深圳市2017-2018年高二年級(jí)下冊(cè)期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題含解析

深圳市重點(diǎn)名校2017-2018學(xué)年高二下學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

—/(x-2),x>2

1.已知函數(shù),則函數(shù)g(x)=xf(x)-1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

1-|X-1|,A:<2

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

由g(x)=xf(x)-1=0得f(x)=-,根據(jù)條件作出函數(shù)f(x)與h(x)=’的圖象，研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)

XX

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到結(jié)論.

【詳解】

由g(x)=xf(x)-1=0得xf(x)=1,

當(dāng)x=0時(shí)，方程xf(x)=1不成立，即x#0,

則等價(jià)為f(X)=-,

X

當(dāng)2Vx<4時(shí)，OVx-2W2,此時(shí)f(x)=—f(x-2)=—(1-|x-2-l|)=—-—|x-3|,

3333

當(dāng)4VxW6時(shí)，2Vx-2W4,此時(shí)f(x)=—f(x-2)=—[—-—|x-2-3|]=--—|x-5|,

333399

作出f(x)的圖象如圖，

則f(1)=1,f(3)=-f(1)=-,f(5)=-f(3)=-,

3339

設(shè)h(x)，

x

則h(1)=1,h(3)=-,h(5)=->f(5),

35

作出h(x)的圖象，由圖象知兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本

題的關(guān)鍵.

2.若向量滿足回=網(wǎng)=2,&與/，的夾角為60，貝!等于（）

A.272+73B.C.4D.12

【答案】B

【解析】

【分析】

將卜+H平方后再開方去計(jì)算模長(zhǎng)，注意使用數(shù)量積公式.

【詳解】

因?yàn)?|a|+2|a||z?|cos60°+|/?|=4+4+4=12,所以,+。|=2班,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的模長(zhǎng)計(jì)算，難度一般.對(duì)于計(jì)算"+丁。|這種形式的模長(zhǎng)，可通過(guò)先平方再開方的方法去

計(jì)算模長(zhǎng).

3.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）與年產(chǎn)量》（單位：萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式為

y=-3丁+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為

A.13萬(wàn)件B.11萬(wàn)件

C.9萬(wàn)件D.7萬(wàn)件

【答案】C

【解析】

解：令導(dǎo)數(shù)<=罰+81>0,解得0<x<9；

令導(dǎo)數(shù)y'=-x2+81VO,解得x>9,

所以函數(shù)y=-gx3+81x-234在區(qū)間（0,9）上是增函數(shù)，

在區(qū)間（9,+8）上是減函數(shù)，

所以在x=9處取極大值，也是最大值，故選C.

4.已知點(diǎn)A,8是拋物線C：V=4x上的兩點(diǎn)，且線段過(guò)拋物線。的焦點(diǎn)/，若的中點(diǎn)到y(tǒng)

軸的距離為2,則|AB|=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用拋物線的拋物線的定義寫出弦長(zhǎng)公式，利用A3中點(diǎn)橫坐標(biāo)來(lái)求得弦長(zhǎng).

【詳解】

設(shè)A（%，X）,B（x2,y2）,貝！=玉+1+々+1=玉+々+2，而A8的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為左盧=2,

所以|A4=4+2=6.故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及拋物線的定義和性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思

想.

5.如圖，用K、Ai、A2三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且Ai、A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，

系統(tǒng)正常工作，已知K、Ai、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為（）

A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576

【答案】B

【解析】

Ai、A2同時(shí)不能工作的概率為0.2x0.2=0.04,所以Ai、Az至少有一個(gè)正常工作的概率為1一0.04=0.96,

所以系統(tǒng)正常工作的概率為0.9x0.96=0.864.故選B.

考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率.

6.179°是。

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【解析】

【分析】

利用象限角的定義直接求解，即可得到答案.

【詳解】

由題意，179°=180°-1\所以179°表示第二象限角，故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了角所在象限的判斷，考查象限角的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)

題.

7.函數(shù)/(%)=x3_3/-9X+1有()

A.極大值-1,極小值3B.極大值6,極小值3

C.極大值6,極小值-26D.極大值-1,極小值-26

【答案】C

【解析】

【分析】

對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的極值，于是得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意，/'(X)=3X2-6X-9=3(%+1)(X-3),故當(dāng)xe(―s,—1)時(shí)，/'U)>0；

當(dāng)xe(—l,3)時(shí)，/'(%)<0；當(dāng)xc(3,+s)時(shí)，尸(x)>0.故"X)在x=—l處取得極大值

/(-1)=6；在x=3處取得極小值/(3)=—26,故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，難度不大.

x=A/F+1

8.參數(shù)方程廣?為參數(shù))表示什么曲線()

卜=1-2〃

A.一個(gè)圓B.一個(gè)半圓C.一條射線D.一條直線

【答案】C

【解析】

分析：消去參數(shù)t,把參數(shù)方程化為普通方程，即得該曲線表示的是什么圖形.

x=s/t+1

詳解：參數(shù)方程廠。為參數(shù))，

卜=1-2〃

消去參數(shù)t,把參數(shù)方程化為普通方程,

2（x-l）+（y-l）=0（x>l）,

即2x+y-3=0（x21）,

它表示端點(diǎn)為（1,1）的一條射線.

故選：C.

點(diǎn)睛：本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)把參數(shù)方程化為普通方程，并且需要注意參數(shù)的取值范

圍，是基礎(chǔ)題.

22

9.已知橢圓］+q=l,則以點(diǎn)4（1,1）為中點(diǎn)的弦所在直線方程為（）

A.2x+y-3=0B.4x-5y+9=0

C.5尤一4y+9=0D.2x-y-3=0

【答案】A

【解析】

【分析】

利用點(diǎn)差法求出直線A8的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求出直線方程.

【詳解】

22

解:設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦與橢圓］+寧=1交于點(diǎn)A5,%）,3（無(wú)2,%），則%+%=2,X+%=2,

卜…-1

24

分別把點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入橢圓方程得：22，

-2?%―

---------1---------——11

［24

兩式相減得：（…）（…）+（%+為）（…10,

24

（玉—

x2）+，2%—0，

「?直線AB的斜率左=^^=—2,

Y.—X.

二以點(diǎn)M（l』）為中點(diǎn)的弦所在直線方程為：y-l=-2（x-l）,即2x+y—3=0,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題，屬于中檔題.

291+3x<0

10.設(shè)函數(shù)f（x）='~，若/（a）=4,則實(shí)數(shù)a的值為（）

1-log2x,x>0

【答案】B

【解析】

分析：根據(jù)分段函數(shù)分成兩個(gè)方程組求解，最后求兩者并集.

,、2a-1

詳解：因?yàn)?(。)=4,所以2+3=4或^fl-log主,a=4

''a<0a>0

I<

1(1,

Cl——ci——1

所以<2或<8?！?/p>

?<0a>08

選B.

點(diǎn)睛:求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，

切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.

11.函數(shù)f(x)=f3—2犬+4x,當(dāng)x目―3,3]時(shí),有/(%)N括—14加恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()

A.(-3,11)B.(3,11)C.[2,7]D.[3,11]

【答案】D

【解析】

【分析】

2

要使原式恒成立，只需祐-14mWf(x)min,然后再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)=-(-2X+4X的最小值即可.

【詳解】

因?yàn)閒(x)=-x3-2X2+4X,XG[-3,3]

2

所以f'(x)=-3x?-4x+4,令f'(x)=0得x=§或x=—2,

因?yàn)樵摵瘮?shù)在閉區(qū)間[-3,3]上連續(xù)可導(dǎo)，且極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，

所以最小值一定在端點(diǎn)處或極值點(diǎn)處取得，

■240

而f(-3)=-3>f(-2)=-8,f(—)=—,f(3)=-33,

327

所以該函數(shù)的最小值為-33,

因?yàn)閒(x)2m2-14m恒成立，

只需m2-14mWf(x)min,

即m2-14mW-33,即m2-14m+33W0

解得

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)最值，不等式恒成立問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決，而本題涉及到了可導(dǎo)函

數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，因此我們只要從端點(diǎn)值和極值中找最值，注意計(jì)算的準(zhǔn)確，是基礎(chǔ)題

12.若［％-J］的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15,則展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為

【答案】B

【解析】

由題意知：C；=a^D=15,所以“=6,故(％—；)"=(%-；)6,令x=l得所有項(xiàng)系數(shù)之和為

(4=匕

264

二、填空題：本題共4小題

13.一個(gè)口袋中裝有2個(gè)白球和3個(gè)紅球，每次從袋中摸出兩個(gè)球，若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng)，否

則為不中獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)的概率為.

2

【答案】y

【解析】

試題分析：口袋中五個(gè)球分別記為V2,a,b,c從中摸出兩球的方法有：

L2;La;l,b；l,c；2,a;2,0;2,c;a,0;a,c;0,c共10種,其中顏色相同的有l(wèi),2;a,ZJ;a,c;hc共四種，有古典

42

概率的求法可知2=歷=^.

考點(diǎn)：古典概率的求法.

14.已知圓G：(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2：(x—3y+(y—4)2=9,M,N分別是圓J,Cz上的動(dòng)點(diǎn)，

P為X軸上的動(dòng)點(diǎn)，則1PM+|7W|的最小值_____.

【答案】5a-4

【解析】

【分析】

求出圓G關(guān)于x軸對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)A,以及半徑，然后求解圓A與圓C2的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和,

即可得到|PM|+|P^|的最小值.

【詳解】

如圖所示，圓G關(guān)于光軸對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)A(2,-3),以及半徑1,

圓G的圓心坐標(biāo)為(3,4),半徑為3,

所以歸M+|尸N|的最小值為圓A與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，

即J(3-2)2+(4+3)2-(1+3)-572-4.

本題主要考查了圓的對(duì)稱圓的方程的求法，以及兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中把的最

小值轉(zhuǎn)化為圓A與圓G的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與

運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

15.有〃個(gè)元素的集合的3元子集共有20個(gè)，則〃=.

【答案】6

【解析】

【分析】

在〃個(gè)元素中選取3個(gè)元素共有C：種，解C：=20即可得解.

【詳解】

在幾個(gè)元素中選取3個(gè)元素共有C：種，解C：=20得〃=6,故答案為6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了組合數(shù)在集合中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.在10件產(chǎn)品中有8件一等品，2件二等品，若從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，則恰好含1件二等品的概率

為一

【答案喋

【解析】

【分析】

先求從10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品事件數(shù)，再求恰好含1件二等品的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率

公式求結(jié)果.

【詳解】

從10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品有Cl=45種方法；

其中恰好含1件二等品有=16種方法；

因此所求概率為二

45

故答案為：—

45

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知傾斜角為a的直線I過(guò)點(diǎn)A(2,1).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為

極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2sin。，直線I與曲線C分別交于P,Q兩點(diǎn).

(1)寫出直線I的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程.

(2)求|AP|?|AQ|的值.

x=2+tcosa

【答案】(1)\;x2+y2=2y；(2)3

y=i+tsma

【解析】

【分析】

(1)由直線/的傾斜角與所過(guò)定點(diǎn)寫出直線/的參數(shù)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，求得曲

線。的直角坐標(biāo)方程，即可得到答案.

(2)將直線/的參數(shù)方程代入曲線。的方程，得到關(guān)于/的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，以及，的

幾何意義，即可求解尸卜|人。的值.

【詳解】

⑴由題意知，傾斜角為a的直線I過(guò)點(diǎn)A(2,1,

x=2+tcosa

所以直線I的參數(shù)方程為，.(t為參數(shù))，

y=1+/sina

因?yàn)閜=2sin。，所以p2=2psin。，

把y=psine,x?+y2=p2代入得x2+y2=2y,

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2y.

(2)將直線I的參數(shù)方程代入曲線C的方程，得t2+(4cosa)t+3=0,

設(shè)P、Q的參數(shù)分別為tl、t2,由根與系數(shù)的關(guān)系得

ti+t2=—4cosa,titz=3,且由A=(4cosa)?—4x3>0,

所以|APHAQ|=|tiHtz|=3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線的參數(shù)方程的求解，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，

其中解答中熟記互化公式，以及直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

18.已知函數(shù)/(x)=2alnx-x2.

⑴討論函數(shù)/(尤)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)/(%)在區(qū)間(Ie?)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)先對(duì)函數(shù)/(九)求導(dǎo)，分別討論。40,?>0,即可得出結(jié)果；

(2)先由(1)得a>0時(shí),函數(shù)/(x)的最大值/'(%)111ax=/(&)=。(1114-1),分別討論0(喙-1)<0,

a(lna—1)=0,a(lna—1)>0,即可結(jié)合題中條件求出結(jié)果.

【詳解】

解:(1)/(x)=2alnx-x2,/./,(%)=2(。%),

x>0

當(dāng)時(shí)'/'(X)=2(a%)<0,

、伉CH2(a—x2}一2(%—+

當(dāng)Q>0時(shí)，1_____L=__1______△_____L，

xx

當(dāng)o<x<&時(shí)，rw>o;當(dāng)X>G時(shí)，r(x)<o

.?.當(dāng)aWO時(shí)，/(x)在(O,y)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，/(九)在(0,6)上單調(diào)遞增，一在(、萬(wàn),+可上單調(diào)遞減.

(2)由⑴得/=/(6)=a(lna—1),

當(dāng)a(lna-1)<0,即0<a<e時(shí)，函數(shù)/(九)在(H)吶有無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)a(lna—1)=0,即a=e時(shí)，函數(shù)/(%)在(0,”)內(nèi)有唯一-零點(diǎn)

又l<&=J;<e2,所以函數(shù)/(%)在(Ie?)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a(lna_l)〉0,即a〉e時(shí)，由于/(1)=_1<0,/(&)=a(lna_l)>0,

/(/)=2aln(e2)_/=4a-e4=(26-e2*2?"+e2),

_4

若26—e2<0,即e<a<］時(shí)，/(e2)<0,由函數(shù)單調(diào)性知

三王€(0,6)使得/(%)=0,mx2c(G,e2)使得/(w)=0,

故此時(shí)函數(shù)/(%)在(Le?)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；

_2

若2&—e220,即&2券〉—時(shí)，/(e2)>0,

且/(&)=2aln&-e=a-e>0,/(1)=-1<0,

由函數(shù)的單調(diào)性可知/(%)在。,弧)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，在內(nèi)沒有零點(diǎn)，從而“X)在(11)內(nèi)只

有一個(gè)零點(diǎn)

綜上所述，當(dāng)ae(O,e)時(shí)，函數(shù)/(力在(H)內(nèi)有無(wú)零點(diǎn)；

-4、

當(dāng)——,+oo時(shí)，函數(shù)/(九)在(14)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；

.4)

(4A

當(dāng)〃￡e,--時(shí)，函數(shù)“X)在(1,/)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).

\4)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等,

屬于?？碱}型.

19.已知函數(shù)/(%)=:dn(jr+l)+(g-a)%+2-a,a^R.

(1)當(dāng)x〉0時(shí)，求函數(shù)g(x)=/(x)+ln(x+l)+gx的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)aeZ時(shí)，若存在x20,使不等式/(無(wú))<0成立，求。的最小值.

【答案】(1)見解析；(2)2

【解析】

分析：(1)求出g'(x),分兩種情況討論。的范圍，在定義域內(nèi)，分別令g'(x)>0求得》的范圍，可得

函數(shù)g(x)增區(qū)間，g'(x)<0求得x的范圍，可得函數(shù)g(x)的減區(qū)間；(2)問(wèn)題等價(jià)于

如(％+1)+y+2,-dn(x+l)+-x+2問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求出a>〃(x).,利用導(dǎo)

a>------------------h(x\=---------------,x>0'/min

x+1、7x+1

數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求出力(司的最小值，從而求出。的最小值即可.

詳解：(1)解：/(x)=xln(尤+l)+[g—a)x+2—a(尤>0)

/.g'(x)=ln(x+l)+2-a(x>0)

.,.當(dāng)2—a20即aW2時(shí)，8'(%)>0對(duì)］€(0,”)恒成立

此時(shí)，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(o,y),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間

當(dāng)2-?！?,即?！?時(shí)，由g'(x)>0,得x>e"-2—i,由g'(x)<0,得0<充(e"<—1

此時(shí)，g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,尸2—1),單調(diào)遞增區(qū)間為(e“-2—L+S

綜上所述，當(dāng)時(shí)，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,口)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;

當(dāng)a>2時(shí),g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,#2-1),單調(diào)遞增區(qū)間為

(2)解：由/(x)vO,得：(x+l)a>xln(%+l)+；%+2

當(dāng)行。時(shí)，上式等價(jià)于心止"I士

x+1

Axln(x+l)+—x+2

令/'(%)=——-T2一(轉(zhuǎn)0)

Ji-IJ-

ln(x+l)+x-^

據(jù)題意，存在誼0,使/(x)<0成立，則只需a>〃(x)11Mh\x)=

(x+琰

3

令〃(x)=ln(x+l)+x-],顯然〃(x)在[0,+。。)上單調(diào)遞增

31

而M0)=_,<0,/z(l)=ln2-->0

3

二存在％e(0,1),使〃(與)=°，BRln(x0+l)=--x0

又當(dāng)不?0,%)時(shí)，”(x)<0,〃(％)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(%,+8)時(shí)，”(%)>0,〃(可單調(diào)遞增

.,.當(dāng)了=%時(shí)，〃(九)有極小值(也是最小值)

x0ln(x0+l)+1x0+2+

hx=h=-(^+1)--+4

,t(LM=0

n5+15+1九0十,

*//即％+le(l,2),.?./+1+—i—e2,萬(wàn))，

G

%)+19

又且aeZ,???4的最小值為2.

點(diǎn)睛：本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合

分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于較難題,近來(lái)高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的考查力度，不僅題型在變化，

而且問(wèn)題的難度、深度與廣度也在不斷加大,本部分的要求一定有三個(gè)層次:第一層次主要考查求導(dǎo)公式，

求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三

層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問(wèn)題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)

合，設(shè)計(jì)綜合題.

20.在平面直角坐標(biāo)系X0V中，橢圓。：5+與=1（4＞人＞0）的焦距為2,且過(guò)點(diǎn)

（1）求橢圓。的方程；

3

（2）P,M,N是。上不同的三點(diǎn)，若直線PM與直線PN的斜率之積為-二，證明：M,N兩點(diǎn)的橫坐

標(biāo)之和為常數(shù).

【答案】（1）工+匕=1（2）見解析

43

【解析】

【分析】

（1）直接用待定系數(shù)法可得方程；

（2）設(shè)P,M,N三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（/,力），（%,%）,（xN,yN）,設(shè)出直線PM方程，聯(lián)立橢圓，求證

/+均為常數(shù)即可.

【詳解】

（1）由題意橢圓。：￡+4=1（。＞人＞0）的焦距為2,且過(guò)點(diǎn)（企,必），

3

所以c=l,2?_,

/+記=1

解得a=2,b=y/3)

22

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^=1

43

(2)設(shè)P,M,N三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(如,?),(xM,yM),(xN,yN),

設(shè)直線PM,PN斜率分別為kvk2,則直線PM方程為y—力=6(x—七,)

(22

-------1--------=1

由方程組43消去九

xx

y-yP=K(-p)

得(3+4kj)_8k\(k[Xp—yp)x+4k^Xp_Sk^xpyp+4yj_12=0

由根與系數(shù)關(guān)系可得：%“+%=8可工%)

3+4后

4上8%,尸3xp

3+%

同理可得：%=8喝:J

▼773

又左］.左2——_7

4

_842的馬—力)_6xp+8勺丁尸

故/-3+%——4好+3

_63+幽丹

則l46+3「

4k；Xp-8左iyp-3xp_

3+%一』

從而%+xM=0

即M,N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的相關(guān)計(jì)算，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓中的定值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,

分析能力，計(jì)算能力，難度較大.

23n

21.已知A：=56C：,H.(1-2x)"=a0+aYx+a2x+a3x++anx.

(1)求n的值;

⑵求＞爭(zhēng)++會(huì)的值.

【答案】⑴15.(2)-1

【解析】

【分析】

n\

⑴根據(jù)父=彳菽’c：=,即可求解A：=56C；,即可求得答案;

(2)采用賦值法，令x=l求出所有項(xiàng)系數(shù)的和，再令x=0,求%,即可求得答案.

【詳解】

⑴A：=56C：

?(?-l)(n-2)(?i-3)(n-4)(n-5)(n-6)

7654321

整理可得：("5)(〃-6)=]

90

即〃2—11〃—60=0,

故5-15)(九+4)=0

解得：〃=15或〃=—4(舍去)

(2)由(1)n=15

(1—2%)15=a。+d^X+4%2+/d+...+

令x=0,可得%=1

令xj可得(1一2夕=%+畀生++翡

ao+-y+|r+L+|]f=0

可得爭(zhēng)$+L+翡=-L

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理、組合數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分析問(wèn)題能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

22.5G網(wǎng)絡(luò)是第五代移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)，其峰值理論傳輸速度可達(dá)每8秒1GB,比4G網(wǎng)絡(luò)的傳輸速度快數(shù)百

倍.舉例來(lái)說(shuō)，一部1G的電影可在8秒之內(nèi)下載完成.隨著5G技術(shù)的誕生，用智能終端分享3D電影、

游戲以及超高畫質(zhì)(UHD)節(jié)目的時(shí)代正向我們走來(lái).某手機(jī)網(wǎng)絡(luò)研發(fā)公司成立一個(gè)專業(yè)技術(shù)研發(fā)團(tuán)隊(duì)解

決各種技術(shù)問(wèn)題，其中有數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)，物理專業(yè)畢業(yè)，其它專業(yè)畢業(yè)的各類研發(fā)人員共計(jì)1200人.現(xiàn)

在公司為提高研發(fā)水平，采用分層抽樣抽取400人按分?jǐn)?shù)對(duì)工作成績(jī)進(jìn)行考核，并整理得如上頻率分布直

方圖(每組的頻率視為概率).

(1)從總體的1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于50的概率；

(2)研發(fā)公司決定對(duì)達(dá)到某分?jǐn)?shù)以上的研發(fā)人員進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，要求獎(jiǎng)勵(lì)研發(fā)人員的人數(shù)達(dá)到30%,請(qǐng)你估

計(jì)這個(gè)分?jǐn)?shù)的值；

(3)已知樣本中有三分之二的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分?jǐn)?shù)不低于70分，樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專

業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員人數(shù)與物理及其它專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)和相等，估計(jì)總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)

人員的人數(shù).

【答案】(1)0.1；(2)77.5；(3)540人.

【解析】

【分析】

(1)由題意可知,樣本中隨機(jī)抽取一人,分?jǐn)?shù)小于50的概率是0.1,由此能估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于50的概率；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖,第六組的頻率為0.4,第七組頻率為0.2,由此能求出這個(gè)分?jǐn)?shù)；

(3)樣本中不低于70分的研發(fā)人員人數(shù)為240人,從而樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員為

120人,樣本中有三分之二的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分?jǐn)?shù)不低于70分,從而樣本中的是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的

研發(fā)人員的人數(shù)為180人，由此能估計(jì)總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)

【詳解】

解：(1)由題意可知，樣本中隨機(jī)抽取一人，

分?jǐn)?shù)小于50的概率是1—(001+0.02x2+0.04)x10=0.1,

所以估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于50的概率0.1

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，

第六組的頻率為0.04x10=0.4,第七組頻率為0.02x10=0.2,

此分?jǐn)?shù)為80-(0.3-0.2)4-0.04=77.5

(3)因?yàn)闃颖局胁坏陀?0分的研發(fā)人員人數(shù)為400X(0.4+0.2)=240人，

所以樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員為120人,

又因?yàn)闃颖局杏腥种臄?shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分?jǐn)?shù)不低于70分，

所以樣本中的是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)120v1=180人，

1QQ

故估計(jì)總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)為：1200x--=540人

400

【點(diǎn)睛】

本題考查概率、頻數(shù)的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.

深圳市重點(diǎn)名校2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，主委會(huì)將甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三個(gè)不同比賽項(xiàng)目中擔(dān)任服務(wù)工作，每個(gè)

項(xiàng)目至少1人，若甲、乙兩人不能到同一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方式有（）

A.24種B.30種C.36種D.72種

【答案】B

【解析】

【分析】

首先對(duì)甲、乙、丙、丁進(jìn)行分組，減去甲、乙兩人在同一個(gè)項(xiàng)目一種情況，然后進(jìn)行3個(gè)地方的全排列即

可得到答案.

【詳解】

先將甲、乙、丙、丁分成三組（每組至少一人）人數(shù)分配是1,1,2共有=6種情況，又甲、乙兩

人不能到同一個(gè)項(xiàng)目，故只有5種分組情況，然后分配到三個(gè)不同地方，所以不同的安排方式有5團(tuán)=30

種，故答案選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查排列組合的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的分析能力，邏輯推理能力和計(jì)算能力，難度不大.

2.已知集合A={x|y=J_%2+x+6,xGZ},B={y|y=J^sin（x+。）},則ADB中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4

C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

利用定義域的的要求可以求出A集合，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出B集合，再計(jì)算A與B的交集的元素個(gè)

數(shù)即可.

【詳解】

集合A滿足一￡+x+620,（x-3）（x+2）＜0,—2＜xW3,；.A={-2,-1,0,1,2,3},B=［一括，

小1,所以ACB={-2,—1,0,1,2）,可知APB中元素個(gè)數(shù)為5.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合間的交集關(guān)系的求解，本題難點(diǎn)在于無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的比大小，屬于簡(jiǎn)單題.

3.已知函數(shù)〃x）=，，8（耳=1!1；+；的圖象分別與直線丁=加（加＞0）交于4,3兩點(diǎn)，貝!的最

小值為（）

A.2B.2+In2D.2e-ln—

2

【答案】B

【解析】

/\（加，［1］

2m9

由題意，A［lnm,m）,B2e,m,其中，2e~^>Inm且用〉°，所以=2丁一萬(wàn)_歷根.

k

\X--1

令y=2e>5—法，冗>0,貝Uy'=2e2—，V為增函數(shù).

x

令y，=o,得

所以0<x<1?.時(shí)y'<0,%〉3時(shí)丫'>0,

所以y=2e'<—?dú)v羽x>0在［°，g［上單調(diào)遞減，在Q，上單調(diào)遞增.

所以x=工時(shí),|AB|.=2+貶2.

21\rrnn

故選B.

點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是將要求的量用一個(gè)變量來(lái)表示，進(jìn)而利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性求最值，本

題中有以下幾個(gè)難點(diǎn)：

（1）多元問(wèn)題一元化，本題中涉及的變量較多，設(shè)法將多個(gè)變量建立等量關(guān)系，進(jìn)而得一元函數(shù)式；

（2）含絕對(duì)值的最值問(wèn)題，先研究絕對(duì)值內(nèi)的式子的范圍，最后再加絕對(duì)值處理.

4.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（4,l）,且P（尤>5）=0.1587,則P（3（尤<4）=（）

A.0.6826B.0.1587C.0.1588D.0.3413

【答案】D

【解析】

分析：根據(jù)隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，知這組數(shù)據(jù)是以x=4為對(duì)稱軸的，根據(jù)所給的區(qū)間的概率與要求的

區(qū)間的概率之間的關(guān)系，單獨(dú)要求的概率的值.

詳解：???機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（4,l）,,

P(x>5)=0.1587,

1—0.1587x2

/.P(3<x<4)==0.3413.

2

故選：D.

點(diǎn)睛：本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義,考查根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求某一個(gè)區(qū)間的概率,

屬基礎(chǔ)題.

5.已知函數(shù)/⑴=三+20nx-日，若x=2是函數(shù)/（%）的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.-oo,——B.C.(0,2]D.[2,+oo)

I4

【答案】A

【解析】

【分析】

由于（X）的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出，需要對(duì)k進(jìn)行分類討論來(lái)確定導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的根.

【詳解】

解：?.?函數(shù)"X）的定義域是（0,+oo）

.、e\x-2）2k（e*-而2）（九一2）

??j（%）=-、~-+---k=------3-------，

XXX

???X=2是函數(shù)/（X）的唯一一個(gè)極值點(diǎn)

???x=2是導(dǎo)函數(shù)/'（%）=0的唯一根，

；?ex-kx2=0在（0,+8）無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，

即左=烏在>0上無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，令g（x）=烏,

XX

因?yàn)間'（x）=e'。—2）,

x

所以g（x）在（0,2）上單調(diào)遞減，在x>2上單調(diào)遞增

2

所以g（x）的最小值為g（2）=?,

2

所以必須左WJe,

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)確定極值問(wèn)題.對(duì)參數(shù)需要進(jìn)行討論.

6.某體育彩票規(guī)定：從01到36個(gè)號(hào)中抽出7個(gè)號(hào)為一注，每注2元.某人想先選定吉利號(hào)18,然后再

從01到17個(gè)號(hào)中選出3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從19到29個(gè)號(hào)中選出2個(gè)連續(xù)的號(hào)，從30到36個(gè)號(hào)中選出1

個(gè)號(hào)組成一注.若這個(gè)人要把這種要求的號(hào)全買，至少要花的錢數(shù)為（）

A.2000元B.3200元C.1800元D.2100元

【答案】D

【解析】

第1步從01到17中選3個(gè)連續(xù)號(hào)有15種選法；第2步從19到29中選2個(gè)連續(xù)號(hào)有10種選法；第3步從

30到36中選1個(gè)號(hào)有7種選法.由分步計(jì)數(shù)原理可知：滿足要求的注數(shù)共有15x10x7=1050注，故至少要

花1050x2=2100,故選D.

"2

?一-2x+<7,X<1

7.設(shè)函數(shù)f(x)=/(x)=4,,,,,若函數(shù)f(x)的最大值為-1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

-log2(x+l),x>l

()

A.(-°°,-2)B.[2,+8)C.(--1]D.(-8,-2]

【答案】D

【解析】

【分析】

考慮x2l時(shí)，f(X)遞減，可得f(X)4-1,當(dāng)X<1時(shí)，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得f(x)max=l+a,由

題意可得1+aW-l,可得a的范圍.

【詳解】

當(dāng)時(shí)，f(x)=-logi(x+1)遞減，可得f(x)Wf(1)=-1,

當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)，f(X)取得最大值-1；

當(dāng)x<l時(shí)，f(x)=-(x+1)I+l+a,當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)取得最大值1+a,

由題意可得1+a^-1,解得aW-1.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的最值求法，注意運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.mY=()

A.9B.12C.15D.3

【答案】A

【解析】

分析：直接利用排列組合的公式計(jì)算.

3x2

詳解：由題得團(tuán)―G=4x3-一r=12—3=9.故答案為A.

2

點(diǎn)睛：(1)本題主要考查排列組合的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2)

排列數(shù)公式：A^=n(n-1)(n-m+l)=n'-{n,me”，且相<〃).組合數(shù)公式：C；="=

(n-m)lA：

n(n-l)(n-m+1)n!

—r-------(neN,meN且加?〃)?

lx2xxmm-[n—m)!9

9.在直角坐標(biāo)系九Oy中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A(q，4)出發(fā)沿圖中路線依次經(jīng)過(guò)Bl%,%),。(外,。6)，。(%,外)，

,按此規(guī)律一直運(yùn)動(dòng)下去，則。2015+々2016+々2017=()

A.1006B.1007C.1008D.1009

【答案】D

【解析】

【分析】

【詳解】

分析：由題意得，即q=1,%=L%=-1,tz4=2,tz5=2,tz6=3,6^=—2,%=4,...,觀察前八項(xiàng)，得到數(shù)

列的規(guī)律，求出即可.

詳解：由直角坐標(biāo)系可知，

A（l,l）,B（-l,2）,C（2,3）,D（-2,4）,E（3,5）,F（-3,6）,

即q=l,tz2=1,%=—l,a4=2,%=2,々6=3,%=—2,6^=4,

由此可知，數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)是從1開始逐漸遞增的，

且都等于所在的項(xiàng)數(shù)除以2,

則4016=1008,

每四個(gè)數(shù)中有一個(gè)負(fù)數(shù)，且為每組的第三個(gè)數(shù)，

每組的第一個(gè)數(shù)為其組數(shù)，

每組的第一個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)是互為相反數(shù)，

因?yàn)?016+4=504,

貝！14oi5=—5。4,%以7=505,

%015+“2016+“2017=—5°4+1008+505=1009,故選D.

點(diǎn)睛：本題考查了歸納推理的問(wèn)題，關(guān)鍵是找到規(guī)律，屬于難題.歸納推理的一般步驟：一、通過(guò)觀察個(gè)

別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題（猜想）.常見的歸

納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：（1）數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問(wèn)題時(shí)，需要

細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；（2）

形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.

10.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(l+，)z=-2，，則忖=()

A.72B.1-zC.2D.1

【答案】A

【解析】

分析:先根據(jù)已知求出復(fù)數(shù)z,再求|z|.

2

詳解：由題得z=RT之虧=二=j'W|z|=#+(-l)=V2.

故答案為A.

點(diǎn)睛：(1)本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平.(2)復(fù)數(shù)

22

z=a+bi(a,beR)的模?z|=^a+b-

11.由曲線y2=x,y=V所圍成圖形的面積是()

140

A.-D.

3T

【答案】A

【解析】

【分析】

先計(jì)算交