即可求解,(2)設(shè)令平移后拋物線為,可得D（1,k）,B（0,k-1）,且,根據(jù)BC平行于x軸,可得點C與點B關(guān)于對稱軸x=1對稱,可得C（2,k-1）,根據(jù),解得,即.作DH⊥BC于H,CT⊥x軸于T,則在△DBH中,HB=HD=1,∠DHB=90°,又AC∥BD,得△CTA∽△DHB,所以CT=AT，即,解得k=4,即可求平移后的二次函數(shù)解析式.【詳解】（1）由題意得:,解得:,所以拋物線的表達式為,其頂點為（1,9）.（2）令平移后拋物線為,易得D（1,k）,B（0,k-1）,且,由BC平行于x軸,知點C與點B關(guān)于對稱軸x=1對稱,得C（2,k-1）,由,解得（舍正）,即.作DH⊥BC于H,CT⊥x軸于T,則在△DBH中，HB=HD=1,∠DHB=90°,又AC∥BD，得△CTA∽△DHB,所以CT=AT，即,解得k=4,所以平移后拋物線表達式為.20、（1）；（2）的函數(shù)表達式為，；（3），理由詳見解析【分析】（1）設(shè)x=1，求出y的值，即可得到C的坐標，根據(jù)拋物線L3：得到拋物線的對稱軸，由此可求出點C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標；（2）由（1）可知點D的坐標為（4，1），再由條件以點D為頂點的L3的“友好”拋物線L4的解析式，可求出L4的解析式，進而可求出L3與L4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；

（3）根據(jù)：拋物線L1的頂點A在拋物線L2上，拋物線L2的頂點B也在拋物線L1上，可以列出兩個方程，相加可得（a1+a2）（h-m）2=1．可得．【詳解】解：（1）∵拋物線l3：，

∴頂點為（2，-1），對稱軸為x=2，

設(shè)x=1，則y=1，

∴C（1，1），

∴點C關(guān)于該拋物線對稱軸對稱的對稱點D的坐標為：（4，1）；（2）解：設(shè)的函數(shù)表達式為由“友好”拋物線的定義，過點的函數(shù)表達式為與中同時隨增大而增大的自變量的取值范圍是（3）理由如下：∵拋物線與拋物線互為“友好”拋物線，①+②得：【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，涉及了拋物線的對稱變換、拋物線與坐標軸的交點坐標以及新定義的問題，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，特別是（3）問根據(jù)已知條件得出方程組求解，有一定難度．21、（1）詳見解析；（2）2；（3）5.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定即可求解；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)證明，根據(jù)得到，再得到，故，表示出，再根據(jù)中，利用的定義即可求解；（3）根據(jù)，利用三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】（1）證明：∵，為中點，∴，∴.又∵，∴，∴.∵，∴，∴，∴.（2）解：∵是的外接圓，且，∴是直徑.∵是切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴設(shè)，，∴.∵，，∴，∴，∴，∴，∴在中，.（3）∵，∴，∴，.∴，.∴，由（1）得∴,∴AG=BG故G為BC中點，∴.【點睛】.此題主要考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟知圓切線的判定、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判定與性質(zhì).22、（1）見解析；（2）或；（3）【分析】（1）由BD平分∠ABC推出∠ABD=∠CBD，又AB∥BC，所以∠ADB=∠CBD，所以∠ABD=∠ADB，即AB=AD，所以四邊形ABCD為“和睦四邊形”；(2)分別求出AQ、AP、BQ、OP、OB的值，連接PQ，因為，所以，所以，根據(jù)勾股定理求出PQ，再分類討論t的值即可；（3）表示出點的坐標，由可得，因為得出所以，即，由①②的方程，且解出a、b的值，求出拋物線的解析式為，因為P在拋物線上，將P代入拋物線得，，可得當，又因為，所以，即，得出m的最小值為；【詳解】解：（1），，，，，四邊形ABCD為“和睦四邊形”；（2）由題意得：AQ=5t，AP=4t，BQ=10-5t，OP=8-4t，OB=6，連接PQ，，，綜上：；（3）由題意得：，由①②，且，得，，【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合性題目，給了新型定義，解題的關(guān)鍵是審清題目的意思.23、（1）x=﹣2±；（2）【分析】（1）利用配方法解一元二次方程;（2）利用特殊三角函數(shù)的值求解.【詳解】解：（1）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x+4＝5，∴（x+2）2＝5，∴x＝﹣2±；（2）原式＝×+×＝【點睛】本題考查了特殊三角函數(shù)的求解，掌握特殊三角函數(shù)值是解答此