高中數(shù)學(xué) 章末質(zhì)量評(píng)估1活頁(yè)訓(xùn)練 湘教版必修3

章末質(zhì)量評(píng)估(一)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中．只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．有一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體應(yīng)是 ()．A．棱臺(tái) B．棱錐C．棱柱 D．都不對(duì)解析由俯視圖可知，該幾何體的上、下底面都是正方形，但大小不一樣，再結(jié)合正視圖和左視圖可以判斷該幾何體是棱臺(tái)．答案A2．用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰長(zhǎng)和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積是 ()．A．2＋eq\r(2) B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\f(2＋\r(2),2) D．1＋eq\r(2)解析由直觀圖的畫法規(guī)則可知，原平面圖形是直角梯形，上底邊長(zhǎng)為1，下底邊長(zhǎng)為2×1×cos45°＋1＝eq\r(2)＋1.高為2×1＝2.其面積為eq\f(1,2)×(1＋eq\r(2)＋1)×2＝2＋eq\r(2).答案A3．已知正方體外接球的體積是eq\f(32,3)π，那么正方體的棱長(zhǎng)a＝ ()．A.eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(4\r(2),3) D.eq\f(4\r(3),3)解析設(shè)正方體外接球的半徑為R，由題意可知eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，R＝2，則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為4，則eq\r(a2＋a2＋a2)＝4，∴a＝eq\f(4\r(3),3).答案D4．已知點(diǎn)M不在直線b上，直線b不在平面α內(nèi)，則下列對(duì)M，b，α間的關(guān)系用集合語(yǔ)言表示正確的是 ()．A．M?b，b?α B．M?b，b?αC．M?b，b?α D．M?b，b?α解析點(diǎn)M不在直線b上即M?b上，直線b不在平面α內(nèi)，則b?α.答案C5．已知a、b為兩條不同的直線，α、β為兩個(gè)不同的平面，且a⊥α，b⊥β，則下列說法中不正確的是 ()．A．若a∥b，則α∥βB．若α∥β，則a∥bC．若a，b相交，則α、β相交D．若α，β相交，則a、b相交解析若a⊥α，b⊥β，α、β相交，則a，b相交或異面，故D不正確．答案D6．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則圓臺(tái)較小底面的半徑為 ()．A．7 B．6C．5 D．3解析設(shè)圓臺(tái)的上，下底面半徑為r，R，則2πR＝3·2πr，∴R＝3r.又π(R＋r)·l＝84π，∴π(3r＋r)·3＝84π，∴r＝7.答案A7．設(shè)有直線m、n和平面α、β.下列四個(gè)說法中，正確的是 ()．A．若m∥α，m⊥n則n⊥αB．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，則m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α解析由線面平行和線面垂直的判定可知，A、B、C錯(cuò)誤，D正確．答案D8．已知一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()．A.eq\f(6,5)πcm3 B．3πcm3C.eq\f(2,3)πcm3 D.eq\f(7,3)πcm3解析由三視圖可知，此幾何體是一個(gè)底面半徑為1cm，高為3cm的圓柱的上部去掉一個(gè)半徑為1cm的半球所形成的幾何體，所以其體積為V＝πr2h－eq\f(2,3)πr3＝3π－eq\f(2,3)π＝eq\f(7,3)π(cm3)．答案D9．對(duì)于平面α和直線m，n，下列命題是真命題的是 ()．A．若m，n與α所成的角相等，則m∥nB．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m?α，n⊥α，則m⊥n解析若m、n與α所成角相等，則m與n平行、相交或異面，應(yīng)排除A.若m∥α，n∥α，則m與n平行，相交或異面，應(yīng)排除B；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，應(yīng)排除C.答案D10．在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是 ()．A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDE⊥平面ABCD．平面PDF⊥平面PAE解析如圖所示，正四面體P－ABC中，因?yàn)镈F∥BC，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，因此選項(xiàng)A正確；因?yàn)镻B＝PC，AB＝AC，E是BC的中點(diǎn)，所以PE⊥BC，AC⊥BC，又AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，而DF?平面PDF，所以平面PDF⊥平面PAE，因此選項(xiàng)B、D都正確．答案C二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)11．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積S＝________，體積V＝________.解析該幾何體可以看成是由一個(gè)圓臺(tái)(由梯形ABCE旋轉(zhuǎn)得到)割去一個(gè)圓錐(由△CDE旋轉(zhuǎn)得到)所構(gòu)成的．設(shè)圓臺(tái)的體積為V1，上、下底面面積分別為S1，S2，側(cè)面積為S3，圓錐的體積為V2，側(cè)面積為S4，由∠ADC＝135°可得，∠CDE＝45°，又CD＝2eq\r(2)，AD＝2，AB＝5，所以CE＝2，DE＝2，AE＝4，BC＝5，于是，幾何體的表面積S＝S2＋S3＋S4＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，體積V＝V1－V2＝eq\f(1,3)(S1＋eq\r(S1S2)＋S2)×4－eq\f(1,3)S1×2＝eq\f(148,3)π.答案(60＋4eq\r(2))πeq\f(148,3)π12．一個(gè)正三棱柱(底面是正三角形，各個(gè)側(cè)面均是矩形)的三視圖如圖所示，則這個(gè)正三棱柱的表面積為________．解析正三棱柱的底面是正三角形，且高為2eq\r(3).設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則eq\f(\r(3),2)a＝2eq\r(3)，∴a＝4.由三視圖知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2，∴正三棱柱的表面積S＝S側(cè)＋2S底＝3×4×2＋2×(eq\f(1,2)×4×2eq\r(3))＝8(3＋eq\r(3))．答案8(3＋eq\r(3))13．正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D解析∵AB1∥DC1，AD1∥BC1，AB1∩AD1＝A，∴平面AB1D1∥平面BC1D.答案平行14．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，過對(duì)角線BD1的一個(gè)平面交AA1于E，交CC1于F，則①四邊形BFD1E一定是平行四邊形；②四邊形BFD1E有可能是菱形；③平面BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D你認(rèn)為正確命題的序號(hào)為________．解析由面面平行的性質(zhì)即知①正確．當(dāng)E、F為棱的中點(diǎn)時(shí)，四邊形BFD1E為菱形，此時(shí)顯然平面BFD1E⊥平面BB1D1D，所以②③正確，故填①②③.答案①②③15．給出下列命題：①如果α⊥β，那么α內(nèi)所有直線都垂直于平面β；②如果α⊥β，那么α內(nèi)一定存在直線平行于平面β；③如果α不垂直于β，那么α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β；④如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ.其中正確命題的序號(hào)是________．解析①錯(cuò)，以正方體為模型，易知其錯(cuò)誤；②對(duì)，平行于α，β交線的直線平行于β；③對(duì)，由面面垂直的判定定理可知其正確；④對(duì)．可利用面面垂直，線面垂直的性質(zhì)定理證明．答案②③④三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分13分)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，N是BB1的中點(diǎn)．求證：平面MDB1∥平面ANC證明連接MN，因?yàn)镸，N分別為AA1，BB1的中點(diǎn)，所以MN綊CD，所以四邊形MNCD為平行四邊形，于是CN∥MD.∵CN?面MDB1，MD?面MDB1，∴CN∥面MDB1.∵B1N綊AM，∴四邊形B1NAM是平行四邊形，∴AN∥B1M.∵AN?面MDB1，B1M?面MDB1，∴AN∥面MDB1，又AN∩CN＝N，∴面MDB1∥面ANC.17．(本小題滿分13分)如圖所示的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖及其正視圖和左視圖(單位：cm)．(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；(2)按照給出的數(shù)據(jù)，求該多面體的體積．解(1)加上俯視圖后的三視圖如圖所示．(2)所求多面體的體積V＝V長(zhǎng)方體－V三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×2)×2＝eq\f(284,3)(cm3)．18．(本小題滿分13分)沿著圓柱的一條母線將圓柱剪開，可將側(cè)面展到一個(gè)平面上，所得的矩形稱為圓柱的側(cè)面展開圖，其中矩形長(zhǎng)與寬分別是圓柱的底面圓周長(zhǎng)和高(母線長(zhǎng))，所以圓柱的側(cè)面積S＝2πrl，其中r為圓柱底面圓半徑，l為母線長(zhǎng)．現(xiàn)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R，高為H，在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱．(1)求圓柱的側(cè)面積．(2)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？解(1)畫圓錐及內(nèi)接圓柱的軸截面(如圖所示)．設(shè)所求圓柱的底面半徑為r，它的側(cè)面積S圓柱側(cè)＝2πrx.因?yàn)閑q\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，所以r＝R－eq\f(R,H)·x.所以S圓柱側(cè)＝2πRx－eq\f(2πR,H)·x2.(2)因?yàn)镾圓柱側(cè)的表達(dá)式中x2的系數(shù)小于零，所以這個(gè)二次函數(shù)有最大值．這時(shí)圓柱的高x＝eq\f(2πR,2·\f(2πR,H))＝eq\f(H,2).故當(dāng)圓柱的高是已知圓錐的高的一半時(shí)，它的側(cè)面積最大．19．(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，點(diǎn)D是AB(1)求證：AC⊥B1C(2)求證：AC1∥平面CDB1.證明(1)∵C1C⊥平面ABC，又AC?平面ABC.∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C?平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)連接BC1交B1C于O連接OD.∵O，D分別為BC1，AB的中點(diǎn)，∴OD∥AC1.又OD?平面CDB1，AC1?平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.20．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E為PC的中點(diǎn)，AD＝CD＝1，DB＝2eq\r(2).(1)證明：PA∥平面BDE；(2)證明：AC⊥平面PBD.證明(1)連接AC，設(shè)AC∩BD＝H，連接EH.在△ADC中，∵AD＝CD，且DB平分∠ADC，∴H為AC的中點(diǎn)．又E為PC的中點(diǎn)，∴EH∥PA，又HE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE.(2)∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，由(1)知，BD⊥AC，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PBD.21.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA、AB、AD兩兩垂直，且PA＝AD，截面ABMN是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)．(1)求證：AB∥CD；(2)求證：MN⊥面PAD；(3)求證：截面ABMN⊥側(cè)面PCD.證明