【中考復(fù)習(xí)】2021年九年級中考數(shù)學(xué)試題真題匯編：二次函數(shù)綜合壓軸題八（解析版）

2021年九年級中考數(shù)學(xué)試題真題匯編：二次函數(shù)綜合壓軸題八

一、選擇題

1.(3分)(2020?哈爾濱)將拋物線y=7向上平移3個(gè)單位長度，再向右平移5個(gè)單位長

度，所得到的拋物線為()

A.y=(x+3)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x+5)2+3D.y=(x-5)2+3

【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=/向上平移3個(gè)單位所得拋物線

的解析式為：y=/+3；

由“左加右減”的原則可知，將拋物線y=/+3向右平移5個(gè)單位所得拋物線的解析式

為：y=(x-5)2+3；

故選：D.

2.(4分)(2020?南充)關(guān)于二次函數(shù)y=o?-4奴-5(〃W0)的三個(gè)結(jié)論：①對任意實(shí)數(shù)

m,都有川=2+m與雙=2-相對應(yīng)的函數(shù)值相等；②若對應(yīng)的y的整數(shù)值有

4個(gè)，則一gVaW-1或iWnvg；③若拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A,B,且ABW6,

則4〈一,或421.其中正確的結(jié)論是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【解答】解：?.?二次函數(shù)尸/-4辦-5的對稱軸為直線》=另處=2,

.,.xi—2+m與X2—2-m關(guān)于直線x—2對稱，

二對任意實(shí)數(shù)m,都有處=2+“與==2-m對應(yīng)的函數(shù)值相等；

故①正確；

當(dāng)x=3時(shí)，y=-3a-5,當(dāng)x=4時(shí)，y=-5,

若”>0時(shí)，當(dāng)3WxW4時(shí),-3a-5Vy<-5,

:當(dāng)3WxW4時(shí)，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，

4

1Wa〈可，

若“<0時(shí)，當(dāng)3<xW4時(shí)，-5Wy<-3a-5,

；當(dāng)3Wx<4時(shí)，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，

4

一<aW-1,

故②正確;

若。>0,拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)4,B,且AB<6,

.,.△>0,25a-20a-5^0,

2

.（16a+20cz>0；

.15a-520

.,.a21,

若a<0,拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A,B,且AB<6,

.'.△>0,25a-20a-5WO,

*6a2+20a>0,

*'Ua-5<0

--a<-不

綜上所述：當(dāng)“V-搭或時(shí)，拋物線與x軸交于不同兩點(diǎn)A,B,且ABW6.

故選：D.

3.（4分）（2020?寧波）如圖，二次函數(shù)>=/+歷計(jì)<?（4>0）的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),

與y軸正半軸交于點(diǎn)C,它的對稱軸為直線x=-1.則下列選項(xiàng)中正確的是（）

B.4ac-b2>0

C.c-a>0

D.當(dāng)x=-〃2-2（〃為實(shí)數(shù)）時(shí)，y》c

【解答】解：由圖象開口向上，可知。>0,

與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可知c>0,

又對稱軸方程為x=-l,所以一白<0,所以b>0,

.\abc>0,故A錯(cuò)誤,:；

，一次函數(shù)y=ar2+bx+c（a>0）的圖象與x軸交于A,3兩點(diǎn),

：.b2-4?c>0,

???4訛-必<0,故8錯(cuò)誤;

??h~-2〃,

*/當(dāng)x=-1時(shí)，y=a~8+cVO,

:.a-2〃+cV0,

???c-〃VO,故C錯(cuò)誤；

當(dāng)x=-n2-2（〃為實(shí)數(shù)）時(shí)，y—ajc+bx+c—a（.-n2-2）+bC-n~-2）—an2（n2+2）

+c,

"：a>0,“2>o,n2+2>0,

/.y=an2（M2+2）+C2C,故。正確，

故選：D.

4.（3分）（2020?濱州）對稱軸為直線x=l的拋物線y=o?+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a

￥0）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①而c<0,②信>4m,③4a+2b+c>0,（4）

3a+c>0,⑤4+bW，“（mz+匕）（加為任意實(shí)數(shù)），⑥當(dāng)x<-1時(shí)，y隨x的增大而增大.其

中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：①由圖象可知：a>0,c<0,

..b

?一布-1'

:.b=-2?<0,

.\abc<09故①錯(cuò)誤；

②???拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

2

h-4ac>0f

2

/.b>4ac9故②正確;

③當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c<0,故③錯(cuò)誤；

④當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c>Q,

.*.3r/+c>0,故④正確;

⑤當(dāng)x=l時(shí)，y的值最小，此時(shí)，y=〃+b+c,

而當(dāng)時(shí)，y=an^+hm+c9

所以a+h+c^atn2+bm+c,

故。+6?〃加2+加%即〃+力WTT?（〃〃?+力），故⑤正確，

⑥當(dāng)xV-1時(shí)，y隨x的增大而減小，故⑥錯(cuò)誤，

故選：A.

5.（3分）（2020?婁底）二次函數(shù)》=（x-a）（x-b）-2（a<b）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)分別為"?和〃，且相<〃，下列結(jié)論正確的是（）

A.m<a<n<bB.a<m<b<nC.m<a<b<nD.a<m<n<b

【解答】解：二次函數(shù)>=（x-a）（x-ft）與1軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a、b,將其圖象往下

平移2個(gè)單位長度可得出二次函數(shù)y=（x-a）（x-b）-2的圖象，如圖所示.

觀察圖象，可知：m<a<b<n.

故選：C.

6.（3分）（2020?深圳）二次函數(shù)y=a?+bx+c"WO）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,〃），其部分圖

象如圖所示.以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.abc>0

B.4ac-b2<0

C.3a+c>0

D.關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n+1無實(shí)數(shù)根

【解答】解：A.???拋物線開口向下，

：.a<Of

,/對稱軸為直線戈=一白=T，

：.b=2a<0,

???拋物線與y軸交于正半軸，

：.c>0,

abc>0,

故A正確；

反：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

b2-4ac>0,即4ac-b2<0,

故B正確；

C.：拋物線的對稱軸為直線x=-1,拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（-3,0）和（-2,

0）之間，

，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（0,0）和（1,0）之間，

***x—1時(shí)，y<0,

即a+b+c<0,

■:b=2a,

；.3a+c<0,

故C錯(cuò)誤；

D；拋物線開口向下，頂點(diǎn)為（7,”），

.?.函數(shù)有最大值小

二拋物線），=〃/+以+。與直線y=〃+l無交點(diǎn)，

一元二次方程4/+公+。=〃+1無實(shí)數(shù)根，

故。正確.

故選：C.

7.（4分）（2020?宜賓）函數(shù)y=a/+〃x+c（“WO）的圖象與x軸交于點(diǎn)（2,0）,頂點(diǎn)坐標(biāo)

為（-1,”），其中〃>0.以下結(jié)論正確的是（）

①〃兒〉0；

②函數(shù)、=公?+/>+。（a/0）在x=l和》=-2處的函數(shù)值相等；

③函數(shù))'=履+1的圖象與y=or2+Z?x+c(aWO)的函數(shù)圖象總有兩個(gè)不同交點(diǎn);

④函數(shù)y=oA6x+c(aWO)在-3WxW3內(nèi)既有最大值又有最小值.

A.①③B.①②③C.①④D.②③④

【解答】解：依照題意，畫出圖形如下：

?函數(shù)丫=/+公+。(aWO)的圖象與x軸交于點(diǎn)(2,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,n),其中

n>0.

c>0,對稱軸為1=—/=-1,

：.b=2a<0,

：?abc>0,故①正確，

???對稱軸為x=-1,

???x=l與x=-3的函數(shù)值是相等的，故②錯(cuò)誤；

???頂點(diǎn)為(-1,n)f

二.拋物線解析式為；y=a(x+1)2+/?=aj^+2ax+a+n,

ykx+

聯(lián)立方程組可得：［=2\,

(y=ax"+2ax+a+n

可得ax2+(2a-k)x+a+n-1=0,

**?△—Q2a-k)~-4a(a+n_1)=F-4成+4。-4an,

??,無法判斷△是否大于0,

?..無法判斷函數(shù)y=fcx+l的圖象與yua^+bx+c(〃K0)的函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，故③錯(cuò)

誤；

當(dāng)-3WxW3時(shí);

當(dāng)x=-l時(shí)，y有最大值為人當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值為16〃+小故④正確，

故選：C.

二、填空題

8.（3分）（2020?哈爾濱）拋物線y=3（x-1）2+8的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,8）.

【解答】解：；拋物線y=3（x-1）2+8是頂點(diǎn)式，

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,8）.

故答案為：（1,8）.

9.（3分）（2020?荊州）我們約定：（a,b,c）為函數(shù)），=/+公+c的“關(guān)聯(lián)數(shù)”，當(dāng)其圖象

與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)時(shí)，該交點(diǎn)為“整交點(diǎn)”.若關(guān)聯(lián)數(shù)為（，"，-m-2,

2）的函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)整交點(diǎn)（機(jī)為正整數(shù)），則這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)為

（1,0）、（2,0）或（0,2）.

【解答】解：根據(jù)題意，令y=0,將關(guān)聯(lián)數(shù)（ZM,-m-2,2）代入函數(shù)y=o?+法+c,

則有tw^+（--2）尤+2=0,

△=（-/?-2）2-4X2m=（/M-2）2>0,

：.m^+（.-m-2）x+2=0有兩個(gè)根，

?八_u-r,nm+2±7（-7n-2）2-8m

由求根公式可得------------------

_7n4-2±|m-2|

x=

1=巾+2嫖_2）=1,此時(shí)機(jī)為不等于0的任意數(shù)，不合題意；

X2==5^7>當(dāng)，〃=1或2時(shí)符合題意；％2=2或1;

乙〃，乙I1I

X3=m+^7+2=&'當(dāng)，〃=1或2時(shí)符合題意；*3=2或1；

X4=%±妥坦=1,此時(shí)，〃為不等于。的任意數(shù)，不合題意；

所以這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0）,（1,0）；

令x=0,可得y=c=2,即得這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)（0,2）.

綜上所述，這個(gè)函數(shù)圖象上整交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,0）,（1,0）或（0,2）；

故答案為：（2,0）,（1,0）或（0,2）.

三、解答題

10.（10分）（2020?寧波）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)產(chǎn)加+敘-3圖象的頂點(diǎn)

是A,與x軸交于8,C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)。.點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1,0）.

（1）求4,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y>0時(shí)x的取值范圍.

（2）平移該二次函數(shù)的圖象，使點(diǎn)。恰好落在點(diǎn)A的位置上，求平移后圖象所對應(yīng)的

二次函數(shù)的表達(dá)式.

【解答】解：(1)把8(1,0)代入y—ax1+4x-3,得0=a+4-3,解得a--1,

；.y=-f+4x-3=-(x-2)2+1,

AA(2,1),

:對稱軸x=l，B,C關(guān)于x=2對稱，

：.C(3,0),

.,.當(dāng)y>0時(shí)，1Vx<3.

(2),:D(0,-3),

.?.點(diǎn)O平移的A,拋物線向右平移2個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位，可得拋物線的解析式

為y=-(%-4)2+5.

11.(12分)(2020?宜賓)如圖，己知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且點(diǎn)(2,1)在二次函

數(shù)的圖象上，過點(diǎn)F(0,1)作x軸的平行線交二次函數(shù)的圖象于M、N兩點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)△產(chǎn)〃"是等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在二次函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)E,使得以點(diǎn)E為圓心的圓過點(diǎn)尸和點(diǎn)N,且與

直線y=-l相切.若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求OE的半徑；若不存在，說明理由.

【解答】解：(1)???二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)在原點(diǎn)，

故設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：)，="2,將(2,1)代入上式并解得：a=l，

故二次函數(shù)表達(dá)式為：y="；

(2)將y=l代入產(chǎn)#并解得：x=±2,故點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(-2,1)、(2,1),

則MN=4,

「△PMN是等邊三角形，

點(diǎn)尸在y軸上且PM=4,

:.PF=2?

?.?點(diǎn)尸(0,1),

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1+2V3)或(0,1-2V3)；

(3)假設(shè)二次函數(shù)的圖象上是否存在一點(diǎn)E滿足條件，

設(shè)點(diǎn)。是FN的中點(diǎn)，則點(diǎn)。(1,1),

故點(diǎn)E在FN的中垂線上.

，點(diǎn)E是FN的中垂線與＞■=J?圖象的交點(diǎn)，

1rl1

-4=Z4'則點(diǎn)E(1，4-)，

在RtAFQE中，EN=J(2-I)2+(1-1)2=

同理EF=J(1-0)2+(1-/)2=I，

點(diǎn)E到直線產(chǎn)-1的距離為I；-(-1)|=1,

故存在點(diǎn)￡使得以點(diǎn)E為圓心半徑為。的圓過點(diǎn)F,N且與直線＞=-1相切.

4

12.(14分)(2020?遼陽)如圖，拋物線-2V5x+c(aWO)過點(diǎn)O(0,0)和A(6,

0).點(diǎn)B是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)。是x軸下方拋物線上的一點(diǎn)，連接08,OD.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①，當(dāng)2800=30°時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖②，在(2)的條件下，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)C,交線段。。于點(diǎn)E,點(diǎn)

尸是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)F不與點(diǎn)。和點(diǎn)8重合)，連接E凡將ABE尸沿EF折疊，

點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B,,△EF8與△08E的重疊部分為△EFG,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一

點(diǎn)H，使以點(diǎn)E，F(xiàn),G,H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo),

若不存在，請說明理由.

備用圖

0)和A(6,0)代入y=a/-2恁+c中,

c=0

得到

36a-12>/3+c=0,

73

解得a=H，

c=0

拋物線的解析式為)=*/-2V3x.

(2)如圖①中，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于M,與0。交于點(diǎn)N.

'/)>=拿r2-2y/3x=孚(x-3)2-3痘,

，頂點(diǎn)B(3,-3%)，M(3,0),

：.OM=3.BM=3E

；?tan/MOB==y/3,

."MOB=60°,

VZBOD=30°,

ZMON=NMOB-ZBOD=30°,

；.MN=OMram30°=V3,

：.N(3,-V3),

直線ON的解析式為y=—冬:，

由?=屋"，解得仁版廣58，

b=畀_2島ly~°…下

：.D(5,-歲).

(3)如圖②-1中，當(dāng)/EFG=90°時(shí)，點(diǎn)H在第一象限，此時(shí)G,B',。重合，由

3&h3A/3

題意0F=8凡可得尸(一，一竽)，E(3,-V3),利用平移的性質(zhì)可得"(一,—).

2222

如圖②-2中，當(dāng)NEG尸=90°時(shí)，點(diǎn)”在對稱軸右側(cè)，由題意EF=BF,可得F(2,

-2V3),利用平移的性質(zhì)可得4(*一等).

13.(10分)(2020?婁底)如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)4(-3,0)、B(1,0)、C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P(機(jī)，n)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)-3＜帆＜0時(shí)，試確定m的值，使得△抬C

的面積最大；

(3)拋物線上是否存在不同于點(diǎn)B的點(diǎn)D,滿足。儲(chǔ).。。2=6,若存在，請求出點(diǎn)D

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

c

【解答】解：(1)由題意可以假設(shè)拋物線的解析式為(x+3)(x-1),

把C(0,3)代入，可得〃=-1

???拋物線的解析式為y=-?-2x+3.

(2)設(shè)直線AC的解析式為)，=履+兒

將A(-3,0),C(0,3)代入得到13左+匕

???直線AC的解析式為y=x+3.

當(dāng)-3<m<0時(shí)，點(diǎn)P(“，〃)在直線AC的上方，過點(diǎn)尸作x軸的垂線交4c于Q.則

P(m,-m2-2m+3),Q(m,m+3),

PQ--nr-2/714-3-(加+3)

=-m2-3m,

=-(7n+|)24-1，

???-3<//?<0,

當(dāng)，〃=一|時(shí)，PQ的值最大，

1Q

此時(shí)S△%c=*?PQ?AO=郎Q最大，

.3

..m=-2'

(3)由A(-3,0),B(1,0),C(0,3),可得AB=4,OB=\,OC=3,

NC4O=45°,

：.BA2-8。2=6,

連接BC,過點(diǎn)8作AC的垂線交拋物線于。，交AC于H.

則N4HB=90°,ZDBA=ZCAO=45°,

.,.DA2-DC2=HA2-HC2^AB2-BC2=6,

'：ZCAO^^DBA,

：.BD,AC關(guān)于43的垂直平分線的對稱，即關(guān)于拋物線的對稱軸x=-1對稱，

.?.點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸x=-1對稱，

VC(0,3),

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-2,3).

方法二：設(shè)。點(diǎn)的坐標(biāo)為(小-n2-2n+3),然后用兩點(diǎn)間的距離公式表示D4和。C,

最后會(huì)得到關(guān)于〃的一元二次方程，最后解的"=1和-2,由題意可知，1不符合舍棄最

后得至ljn--2,所以D的坐標(biāo)就是(-2,3).

圖1

14.(12分)(2020?鄂爾多斯)如圖1,拋物線y=/+bx+c交x軸于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A

的坐標(biāo)為(1,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)。為y軸上一點(diǎn)，如果直線2。與直線BC的夾角為15°,求線段C。的長度;

(3)如圖2,連接4C,點(diǎn)P在拋物線上，且滿足/出8=2乙4(70,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解答】解：⑴：拋物線)，=f+fer+c交無軸于點(diǎn)A(1,0),與)，軸交于點(diǎn)C(0,-3),

?(0=1+b+c

,1c=—3

解得：F=2,

lc=-3

，拋物線解析式為：y=x2+2x-3；

(2)?.?拋物線y=7+2x-3與x軸交于A,5兩點(diǎn)，

.?.點(diǎn)8(-3,0),

:點(diǎn)8(-3,0),點(diǎn)C(0,-3),

，OB=OC=3,

；.NOBC=NOC8=45°,

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)C上方時(shí)，

.,.ZOBD=30°,

?*/八0D總

??tanNDBO=-^-Q=,

OD=亭x3=V3,

.\CD=3-V3；

若點(diǎn)。在點(diǎn)C下方時(shí)，

VZ￡)fiC=15°,

：.ZOBD=60°,

；.tan/￡>80=器=V5,

：.0D=3同

：.DC=3^3-3,

綜上所述：線段C￡>的長度為3-百或3返-3；

(3)如圖2,在B0上截取OE=OA,連接CE,過點(diǎn)E作EFJ_4C,

;點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)C(0,-3),

：.OA=l,OC=3,

：.AC=>/OA2+OC2=Vl+9=V10,

\"OE=OA,ZCOE=ZCOA=90°,OC=OC,

：.^OCE^/\OCA(SAS),

AZACO^ZECO,CE=AC=V10,

：.ZECA=2ZACO,

：NB4B=2NACO,

J.ZPAB^ZECA,

11

?；SAAEC=^AEXOC=^ACXEF,

4J10

~5~f

AtanZECA=^=1,

如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在A3的下方時(shí)，設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)M

9

：ZPAB=ZECAf

/.tanZECA=tanZPAB=器=

3

：.ON*

?,?點(diǎn)N(0,一小，

又??,點(diǎn)A(1,0),

直線AP解析式為：y=lx-l，

聯(lián)立方程組得：y=4*-4,

y=x2+2x—3

解得北:小(二_二_93

???點(diǎn)P坐標(biāo)為：(―X,一相)，

當(dāng)點(diǎn)P在A8的上方時(shí)，同理可求直線AP解析式為：

__33

聯(lián)立方程組得：y一一4“+4,

v=x2+2%-3

15

解得：或「2二4,

y】［y2=相

二點(diǎn)戶坐標(biāo)為：(—學(xué)，一),

939

/

綜上所述：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-苧,-----

416X

15.(12分)(2020?南充)已知二次函數(shù)圖象過點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),C(0,4).

(1)求二次函數(shù)的解析式.

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)時(shí).，在線段PB上是否存在點(diǎn)M,使得NBMC=90°?

若存在，求出點(diǎn)例的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)點(diǎn)K在拋物線上，點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，直線KD與宜線BC的夾角為銳角。，且tanO=

|,求點(diǎn)K的坐標(biāo).

【解答】解：(1)二?二次函數(shù)圖象過點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)A(-2,0),

.?.設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+2)(x-4),

?.,二次函數(shù)圖象過點(diǎn)C(0,4),

,4=。(0+2)(0-4),

二次函數(shù)的解析式為y=(x+2)(x-4)=-#+x+4；

(2)存在,

理由如下：如圖1,取BC中點(diǎn)Q,連接MQ,

；點(diǎn)4(-2,0),B(4,0),C(0,4),點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，點(diǎn)。是BC中點(diǎn),

：.P(-1,2),點(diǎn)0(2,2),BC=7(4-0)2+(0-4)2=4>/2,

設(shè)直線8尸解析式為：y=kx+h,

(2=-k+b

由題意可得:to=4/c+h

...直線BP的解析式為:產(chǎn)-1x+|,

VZBMC=90°

...點(diǎn)M在以BC為直徑的圓上，

設(shè)點(diǎn)M(c,

?:點(diǎn)。是RlZxBCM的中點(diǎn)，

：.MQ=加=2&，

???MQ2=8,

**?(c-2)2+(一看。+卷-2)2=8,

c=4或-

當(dāng)c=4時(shí)，點(diǎn)3,點(diǎn)M重合，即c=4,不合題意舍去，

749456

，c=-再，則點(diǎn)M坐標(biāo)(-29，—),

7456

故線段PB上存在點(diǎn)M(-含，—使得NBMC=90°；

(3)如圖2,過點(diǎn)。作QELBC于點(diǎn)E,設(shè)直線OK與BC交于點(diǎn)N,

；點(diǎn)4(-2,0),B(4,0),C(0,4),點(diǎn)。是AB中點(diǎn),

點(diǎn)。(1,0),O8=OC=4,AB=6,BD=3,

：.ZOBC^45°,

"：DELBC,

:.NEDB=NEBD=45°,

.八右BD3&

??DE=BDEC=下=T，

?；點(diǎn)B(4,0),C(0,4),

直線BC解析式為：y=-x+4,

設(shè)點(diǎn)E（〃，-〃+4）,

?，?-〃+4=

._5

.?/2-2,

53

???點(diǎn)E（-,

22

在RtZXCNE中，亞=5=譽(yù)=而，

百

①若。K與射線EC交于點(diǎn)N（機(jī)，4-/n）,

?;NE=BN-BE,

戊

.9Hz4x3/2

102

812

???點(diǎn)N（-,—）,

???直線0K解析式為：y=4x-4,

y=4x—4

廠

（y=-y1X2/,+%+4

解得：『1U或『2=一'

（

yi=4ly2=-36

???點(diǎn)K坐標(biāo)為（2,4）或（-8,-36）；

②若。K與射線￡3交于N（加，4-加），

■:NE=BE-BN,

9^23y/2r-

:.-----=-------72（4-〃?）,

102

?17

??加=-g-,

173

???點(diǎn)N（―,-）

5

直線力K解析式為：尸%-上，

r11

X

聯(lián)立方程組可得:y=4-4

i

y=—TTXz94-%4-4

\z

3+/145f3-V145

3=—―4=-,

,---或（

-1+V145_-l-vUS）

3=16U4=-16-

3+V145-1+71453-V145-1-V145

???點(diǎn)K坐標(biāo)為()或(,)?

416416

3+V145-1+V145~3-7145

綜上所述：點(diǎn)K的坐標(biāo)為(2,4)或(-8,-36)或()或(丁

416

-1—V145

16

16.(14分)(2020?濱州)如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A(〃，-1),與y軸交于點(diǎn)3(0,-1),

點(diǎn)F(2,1)為其對稱軸上的一個(gè)定點(diǎn).

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；

(2)已知直線/是過點(diǎn)C(0,-3)且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點(diǎn)產(chǎn)

(m,n)到直線/的距離為人求證：PF=d；

(3)已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)。(4,3),請?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)Q,使△。尸。的周長最小，

并求此時(shí)△DFQ周長的最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【解答】(1)解：由題意拋物線的頂點(diǎn)A(2,-1),可以假設(shè)拋物線的解析式為y=a

(x-2)~-I,

???拋物線經(jīng)過B(0,-1),

=4〃-1,

._祥1

.?.拋物線的解析式為產(chǎn)*(x-2)2-1.

(2)證明:VPCm,〃)，

n—g-2)2-1=4，

1)11

:?P(m,~7〃—一不加一方),

822

.,1211/Q\_l21.5

VF(2,1),

2

???PF=J(m-2)2+(lm-1m-1-l)2=+Zm2_|m+

?.j21413,72525n劉1413,72525

"d-=祈機(jī)-鏟r+8W-2/M+彳'PF-=福，〃-gW+鏟!~一不什彳，

：.d1=PF1,

：.PF=d.

(3)如圖，過點(diǎn)。作直線/于”，過點(diǎn)。作。N_L直線/于N.

XDFQ的周長=￡>F+DQ+F。，DF是定值=V22+22=2在，

...OQ+QF的值最小時(shí)，△OFQ的周長最小，

'：QF=QH,

：.DQ+DF=DQ+QH,

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)D，Q,”共線時(shí)，3Q+Q”的值最小，此時(shí)點(diǎn)”與N重合,

點(diǎn)。在線段￡W上，

.?.OQ+Q，的最小值為3,

...△QFQ的周長的最小值為2在+3,此時(shí)。(4,-1)

17.(2020?濰坊)如圖，拋物線y=o?+6x+8(a￥0)與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(8,

0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，連接AC,BC,8c與拋物線的對稱軸/交于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接P8,PC,當(dāng)SAPBC=|&ABC時(shí)，求點(diǎn)尸

的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)N是對稱軸/右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在射線ED上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)M,

ME為頂點(diǎn)的三角形與△O8C相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解答】解：(1);拋物線(a#0)過點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(8,0),

8

一汽二解得卜=一全

M1l64a+8b+8：=°0n1lb=3

拋物線解析式為：y=—：/+3x+8；

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=8,

：.C(0,8),

直線8c解析式為：y=-x+8,

'：S“ABC=.°C=/x1°X8=4°，

:?S〉PBC—5S^ABC=24,

過點(diǎn)P作尸G_Lr軸，交x軸于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)、F,

設(shè)P(t,-*產(chǎn)+3%+8),

：.F(z,-z+8),

1、

**?PF=-t+43

1

:?S，BC=3PF,OB=24,

l12

o即n5x(—5t+4t)x8=24,

/.n=2,t2=6,

：.P\(2,12),P2(6,8)；

(3)VC(0,8),B(8,0),NCOB=90°,

：./\OBC為等腰直角三角形，

拋物線y=-1x2+3x+8的對稱軸為x==3,

.?.點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3,

又；點(diǎn)E在直線BC上,

???點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5,

：.E(3,5),

設(shè)M(3,m),N(n,—^n24-3n+8),

①當(dāng)MN=EM,/EMN=9C,

m—5=n—3

-p3n8=m

{++

解喘雪喘與2(舍去)，

此時(shí)點(diǎn)例的坐標(biāo)為(3,8),

②當(dāng)ME=EN,當(dāng)NMEN=90°時(shí),

m—5=n—3

則5,解得:（舍去）,

-+3n+8=

③當(dāng)MN=EN,NMNE=90°時(shí),

連接CM,故當(dāng)N為C關(guān)于對稱軸/的對稱點(diǎn)時(shí)，△MNE?/XCOB,

此時(shí)四邊形CMNE為正方形,

：.CM=CE,

VC(0,8),E(3,5),M(3,m),

：.CM=J32+(771-8)2,CE=J32+(5-8)2=3V2,

.?.J32+(m-8)2=3V2,

解得：，“1=11,M/2=5(舍去)，

此時(shí)點(diǎn)例的坐標(biāo)為(3,11)；

故在射線E力上存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)M,N,E為頂點(diǎn)的三角形與△08C相似，點(diǎn)M的

坐標(biāo)為：(3,8),(3,5+6)或(3,II).

18.(9分)(2020?深圳)如圖1,拋物線？=/+法+3(a#0)與x軸的交點(diǎn)A(-3,0)

和8(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為￡>.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)連接AO,DC,CB,將△OBC沿x軸以每秒1個(gè)單位長度的速度向左平移，得到

△ObC,點(diǎn)0、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)。、C,設(shè)平移時(shí)間為?秒，當(dāng)點(diǎn)0'與點(diǎn)A

重合時(shí)停止移動(dòng).記△O'B'C與四邊形AOC。重合部分的面積為S,請直接寫出S與/之

間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)如圖2,過該拋物線上任意一點(diǎn)M(〃?，〃)向直線/：)=/乍垂線，垂足為E,試

問在該拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)F,使得ME-J?若存在，請求出F的坐標(biāo)；

???{9仁士清,解得{廣

la+b+3=0S=-2

???拋物線的解析式為y=〃+3；

（2）①0VV1時(shí)，如圖1,若8c與y軸交于點(diǎn)R

：.OF=3OB'=3-33

112

：.S=2X(CO'+OF)XOO'=x(3+3-3/)Xr=-|t2+3^,

②lW/v|時(shí)，S=|；

③|士W3時(shí)，如圖2,CO'與AO交于點(diǎn)Q,B'C與AQ交于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作PH

_LC'O'于凡

：.AO'=3-t,O，Q=6-2f,

：.CQ=2t-3f

?:QH=2PH,CH=3PH,

1I

：.PH=^CQ=^⑵-3),

311

S=2—a(2t—3)x耳(2，-3),

???5=一|/+表+|,

—2t2+3t(0VtVI)

綜合以上可得：S=J|(l<t<|)

、一，廿+趾+|(|工￡43)

__________________Q

(3)令/(-1,f),則MF=+I]+(n—t)2,ME=^-n,

1

*：ME-MF=^

q

：.MF=ME-^,

：.(m+I)2+(n-t)2=(芋一n)2,

.".m^+lm+l+t2-2nt=—

Llo

?：R=-ATI2-2/71+3,

?*.(1+2n—^^)TH2+(2+4〃-17)1+P-6/+=0.

當(dāng)u苧時(shí)，上式對于任意加恒成立，

一―15

.?.存在F(-1,—).

4

19.(14分)(2020?泰州)如圖，二次函數(shù)yi=a(x-m)2+n,*=6〃/+〃(a<0,m>0,

n>0)的圖象分別為Ci、Ci,。交y軸于點(diǎn)P,點(diǎn)A在。上，且位于y軸右側(cè)，直線

以與C2在y軸左側(cè)的交點(diǎn)為艮

（備用圖）

（1）若尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2）,G的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）,求。的值;

（2）設(shè)直線力與y軸所夾的角為a.

①當(dāng)a=45°,且A為Ci的頂點(diǎn)時(shí)，求a/n的值;

②若a=90°,試說明：當(dāng)。、機(jī)、〃各自取不同的值時(shí)，而的值不變;

(3)若布=2PR試判斷點(diǎn)A是否為。的頂點(diǎn)？請說明理由.

【解答】解：(1)由題意加=2,〃=4,

(x-2)2+4,

把(0,2)代入得到”=一支

(2)①如圖1中，過點(diǎn)4作AN_Lx軸于M過點(diǎn)尸作PM_L4N于

②如圖2中，由題意AB_Ly中,

,:P(0,am2+n),

當(dāng)y=〃〃，+〃時(shí)，an^+n=6aj?+n,

V6

解得

6

:.B(一洛加，an^+n),

..PB=石m，

,.?AP=2m,

PA2m「

-=-fr~=2V6.

PB當(dāng)m

6

(3)如圖3中，過點(diǎn)A作A〃_Lx軸于從過點(diǎn)尸作PKJ_4〃于K,過點(diǎn)B作8E_LKP

設(shè)3(〃，6ah2+n),

VB4=2PB,

2

AA[-2b9a(-26-m)+n],

?:BE"AK,

.BEPB1

AK~PA~2

：.AK=2BE,

:?a(--m)2+〃-am-n=2(.anr+n-6。廿-〃)，

整理得：m2-2bm-8b2=0,

:.(m-4b)(m+2b)=0,

V/n-4*>0,

m+2b=0,

-2b,

1?A(m,〃)，

.,.點(diǎn)A是拋物線Ci的頂點(diǎn).

20.(12分)(2020?荊州)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系