《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-數(shù)列熱點(diǎn)問(wèn)題

教材·高考·審題答題數(shù)列熱點(diǎn)問(wèn)題內(nèi)容索引三年真題考情教材鏈接高考教你如何審題///////123//////////////滿分答題示范熱點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練///////45///////三年真題考情1核心熱點(diǎn)真題印證核心素養(yǎng)等比(差)數(shù)列的判定與證明2019·全國(guó)Ⅱ卷，19；2018·全國(guó)Ⅰ卷，17；2017·全國(guó)Ⅰ卷，17邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算通項(xiàng)與求和2020·新高考山東，18；2020·全國(guó)Ⅲ卷，17；2020·全國(guó)Ⅰ卷，17；2018·全國(guó)Ⅱ卷，17數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等差與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題2020·全國(guó)Ⅲ卷，17；2020·天津，19；2020·浙江，20；2019·全國(guó)Ⅰ卷，18；2019·全國(guó)Ⅱ卷，18；2018·全國(guó)Ⅰ卷，17數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理教材鏈接高考2等比(差)數(shù)列的判定與證明1.(教材必修5P50例2)根據(jù)圖2.4－2中的框圖(圖略，教材中的圖)，寫出所打印數(shù)列的前5項(xiàng)，并建立數(shù)列的遞推公式.這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎？2.(教材必修5P69B6)已知數(shù)列{an}中，a1＝5，a2＝2，且an＝2an－1＋3an－2(n≥3).對(duì)于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式？【鏈接高考】(2019·全國(guó)Ⅱ卷)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列； 證明

由題設(shè)得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)， 由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.

又因?yàn)閍1－b1＝1， 所以{an－bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.【鏈接高考】(2019·全國(guó)Ⅱ卷)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.教你如何審題31.本題主要考查利用等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式計(jì)算，突出方程思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，準(zhǔn)確計(jì)算是求解的關(guān)鍵.2.對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系，以便實(shí)現(xiàn)等差、等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化.數(shù)列的求和主要是等差、等比數(shù)列的求和及裂項(xiàng)相消法求和與錯(cuò)位相減法求和，本題中利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，然后利用b1＝1，d>0證明不等式成立，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的重點(diǎn)考查.另外本題在探求{an}與{cn}的通項(xiàng)公式時(shí)，考查累加、累乘兩種基本方法.探究提高【嘗試訓(xùn)練】(2020·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝4，a3－a1＝8. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； 解設(shè){an}的公比為q，則an＝a1qn－1.

因?yàn)閍1＋a2＝4，a3－a1＝8， 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－1.【嘗試訓(xùn)練】(2020·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝4，a3－a1＝8. (2)記Sn為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和.若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.

解由(1)知log3an＝n－1.

所以數(shù)列{log3an}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列， 由于Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，得m(m－1)＋(m＋1)m

＝(m＋3)(m＋2)， 即m2－5m－6＝0.

解之得m＝6或m＝－1(舍去).

所以實(shí)數(shù)m的值為6.滿分答題示范4數(shù)列的通項(xiàng)與求和【例題】(12分)(2019·天津卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3. (1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

[規(guī)范解答]

解

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0). (由條件建立方程組求公差和公比)………………3′

故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n

所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n，{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝3n.………………5′解

a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n).記Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①則3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn?得步驟分：抓住得分點(diǎn)的解題步驟，“步步為贏”，在第(1)問(wèn)中，由條件式轉(zhuǎn)化為關(guān)于d，q的方程組，由公式求an，bn，在第(2)問(wèn)中觀察數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征先分組，后用錯(cuò)位相減法求和.?得關(guān)鍵分：(1)列方程組，(2)分組求和都是不可缺少的過(guò)程，有則給分，無(wú)則沒(méi)分.?得計(jì)算分：解題過(guò)程中計(jì)算正確是得滿分的根本保證，特別是第(1)問(wèn)中的解方程，起著至關(guān)重要的作用，第(2)問(wèn)中的錯(cuò)位相減法求和是計(jì)算中的難點(diǎn).……由題設(shè)條件列方程組求基本量……求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式……根據(jù)數(shù)列的特征，分組求和……利用錯(cuò)位相減法求Tn……反思解題過(guò)程，檢驗(yàn)易錯(cuò)點(diǎn)，規(guī)范解題步驟又函數(shù)f(x)的所有正的零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列{an}，由①－②得5熱點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.解（2）{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.理由如下：所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n·2n－1.2.(2021·沈陽(yáng)模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，{bn}是正項(xiàng)等比數(shù)列，且a1＝b1＝1，a5＝3b2.在①a3＋b3＝14，②a1b5＝81，③S4＝4S2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，回答下列問(wèn)題：

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； 解若選①，a3＋b3＝14， 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q(q＞0)，若選②，a1b5＝81，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q(q＞0).因?yàn)閍1＝b1＝1，所以bn＝3n－1.又因?yàn)閍5＝3b2，所以1＋4d＝3×3，解得d＝2，所以an＝2n－1.若選③，S4＝4S2，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q(q＞0).因?yàn)閍1＝b1＝1，a5＝3b2，則an＝2n－1，bn＝3n－1.2.(2021·沈陽(yáng)模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，{bn}是正項(xiàng)等比數(shù)列，且a1＝b1＝1，a5＝3b2.在①a3＋b3＝14，②a1b5＝81，③S4＝4S2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，回答下列問(wèn)題：

(2)如果am＝bn(m，n∈N*)，寫出m，n的關(guān)系式m＝f(n)，并求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)的值.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解因?yàn)閍m＝bn，3.(2020·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng). (1)求{an}的公比； 解設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得2a1＝a2＋a3， 即2a1＝a1q＋a1q2.

所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.

故{an}的公比為－2.3.(2020·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng). (2)若a1＝1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.

解記Sn為{nan}的前n項(xiàng)和.

由(1)及題設(shè)可得an＝(－2)n－1， 所以Sn＝1＋2×(－2)＋…＋n·(－2)n－1， －2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n·(－2)n.

所以3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n·(－2)n4.(2021·重慶調(diào)研)在等差數(shù)列{an}中，已知a6＝12，a18＝36. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； 解得d＝2，a1＝2. ∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.解

選條件①選條件②∵an＝2n，bn＝(－1)nan，∴Sn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n]當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n－1為偶數(shù)，Sn＝(n－1)－2n＝－n－1.選條件③∵an＝2n，bn＝2an·an，∴bn