江西省南昌市三校2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次聯(lián)考理試題含解析

江西省南昌市三校2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次聯(lián)考（理）試題考試時長：120分鐘試卷總分：150分一?選擇題（本大題共12題，每小題5分，共計60分）1.已知復(fù)數(shù)z滿意，則（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)及模的意義求解作答.【詳解】依題意，，則有，于是得，所以.故選：D2.若集合，集合，則等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】A={x|（x+4）（x+1）＜0}=（﹣4，﹣1），∵集合B={x|x＜﹣2}=（﹣∞，﹣2）∴?RB=[﹣2，+∞），∴A∩（?RB）=[﹣2，﹣1），故選C．3.已知正項等比數(shù)列}滿意為與的等比中項，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)等比中項定義和等比數(shù)列通項公式得，解得，化簡.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，即，，，，故選：B.4.已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用“分段法”來求得大小關(guān)系.【詳解】，，，所以.故選：B5.在等邊中，O為重心，D是的中點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用平面對量的線性運算計算作答.【詳解】O為的重心，延長AO交BC于E，如圖，E為BC中點，則有，而D是的中點，所以.故選：D6.若實數(shù)，滿意約束條件，則的最大值為（）A. B.3 C.6 D.10【答案】D【解析】【分析】由約束條件可作出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為在軸截距最大的問題，采納數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖所示，當(dāng)取得最大值時，在軸截距最大，由圖象可知：當(dāng)過時，軸截距最大，由得：，則，.故選：D.7.函數(shù)的部分圖象大致為（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由的奇偶性和特別值利用解除法可得答案.【詳解】對，，所以函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，所以解除選項A；令，可得或，即，當(dāng)時，，所以，故解除選項C；當(dāng)時，，所以，所以解除選項D.故選：B.8.函數(shù)的部分圖象如圖所示，若將圖象上的全部點向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)有下列四個說法，其中正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的一條對稱軸為直線C.函數(shù)的一個對稱中心坐標(biāo)為D.再向左平移個單位得到的函數(shù)為偶函數(shù)【答案】D【解析】【分析】依據(jù)圖象求得的解析式，依據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得，依據(jù)的最小正周期、對稱軸、對稱中心、圖象變換等學(xué)問確定正確答案.【詳解】對于，由圖可知，，，，由于，所以，所以.圖象上的全部點向右平移個單位得到函數(shù)，的最小正周期為，A選項錯誤.，B選項錯誤.點的縱坐標(biāo)是，所以不是的對稱中心，C選項錯誤.再向左平移個單位得到，所得函數(shù)為偶函數(shù)，所以D選項正確.故選：D9.鈍角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是，若，則的面積為（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題目信息可知，利用余弦定理可計算出，又因為是鈍角三角形，比較三邊大小可知，C角為鈍角，由可計算出符合題意的取值，通過計算可求出的面積.【詳解】由及余弦定理可知，，整理得，解得或；又因為是鈍角三角形，比較三邊大小可知，為最大邊，所以C角為最大角，即C為鈍角；①當(dāng)時，，符合題意，此時的面積為；②當(dāng)時，，不符合題意；綜上可知，的面積為.故選：C.10.已知函數(shù)，對于實數(shù)a，使成立的一個必要不充分條件是（）A. B.C D.或【答案】C【解析】【分析】先求得使成立的的實數(shù)a的取值范圍，再去選擇使其成立的一個必要不充分條件即可.【詳解】當(dāng)時，，則，則是增函數(shù)，當(dāng)時，，則是增函數(shù)，又，∴函數(shù)在R上是增函數(shù)，∵，∴，則，即，解得，則成立的充要條件是∴使成立的一個必要不充分條件的a的范圍對應(yīng)的集合應(yīng)真包含，故解除ABD，選C.故選：C．11.已知四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，平面平面，且為等邊三角形，則該四棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取側(cè)面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，分別過，作兩個平面的垂線交于點O，得到點O即為該球的球心，取線段的中點E，得到四邊形為矩形，分別求得，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，在四棱錐中，取側(cè)面和底面正方形的外接圓的圓心分別為，分別過，作兩個平面的垂線交于點O，則由外接球的性質(zhì)知，點O即為該球的球心，取線段的中點E，連，，，，則四邊形為矩形，在等邊中，可得，則，即，在正方形中，因為，可得，在直角中，可得，即，所以四棱錐外接球的表面積為.故選：B.12.已知函數(shù)，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得的取值范圍，然后化簡，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】由于，即，所以，當(dāng)時，遞增，所以有唯一解.當(dāng)時，遞增，所以有唯一解.由得，所以.令，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以，所以的取值范圍為.故選：D【點睛】本題要求的取值范圍，主要的解題思路是轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)來求得取值范圍.在轉(zhuǎn)化的過程中，主要利用了對數(shù)、指數(shù)的運算.二?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若向量，，且，則實數(shù)的值是______.【答案】1【解析】【分析】由可知，即，進而求解.【詳解】因為，所以，則，即，解得，故答案為：114.抗擊新冠疫情期間，，，共名醫(yī)學(xué)專家被安排到甲、乙、丙、丁四所醫(yī)院指導(dǎo)抗議工作，每所醫(yī)院只去人，其中專家不去甲醫(yī)院也不去乙醫(yī)院，專家與專家不去甲醫(yī)院也不去丁醫(yī)院，假如專家不去乙醫(yī)院，則去丁醫(yī)院的是專家_________【答案】【解析】【分析】因為，，不去甲，又，不去乙且不去丁，即可推斷出結(jié)果．【詳解】，，不去甲，所以去甲，又，不去乙，則去乙，不去丁，所以去丙，去丁．故答案為：15.已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿意，且當(dāng)時，，若，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意求出函數(shù)的周期為，再利用周期得到，最終利用基本不等式即可求解.【詳解】因為函數(shù)滿意，所以函數(shù)的周期為，又因為，所以，因為當(dāng)時，，則有，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號.故答案為：.16.已知，則__________.【答案】##【解析】【分析】先變形得到，再分別求出所須要的角的三角函數(shù)值代入計算即可.【詳解】因為，，，因為，

所以，所以，故故答案為：.三?解答題（本題共5小題，每小題12分，共60分）17.已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，若.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用公式，時，，代入化簡得到數(shù)列的遞推公式，即可求解通項公式；（2）由（1）的結(jié)果，利用裂項相消法求和，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證明不等式.【小問1詳解】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，由，得，兩式相減可得，，又，，即是首項為，公差為的等差數(shù)列，因此，的通項公式為；【小問2詳解】證明：由可知，所以，，因為恒成立，所以，又因為，所以單調(diào)遞增，所以，綜上可得．18.如圖在四棱錐中，底面，且底面是平行四邊形.已知是中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明出平面，利用面面垂直的判定定理即可證明；（2）以A為原點，分別為x，y，z軸正方向建系，利用向量法求解.【小問1詳解】面，且，.∵是中點,所以.同理可證：.又面，面，,平面.∵面，∴平面平面.【小問2詳解】，.以A為原點，分別為x，y，z軸正方向建系，如圖：則.設(shè)平面的法向量則，得，不妨取，則.由（1）得是平面的一個法向量，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.19.某校為減輕暑假家長的負(fù)擔(dān)，開展暑期托管，每天下午開設(shè)一節(jié)投籃趣味競賽．競賽規(guī)則如下：在A，B兩個不同的地點投籃．先在A處投籃一次，投中得2分，沒投中得0分；再在B處投籃兩次，假如連續(xù)兩次投中得3分，僅投中一次得1分，兩次均沒有投中得0分．小明同學(xué)打算參賽，他目前的水平是在A處投籃投中的概率為p，在B處投籃投中的概率為．假設(shè)小明同學(xué)每次投籃的結(jié)果相互獨立．（1）若小明同學(xué)完成一次競賽，恰好投中2次的概率為，求p；（2）若，記小明同學(xué)一次競賽結(jié)束時的得分為X，求X的分布列及數(shù)列期望．【答案】（1）（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）將小明同學(xué)恰好投中2次分成三種狀況，分別求得概率相加與已知概率相等構(gòu)造等式，解方程即可求出的值；（2）首先由題意可得得分的可能取值分別為，，，，，分別計算每種狀況的概率即可求得的分布列，最終依據(jù)數(shù)學(xué)期望的計算公式求解的數(shù)學(xué)期望即可.【小問1詳解】設(shè)小明在處投籃為事務(wù)，在處投籃分別為已知小明同學(xué)恰好投中2次，分三種狀況中中不中；中不中中；不中中中；其概率為：，解得：.【小問2詳解】由題意可得得分的可能取值分別為，，，，；；；；.綜上所述可得的分布列為5321020.已知橢圓，傾斜角為的直線過橢圓的左焦點和上頂點B，且（其中A為右頂點）.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，且，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)條件，列出關(guān)于方程組，即可求橢圓方程；（2）探討直線的斜率不存在和存在兩種狀況，聯(lián)立方程，將向量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，并利用韋達(dá)定理消元整理，并依據(jù)，求解.【小問1詳解】由題可知解得故橢圓的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)，，，由，，得，同理，當(dāng),時，得，所以，當(dāng)直線l的斜率存在時，即時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去y得.因為直線l與橢圓C交于不同的兩點P、Q，所以，即①.設(shè)，則②，則，由，得③，③代入②得，化簡整理得④，將④代入①得，化簡得，解得或.綜上，m的取值范圍為.21.設(shè)，（1）當(dāng)時，求證：對于隨意；（2）設(shè)，對于定義域內(nèi)的，有且僅有兩個零點求證：對于隨意滿意題意的，．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將代入中，構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性推斷即可；（2）先化簡，依據(jù)解析式分析在兩段上各有一個零點或者在其次段上有兩個零點，分別探討分析即可.【小問1詳解】證明：當(dāng)時，，令所以所以因為，所以所以在上單調(diào)遞增所以所以對于隨意，【小問2詳解】由當(dāng)時，當(dāng)時，所以依題有且僅有2個零點，當(dāng)，不滿意題意所以在兩段上各有一個零點或者在其次段上有兩個零點．①兩段上各有一個零點，令．則，得，得因此：令，恒成立，所以在單調(diào)遞減.要證：即證：即證：即證：因為所以所以成立，因此，成立②若均在同一段：上，則必有所以對于隨意滿意題意的，．【點睛】導(dǎo)數(shù)題常作為壓軸題出現(xiàn)，常見的考法：①利用導(dǎo)數(shù)探討含參函數(shù)的單調(diào)性（或求單調(diào)區(qū)間），②求極值或最值③求切線方程④通過切線方程求原函數(shù)的解析式⑤不等式恒（能）成立問題，求參數(shù)的取值范圍⑥證明不等式解決問題思路：對函數(shù)求導(dǎo)利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解；構(gòu)造新函數(shù)對新函數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)解決.（二）選做題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分.22.在直角坐標(biāo)系中，圓，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求的極坐標(biāo)方程；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)，的交點為，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用得到的極坐標(biāo)方程；（2）方法一：代入，得到或，求出，利用垂徑定理求出高，從而求出面積；方法二：化為直角坐標(biāo)方程為，求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理得到的長，從而求出面積.【小問1詳解】已知圓，得，因為，所以為圓的極坐標(biāo)方程．【小問2詳解】方法一：代入，可得，解得或，∴，又因